高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题11导数的运算与导数的几何意义【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题11导数的运算与导数的几何意义【原卷版+解析】，共35页。

【热点聚焦】
导数的几何意义为高考命题热点内容，考查题型有客观题，有时也出现在解答题中，难度中等或更小．导数的运算基本不单独命题，主要是在导数的几何意义及导数的应用中加以考查.导数的几何意义问题归纳起来常见的命题探究角度有：
(1)求切线方程问题．
(2)确定切点坐标问题．
(3)已知切线问题求参数．
(4)导数几何意义的综合应用．
【重点知识回眸】
（一）导数的几何意义
1.函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
2.提醒：
(1)瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．
(2)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
(3)曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．
（二）基本初等函数的导数公式
（三）导数的运算法则
(1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；
(2)[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
（3）(g(x)≠0)．
（四）复合函数的导数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
（五）常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,x)))eq \s\up12(′)＝－eq \f (1,x2)；
(2) (f (x)≠0)；
(3)[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)．
（六）方法与技巧：
1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程.
2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点的横坐标，因为可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标，代入到导函数中可得到切线的斜率,从而一点一斜率，切线即可求所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来.
3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标,再考虑利用条件解出核心要素，进而转化成第一类问题.
4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用求出参数值进而解出切线方程.解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通.若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如：（图像为圆的一部分）在处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决.若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在轴的抛物线，可看作关于的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在轴的抛物线切线问题的重要方法）.
5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了.
【典型考题解析】
热点一 求曲线的切线方程
【典例1】（2023·全国·高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国高考真题（文））曲线y=2sinx+csx在点(π，–1)处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例4】(2023·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【规律方法】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
热点二 求切点坐标
【典例5】（2023·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，若直线与抛物线相切于点，则点的坐标是___________.
【典例6】（2023·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
【方法总结】
1.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
2.已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
热点三 求参数的值(范围)
【典例7】（2023·全国·高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【典例9】(2023·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【规律方法】
1.利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2.根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
3.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
热点四 切线的斜率与倾斜角
【典例10】（2023·全国·高三专题练习）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．3B．2C．1D．
【典例11】(2023·江西·丰城九中高三开学考试（理））函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A．B．±C．D．±
【典例12】(2023·全国·高考真题（理））曲线在点处的切线的斜率为，则________．
热点五：两曲线的公切线问题
【典例13】（2023·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
【典例14】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数________．
【典例15】(2023·全国·高考真题（理））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．
【总结提升】
解决此类问题通常有两种方法
一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
二是设公切线l在y＝f (x)上的切点P1(x1，f (x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f ′(x1)＝g′(x2)＝.
热点六：导数几何意义的综合应用
【典例16】（2023·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例17】（全国·高考真题（文））已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例18】（2023·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·湖北武汉·高三开学考试）若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·江西·高三阶段练习（文））我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．利用此方法计算的近似值为（ ）
A．0.01B．C．D．
4．(2023·江西·金溪一中高三阶段练习（文））若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（ ）
A．B．C．或D．或
5．(2023·安徽省舒城中学三模（文））以下曲线与直线相切的是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·广东·高三阶段练习）已知函数的图象在处与直线相切，则函数在上的最大值为（ ）
A．B．0C．D．1
7．（2023·全国·高三专题练习）曲线在处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·河北·高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·全国·高三专题练习）曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
10．(2023·河南·高三阶段练习（理））曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
11．（2023·全国·高三专题练习）过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
12．（2023·全国·高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．
13．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知满足，且在处的切线方程为，则___________.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值为___________.
15．（2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
16．（2023·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
三、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若直线与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点，求的值；
18．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数在时取得极小值，其中是自然对数的底数.
(1)求实数、的值；
(2)若曲线在点处的切线过原点，求实数的值.
原函数
导函数
f (x)＝c(c为常数)
f ′(x)＝0
f (x)＝xn(n∈Q*)
f ′(x)＝nxn－1
f (x)＝sin x
f ′(x)＝csx
f (x)＝cs x
f ′(x)＝－sin x
f (x)＝ax
f ′(x)＝axlna(a＞0)
f (x)＝ex
f ′(x)＝ex
f (x)＝lgax(a＞0，且a≠1)
f ′(x)＝eq \f (1,xln a)(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ln x
f ′(x)＝eq \f (1,x)
专题11 导数的运算与导数的几何意义
【热点聚焦】
导数的几何意义为高考命题热点内容，考查题型有客观题，有时也出现在解答题中，难度中等或更小．导数的运算基本不单独命题，主要是在导数的几何意义及导数的应用中加以考查.导数的几何意义问题归纳起来常见的命题探究角度有：
(1)求切线方程问题．
(2)确定切点坐标问题．
(3)已知切线问题求参数．
(4)导数几何意义的综合应用．
【重点知识回眸】
（一）导数的几何意义
1.函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
2.提醒：
(1)瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．
(2)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
(3)曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．
（二）基本初等函数的导数公式
（三）导数的运算法则
(1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；
(2)[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
（3）(g(x)≠0)．
（四）复合函数的导数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
（五）常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,x)))eq \s\up12(′)＝－eq \f (1,x2)；
(2) (f (x)≠0)；
(3)[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)．
（六）方法与技巧：
1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程.
2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点的横坐标，因为可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标，代入到导函数中可得到切线的斜率,从而一点一斜率，切线即可求所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来.
3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标,再考虑利用条件解出核心要素，进而转化成第一类问题.
4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用求出参数值进而解出切线方程.解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通.若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如：（图像为圆的一部分）在处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决.若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在轴的抛物线，可看作关于的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在轴的抛物线切线问题的重要方法）.
