专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.利用同角三角函数基本关系式，解决化简、求值、证明等问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2.诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3.诱导公式、同角三角函数基本关系与三角恒等变换综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
同角三角函数的基本关系式
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2.对同角三角函数基本关系式的理解
注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cs23α＝1成立，但是sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．
3．常用的等价变形
sin2α＋cs2α＝1⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2α＝1－cs2α，,cs2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cs2α)，,csα＝±\r(1－sin2α)；))
tanα＝eq \f(sinα,csα)⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα＝tanαcsα，,csα＝\f(sinα,tanα).))
知识点二
三角函数诱导公式
六组诱导公式
对于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”
知识点三
特殊角的三角函数值（熟记）
常考题型剖析
题型一：弦切互化问题
【典例分析】
例1-1.（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意令，然后代入所求的表达式，根据对勾函数的单调性即可求解,
【详解】因为，，令．
所以
，因为函数在上单调递增，故，
即的最大值为，
故选：D．
例1-2.（2023·全国·高三专题练习）若，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
例1-3.（黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2022-2023学年高一期末）已知＝2，计算下列各式的值．
(1)tan α；
(2)sin2α－2sinαcsα＋1.
【答案】(1)tan α＝3
(2)
【分析】（1）由已知分子和分母可同时除以，计算可得的值.
（2）先将原式化为，再由齐次式法，将弦化切，根据（1）的结果，
即可求出结果.
【详解】（1）由，显然不等于0，所以分子和分母同时除以，
可得，解得.
（2）
【规律方法】
1.知弦求弦：利用诱导公式及平方关系求解；在使用开平方关系sinα＝±eq \r(1－cs2α)和csα＝±eq \r(1－sin2α)时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
2.知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cs α，sin α·cs α建立联系，注意商数关系及的灵活应用；
3.知切求弦：先利用商数关系变形得出sin α或cs α表达式，然后利用平方关系求解.
利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．
（1）若已知tanα＝m，求形如eq \f(asinα＋bcsα,csinα＋dcsα)(或eq \f(asin2α＋bcs2α,csin2α＋dcs2α))的值，其方法是将分子、分母同除以csα(或cs2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和csα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．
（2）形如asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cs2α代换，分子、分母同除以cs2α再求解．
4.同角三角函数基本关系主要研究平方关系与商数关系，在三角函数求值中，出现频率较高的勾股数有以下几组：(3,4，5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(8,15,17)，(1,1，eq \r(2))，(1，eq \r(3)，2)，(1,2，eq \r(5))，(1,3，eq \r(10))等，熟悉它们之间的关系，能快速解决客观题
【变式训练】
变式1-1.（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知，则 .
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系化简为齐次式，再代入，可得答案.
【详解】因为，
所以、.
故答案为：
变式1-2.（广西壮族自治区玉林市2022-2023学年高一上学期1月期末）所有可能取值的集合为 ．
【答案】
【分析】根据，分四个象限求解.
【详解】解：因为，
由已知可得角的终边不在坐标轴上，
当角的终边在第一象限，则原式，
当角的终边在第二象限，则原式，
当角的终边在第三象限，则原式，
当角的终边在第四象限，则原式，
故所有可能取值的集合为，
故答案为：
变式1-3.（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知，则 ．
【答案】1
【分析】切化弦得，从而得，进而得，代入即可求解.
【详解】由，得，即，
则，即，
所以．
故答案为：.
题型二：sinαcsα与sinαcsα的关系及应用
例2-1.（山东省德州市2022-2023学年高一上期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得的正负，求得的值，即可判断A的正误，联立可求得的值，即可判断B的正误，根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，平方差计算的值可判断D的正误，从而得到答案.
【详解】因为①，
所以，则，
因为，所以，
所以，所以，
所以②，故A错误；
①②联立可得，，故B正确；
所以，故C错误；
，故D正确；
故选：BD
例2-2.（2023·全国·高三对口高考）已知，求值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将平方即可求得答案；
（2）利用立方和公式结合同角的三角函数关系即可求得答案；
（3）结合（1）的结果，将化为，继而化为，即可得到关于的方程，即可求得答案.
【详解】（1）由可得，
即；
（2）
；
（3）由于，故，
即，
由于，故，
故.
