高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题33圆锥曲线的几何性质【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题33圆锥曲线的几何性质【原卷版+解析】，共40页。

【热点聚焦】
纵观近几年的高考试题，圆锥曲线一直是高考命题的热点.其中，高考对椭圆的考查有以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.对双曲线的考查，主要有以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.以往命题多为选择题或填空题，近两年，出现考查直线与与双曲线位置关系问题. 高考对抛物线的考查，主要有以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.
【重点知识回眸】
（一）椭圆
1.椭圆的概念
(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距．
(2)代数式形式：集合
①若，则集合P为椭圆；
②若，则集合P为线段；
③若，则集合P为空集．
2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，
3.椭圆的标准方程及其几何性质
（二）双曲线
1．双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内；
(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；
(3)这一定值一定要小于两定点的距离．
2.双曲线的几何性质
（三）抛物线
1.定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2.抛物线的几何性质
【典型考题解析】
热点一 椭圆的定义及其应用
【典例1】（2023·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【典例2】（2023·全国·高考真题（文））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】(2023·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【规律方法】
1.应用椭圆的定义，可以得到结论：
（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.
2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.
热点二 椭圆的几何性质
【典例4】(2023·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【典例5】【多选题】(2023·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．为等比数列
B．
C． 轴，且
D．四边形的内切圆过焦点
【总结提升】
1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
(2)利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．
2.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题.
3.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：
(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为等．
(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．
(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．
(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.
4．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．
热点三 双曲线的定义
【典例6】（2023·全国·高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【典例7】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知点P在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A．点P到x轴的距离为B．
C．为钝角三角形D．
【规律方法】
1.双曲线定义的主要应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
2.特别提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
热点四 双曲线的简单几何性质
【典例8】（2023·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【典例9】(2023·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
【规律方法】
1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，eq \r(2))；
若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝eq \r(2)；
若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞eq \r(2).
2．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq \r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b
5．渐近线与离心率
的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
6．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略
(1)双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1.
(2)双曲线的渐近线是令，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用.
热点五 抛物线的定义及应用
【典例10】(2023·全国·高考真题（理））已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．
【典例11】(2023·安徽·芜湖一中模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为_______．
【典例12】(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.
【总结提升】
1.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．
2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．
热点六 抛物线的标准方程及几何性质
【典例13】（2023·天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【典例14】【多选题】(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【典例15】（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【规律方法】
1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·安徽蚌埠·一模）已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
2．(2023·江西·高三阶段练习（文））设F为椭圆的右焦点，点，点B在C上，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M坐标为（ ）
A．B．，
C．D．，
4．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）己知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．(2023·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·云南师大附中高三阶段练习）已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·海南·高考真题）已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
三、填空题
11．(2023·安徽·高三开学考试）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦距等于_________.
12．(2023·广东·高三阶段练习）已知F为双曲线的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为，过F且垂直于x轴的直线交双曲线C于A、B两点，若长为10，则C的离心率为________．
13．(2023·湖南湘潭·高三开学考试）已知双曲线 的右顶点为， 若以点为圆心， 以 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 两点， 点 为坐标原点， 且 ， 则双曲线的离心率为_______．
14．(2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
15．(2023·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
16．(2023·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
17.(2023·河南·高三开学考试（文））已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．
18．(2023·湖南·高三开学考试）过双曲线 的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左､右两支分别交于点，若，则双曲线的离心率是___________.
条件
图形
标准方程
范围
对称性
曲线关于轴、原点对称
曲线关于轴、原点对称
顶点
长轴顶点 ,短轴顶点
长轴顶点 ,轴顶点
焦点
焦距
离心率
，其中
通径
过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
图形
标准方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
顶点
O（0，0）
范围
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
对称轴
x轴
y轴
焦点
离心率
e=1
准线方程
焦半径
专题33 圆锥曲线的几何性质
【热点聚焦】
纵观近几年的高考试题，圆锥曲线一直是高考命题的热点.其中，高考对椭圆的考查有以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.对双曲线的考查，主要有以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.以往命题多为选择题或填空题，近两年，出现考查直线与与双曲线位置关系问题. 高考对抛物线的考查，主要有以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.