【规律方法】
1.对于三角函数式sinθ±csθ，sinθ·csθ之间的关系，可以通过，sin αcs α＝eq \f(sin α＋cs α2－1,2)，sin αcs α＝eq \f(1－sin α－cs α2,2)等关系进行变形、转化.
2.若已知sinθ±csθ，sinθ·csθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，csθ的值，从而求出其余的三角函数值．
【变式训练】
变式2-1.（重庆市长寿区2022-2023学年高一上期末）已知，则 .
【答案】或
【分析】根据利用平方关系可分别讨论解出的值，即可计算出或.
【详解】由可得，即
所以，可得；
①当时，联立，可得，
即；
②当时，联立，可得，
即；
故答案为：或.
变式2-2.（2021秋·高一校考课时练习）已知在中．
(1)求的值;
(2)判断是锐角三角形还是钝角三角形;
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)是钝角三角形
(3)
【分析】（1）根据和的关系即可平方求解，
（2）根据三角函数的正负符号，即可判断为钝角，
（3）根据和求解，即可求解正切值.
【详解】（1）由于
两边平方得
（2）由（1）且，
可知，
为钝角，
是钝角三角形
（3），
,
故
则.
题型三：诱导公式的应用
【典例分析】
例3-1．（2023·山西阳泉·统考三模）已知，且，则 ．
【答案】/
【分析】整体法诱导公式结合同角三角函数关系求出答案.
【详解】因为，所以，故，
所以.
。
故答案为：
例3-2.（江苏省宿迁市2022-2023学年高一上期末）在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角．
(1)求；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，计算求得结果．
（2）法一：由题意，利用诱导公式，计算求得结果；法二：根据，将已知等式化成含角的式子，再利用（1）中结果计算即可.
【详解】（1）由得，
又，所以，
由题可知，所以， ，
则．
（2）（法一）原式
由（1）得，，，
所以原式．
（法二）
.
【规律方法】
1.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.
2.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理成最简形式.
3.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
4.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.
【变式训练】
变式3-1.（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知，则的值为 .
【答案】
【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.
【详解】由可得，
故答案为：
变式3-2.（2023·全国·高三对口高考）化简下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数关系化简求解即可；
（2）根据诱导公式和同角三角函数关系化简求解即可；
【详解】（1）解：
（2）解：
.
题型四：同角公式、诱导公式的综合应用
【典例分析】
例4-1．（山西省运城市2022-2023学年高一上期末）已知为第二象限角，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用诱导公式化简所求代数式，代值计算即可得出所求代数式的值.
【详解】因为，则，
又因为为第二象限角，则，
因此，
.
故选：A.
例4-2.（2022秋·安徽合肥·高一统考期末）已知函数.
(1)化简
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简即可．
（2）由题意得，又由题意得到，根据与的关系求解．
【详解】（1）由题意得.
（2）由（1）知．
∵，
∴，
∴.
又，
∴，
∴.
∴.
例4-3.（2023春·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考阶段练习）已知，，证明：．
【答案】证明见解析
【分析】由诱导公式化简，结合平方关系、角的范围即可证
【详解】证明：左边，
右边，
∵，，∴，故，左边右边，
故.
例4-4.（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）证明：
(1).
(2)已知，，求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用作差法结合同角三角函数的平方关系可证得结论成立；
（2）由已知条件可得，，再利用同角三角函数的平方关系计算可证得结论成立.
【详解】（1）证明：因为
，
因此，.
（2）证明：因为，，则，，
所以，.
故结论得证.
【规律方法】
1.三角恒等式证明问题：
(1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．
(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．
2.三角函数式化简的方法和技巧：
(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．
(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③弦切互化； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④1的代换．
【变式训练】
变式4-1.（安徽省合肥市庐江县2021-2022学年高一上期末）已知函数.
(1)化简
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简即可．
（2）由题意得，又由题意得到，根据与的关系求解．
【详解】（1）由题意得.
（2）由（1）知．
∵，
∴，
∴.
又，
∴，
∴.
∴.
变式4-2.（安徽省合肥百花中学2022-2023学年高一上期末）已知 并且α是第二象限的角
(1)求sinα和tanα的值：
(2)求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解；
（2）根据诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系求解.
【详解】（1），并且是第二象限的角，
，
（2）

.
变式4-3.（2023春·内蒙古呼和浩特·高一校联考期中）（1）求的值.
（2）求证：.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【分析】（1）根据诱导公式化简条件，结合特殊角三角函数值求解；
（2）根据同角关系证明等式的左侧与右侧相等.
【详解】（1）
；
（2）因为，
所以.
变式4-4.（江苏省常州高级中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题）在平面直角坐标系：中，角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.
(1)若，求tanα及的值；
(2)若，求点P的坐标.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数间的关系求解即可；
（2）由题意可求出，联立方程即可求解.
【详解】（1）若角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，
若，则，
则，
可得，
（2）由题意
又，①
两边平方，可得，可得，
可得，②
联立①②，可得
所以点P的坐标为.
一、单选题
1．（云南省德宏州2022-2023学年高一上学期期末教学质量统一监测数学试题）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式先化简，然后结合完全平方公式化简即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
2.（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，即得解.
【详解】∵，
∴
∴
∵，
∴.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量数量积的坐标公式结合同角三角函数的基本关系化简即可.
【详解】，从而，
于是，
从而
．
故选：A
4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.
【详解】由题意可得：，整理得，
且，可得，
即，可得，
因为，可得，
所以.
故选：D.
二、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则 ．
【答案】7
【分析】由已知条件利用同角三角函数关系式求出，从而得出，再利用诱导公式，弦化切即可得结果.
【详解】因为，且，
所以，
所以．
所以
．
故答案为：7.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】判断角所在象限，根据同角的三角函数关系解得的值，根据角的象限，即可确定的值，可得答案.
【详解】由可知在第一象限或第三象限，
由可得，
结合，解得，
在第一象限时，，此时，
在第三象限时，，此时，
故答案为：
7.（四川省泸州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）已知角的顶点在平面直角坐标系原点，且始边与轴的非负半轴重合，现将角的终边按顺时针方向旋转后与角的终边重合，且与单位圆交于点，则的值 ．
【答案】/
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义以及诱导公式即可求解．
【详解】解：因为的终边与单位圆交于点，
故，，
又由题意可得，
所以．
故答案为：．
8．（2023·全国·高三对口高考）已知，则 ， .
【答案】 /
【分析】根据同角三角函数关系求解即可；
【详解】解：因为，所以，即，
所以；
因为，
所以，解得，
所以
故答案为：；.
三、解答题
9．（广东省深圳市龙华区2022-2023学年高一上学期期末数学试题）如图所示，在直角坐标系内，锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，并与单位圆交于点.
(1)用含的式子表示点的坐标；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由三角函数定义，根据题中条件，即可用含的式子表示点的坐标；
（2）法一：根据题中条件，由同角三角函数的平方关系和商数关系，联立方程组求解即可；
法二：根据题中条件，由同角三角函数基本关系可得，①，②，联立方程组求解即可．
【详解】（1）依题意得：，
由三角函数定义知，，
，
所以点的坐标为
（2）法一：因为，所以①
又因为②，
联立①②解得或，
所以或.
法二：因为，所以①
两边平方得，所以，
又因为，所以②
当时，解得，
此时
当时，解得，
此时或．
10.（四川省泸州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）已知函数．
(1)求证：；
(2)若且为第二象限角，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用诱导公式对进行化简即可得证；
（2）利用平方关系与商数关系结合所在象限进行运算求解即可．
【详解】（1）证明：，得证；
（2）因为且为第二象限角，
所以，所以，
所以．
11．（四川省成都市新都区新都香城中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题）（1）已知，化简并求值.
（2）已知关于的方程的两根为和，. 求实数以及的值.
【答案】（1）；（2），.
【分析】（1）由诱导公式和弦切转化化简即可求值；
（2）由根与系数的关系及同角三角函数关系即可求值.
【详解】（1）根据诱导公式可化简
而，所以，
故；
（2）因为关于的方程的两根为和，
所以，，
所以，所以，
因为，所以，且，所以，
.
12．（广东省肇庆市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，角和角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点A，将射线OA绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B，且射线OB是角的终边．
(1)求的值；
(2)若点A位于第一象限，且纵坐标为，求的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用的关系及诱导公式计算即可；
（2）先通过三角函数的定义得，然后利用的关系及诱导公式计算即可.
【详解】（1）由已知，
；
（2）若点A位于第一象限，且纵坐标为，
则，
.
角
函数
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs_α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α