【重点知识回眸】
（一）椭圆
1.椭圆的概念
(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距．
(2)代数式形式：集合
①若，则集合P为椭圆；
②若，则集合P为线段；
③若，则集合P为空集．
2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，
3.椭圆的标准方程及其几何性质
（二）双曲线
1．双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内；
(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；
(3)这一定值一定要小于两定点的距离．
2.双曲线的几何性质
（三）抛物线
1.定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2.抛物线的几何性质
【典型考题解析】
热点一 椭圆的定义及其应用
【典例1】（2023·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
答案：C
分析：本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【典例2】（2023·全国·高考真题（文））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【典例3】(2023·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
答案：13
分析：利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
【规律方法】
1.应用椭圆的定义，可以得到结论：
（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.
2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.
热点二 椭圆的几何性质
【典例4】(2023·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】解：，
设，则，
则，
故，
又，则，
所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
【典例5】【多选题】(2023·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．为等比数列
B．
C． 轴，且
D．四边形的内切圆过焦点
答案：BD
分析：若为等比数列，可得，则求出离心率可判断A；由勾股定理以及离心率公式可判断B；根据结合斜率公式可判断C；由四边形的内切圆的半径为可得，求出离心率可判断D.
【详解】解：，
，，
对于A：为等比数列，
则 ，
，不满足条件，故错误；
对于B：,
,
即解得或（舍去）满足条件.
故B正确；
对于C： 轴，且，
即解得，
不满足题意，故C错误；
对于D：四边形的内切圆过焦点，
即四边形的内切圆的半径为，
解得（舍去）或
，故D正确.
故选：BD
【总结提升】
1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
(2)利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．
2.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题.
3.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：
(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为等．
(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．
(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．
(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.
4．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．
热点三 双曲线的定义
【典例6】（2023·全国·高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【典例7】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知点P在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A．点P到x轴的距离为B．
C．为钝角三角形D．
答案：BC
分析：根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.
【详解】设点．因为双曲线，所以．
又，所以，故A错误．
将代入得，得．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，故B正确．
在中，，且，
则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得，所以，故D错误．
故选：BC．
【规律方法】
1.双曲线定义的主要应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
2.特别提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
热点四 双曲线的简单几何性质
【典例8】（2023·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
答案：A
分析：设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
【典例9】(2023·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
答案：
分析：首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
【规律方法】
1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，eq \r(2))；
若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝eq \r(2)；
若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞eq \r(2).
2．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq \r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b
5．渐近线与离心率
的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
6．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略
(1)双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1.
(2)双曲线的渐近线是令，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用.
热点五 抛物线的定义及应用
【典例10】(2023·全国·高考真题（理））已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．
答案：6
分析：如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．
【典例11】(2023·安徽·芜湖一中模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为_______．
答案：
分析：根据抛物线方程求出，利用及抛物线的定义求出，再由比例关系求出等边的边长，利用面积公式即可得解.
【详解】由知，，，准线方程为，如图，
因为，所以，所以；
连接，又，所以为等边三角形，
因为，所以，得，得，
所以，
由，解得，
所以．
故答案为：
【典例12】(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.
答案：4
分析：根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，得到，结合抛物线的定义和，得出关于的方程，即可求解.
【详解】由题意，抛物线，可得，则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则，
因为且，
所以，即，
所以，可得，因为，所以.
故答案为：.
【总结提升】
1.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．
2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．
热点六 抛物线的标准方程及几何性质
【典例13】（2023·天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
答案：A
分析：
设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】
设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
【典例14】【多选题】(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
答案：BCD
分析：求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
【典例15】（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
答案：
分析：先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【规律方法】
1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·安徽蚌埠·一模）已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
答案：D
分析：设直线的倾斜角为，用表示出，再应用基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】抛物线，焦点，
设直线的倾斜角为，得：，则，
.
当且仅当时等号成立.
故选：D
2．(2023·江西·高三阶段练习（文））设F为椭圆的右焦点，点，点B在C上，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：先求出，知B为短轴端点，由两点间的距离公式即可求出答案.
【详解】解：由题意得，，则，从而．设左焦点为，
则，所以B为短轴端点，
所以．
故选:C．
3．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M坐标为（ ）
A．B．，
C．D．，
答案：A
分析：利用椭圆的第二定义进行求解.
【详解】因为椭圆方程为=1，所以椭圆得离心率，
设点M到椭圆右准线的距离为d，根据椭圆第二定义有：
，所以，所以
表示椭圆上一点M到椭圆内定点P和到椭圆右准线的距离之和，
当垂直于右准线时，取得最小值.此时的纵
坐标为-1，代入椭圆方程=1，求得的横坐标为.
所以点M坐标为，故B，C，D错误.
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解.
【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可得，
因为，所以，在中，，
由余弦定理得，
即所以所以的离心率.
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
答案：C
分析：根据椭圆方程求得，再由椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求解．
【详解】解：由椭圆可得，所以，
因为点在上，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，最大值为9.
故选：C．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：将代入C中，求得AB坐标，利用三角形AOB是等腰直角三角形，求得a，b的关系，从而求得离心率.
【详解】将代入C中，得，，由题意得，
即，．
故选：D.
7．(2023·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）己知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：已知条件得、及直线为，联立直线与渐近线方程求坐标，根据得，最后及离心率计算公式即可得出结果．
【详解】如下图示，
因为，，是中点，
所以是中点且，则，，
因为直线是双曲线的渐近线，
所以，，直线的方程为，
联立，解得，则，整理得，
因为，所以，.
故选：A
二、多选题
8．(2023·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
分析：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
9．(2023·云南师大附中高三阶段练习）已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为（ ）
A．B．C．D．
答案：AB
分析：假设椭圆的焦点在轴上，且点为椭圆的右焦点，分情况讨论与的位置，可得离心率.
【详解】不妨设焦点在轴上且为右焦点，显然不会是右顶点，
分类讨论：①若为左顶点，为右顶点，则，解得，此时离心率；
②若为左顶点，为上（下）顶点，则，无解，不满足；
③若为上（下）顶点，为左（右）顶点，则，无解，不满足；
④若为上（下）顶点，下（上）顶点，则，解得，，，此时离心率为，
故选：AB.
10．（2023·海南·高考真题）已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
答案：ACD
分析：结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
11．(2023·安徽·高三开学考试）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦距等于_________.
答案：
分析：由双曲线方程和渐近线可求出，再由可求出，从而可求出焦距.
【详解】由双曲线，得其渐近线方程为，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以，得，
所以，得，
所以双曲线的焦距为，
故答案为：
12．(2023·广东·高三阶段练习）已知F为双曲线的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为，过F且垂直于x轴的直线交双曲线C于A、B两点，若长为10，则C的离心率为________．
答案：
分析：由F到直线l的距离求出，再由长为10求出，进而求出，即可求得离心率.
【详解】由双曲线的对称性，不妨设，易得，则F到直线l的距离为，则，
将代入，可得，由可得，解得．
故答案为：.
13．(2023·湖南湘潭·高三开学考试）已知双曲线 的右顶点为， 若以点为圆心， 以 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 两点， 点 为坐标原点， 且 ， 则双曲线的离心率为_______．
答案：
分析：首先取的中点，连接．则，根据已知条件得到，从而得到，再求离心率即可.
【详解】如图所示：
取的中点，连接．则．
由知，，
又因为点到渐近线的距离，
所以，即，
又，代入化简得，即，
解得或（舍去），故．
故答案为：
14．(2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
答案：##
分析：求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把的最小值转化为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离即可得答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
抛物线的焦点，
因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，
所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，
连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
即，
所以的最小值为，
故答案为：
15．(2023·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
答案：
分析：首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
16．(2023·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
答案：
分析：联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
17.(2023·河南·高三开学考试（文））已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．
答案：
分析：分别过点作准线的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，设，进而结合抛物线的性质求解即可.
【详解】解：如图，分别过点作准线的垂线，垂足为，
过点作的垂线，垂足为，
设，易得，则，
由抛物线的性质可得，，
所以，，解得，故．
故答案为：
18．(2023·湖南·高三开学考试）过双曲线 的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左､右两支分别交于点，若，则双曲线的离心率是___________.
答案：
分析：设双曲线的左焦点为，连接设，分别求得，同理，结合，求得，进而求得离心率.
【详解】如图所示，根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离为，
设双曲线的左焦点为，连接，则，
在中，设，则，
在中，由余弦定理得，
将代入整理后得，
同理，
因为，
所以，故离心率为.
故答案为：
条件
图形
标准方程
范围
对称性
曲线关于轴、原点对称
曲线关于轴、原点对称
顶点
长轴顶点 ,短轴顶点
长轴顶点 ,轴顶点
焦点
焦距
离心率
，其中
通径
过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
图形
标准方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
顶点
O（0，0）
范围
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
对称轴
x轴
y轴
焦点
离心率
e=1
准线方程
焦半径