5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了.
【典型考题解析】
热点一 求曲线的切线方程
【典例1】（2023·全国·高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
【典例2】（2023·全国高考真题（文））曲线y=2sinx+csx在点(π，–1)处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）函数过点的切线方程为____________
答案：或
分析：先求导，设出切点坐标并写出切线方程，由切线过点切线过求出的值，即可求解
【详解】由题设，若切点为，
则，
所以切线方程为，
又切线过，
则，解得或，
当时，切线为；
当时，切线为，整理得.
故答案为：或
【典例4】(2023·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
答案：
【解析】
分析：
分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；
【规律方法】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
热点二 求切点坐标
【典例5】（2023·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，若直线与抛物线相切于点，则点的坐标是___________.
答案：
【解析】
设出M的坐标，求出切线斜率，利用斜率公式求出的坐标，根据圆的性质建立方程进行求解即可.
【详解】
设，抛物线的焦点坐标，如图，
过，，三点的圆的圆心为，
圆心的纵坐标为，设，
直线与抛物线相切于点，
导数，
即在处的切线斜率，
即的斜率，即，
即，得，即，，
，
，
即，
得，
得或（舍，
解得．
，，，，
即的坐标为，，
故答案为：，．
【典例6】（2023·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
答案：.
【解析】
设点，则.又，
当时，，
点A在曲线上的切线为，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为.
【方法总结】
1.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
2.已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
热点三 求参数的值(范围)
【典例7】（2023·全国·高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】
详解：
，
将代入得，故选D．
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
答案：D
分析：求导，利用切线方程，得到方程组，求出，，求出答案.
【详解】由，则，所以
解得：，，所以
.故选：D.
【典例9】(2023·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
答案：
【解析】
分析：
设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】
∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
【规律方法】
1.利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2.根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
3.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
热点四 切线的斜率与倾斜角
【典例10】（2023·全国·高三专题练习）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．3B．2C．1D．
答案：C
分析：先由函数为奇函数，求出，再利用导数的几何意义可求出切线的斜率
【详解】因为为奇函数，
所以，
所以，
所以，
所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为1．
故选：C．
【典例11】(2023·江西·丰城九中高三开学考试（理））函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A．B．±C．D．±
答案：C
分析：先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用同角三角函数的关系得到sin2的值．
【详解】因为
所以
当时，，此时，
∴．
故选：C.
【典例12】(2023·全国·高考真题（理））曲线在点处的切线的斜率为，则________．
答案：
【解析】
分析：
求导，利用导数的几何意义计算即可．
【详解】
解：
则
所以
故答案为-3.
热点五：两曲线的公切线问题
【典例13】（2023·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
答案：D
【解析】
分析：
根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【典例14】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数________．
答案：1
分析：设函数，的公共点为，则，代入化简即可求得，令，易得在上单调递增，即可求出，进而求得实数的值.
【详解】设函数，的公共点为，则即则．令，易得在上单调递增，所以以由，解得，所以切点为，所以，则．
故答案为：1.
【典例15】(2023·全国·高考真题（理））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．
答案：
【解析】
【详解】
试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
【总结提升】
解决此类问题通常有两种方法
一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
二是设公切线l在y＝f (x)上的切点P1(x1，f (x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f ′(x1)＝g′(x2)＝.
热点六：导数几何意义的综合应用
【典例16】（2023·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
【典例17】（全国·高考真题（文））已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.
【详解】
由题意可作出函数的图像，和函数的图像.

由图像可知：函数的图像是过原点的直线，
当直线介于与轴之间符合题意，
直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为
，
求其导数可得，因为，故，
故直线的斜率为，
故只需直线的斜率.
故选：D
【典例18】（2023·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
答案：（Ⅰ），（Ⅱ）.
【解析】
分析：
（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】
（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为为偶函数，不妨设，，
令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·湖北武汉·高三开学考试）若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值．
【详解】由已知，所以，
，当且仅当时等号成立．
故选：A．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：先求导数，利用导数的几何意义可求答案.
【详解】函数存在与直线平行的切线，即在上有解，
而，所以，因为，所以，所以．
所以的取值范围是．
当直线就是的切线时，设切点坐标，
可得，解得．
所以实数的取值范围是：．
故选：B．
3．(2023·江西·高三阶段练习（文））我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．利用此方法计算的近似值为（ ）
A．0.01B．C．D．
答案：D
分析：求出原函数的导数，得到上过点的切线，即可求出的近视值.
【详解】函数，则
故上过点的切线为
．
故选：D
4．(2023·江西·金溪一中高三阶段练习（文））若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（ ）
A．B．C．或D．或
答案：D
分析：根据垂直性质可得，再求导根据导数的几何意义可得切线的方程为，再设函数与直线切于点，列式求解即可
【详解】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.，
设函数与直线切于点，
所以，故，
即，，解得或.
故选：D
5．(2023·安徽省舒城中学三模（文））以下曲线与直线相切的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：直线的斜率为，且经过点，利用导数的几何意义分别判断是否为选项中曲线的切线即可.
【详解】直线的斜率为，且经过点，
选项A. 点在曲线上，但曲线在点处的切线的斜率不存在,故不正确.
选项B. 由，则，设切点为，则，则
所以切点为，显然点不再在直线上，故不正确.
选项C，曲线过点，又
当时，，所以曲线在点处的切线方程为：
所以曲线与直线相切，故正确.
选项D. 由，则，设切点为，则，则
所以切点为，显然点不在直线上，故不正确.
故选：C
6．(2023·广东·高三阶段练习）已知函数的图象在处与直线相切，则函数在上的最大值为（ ）
A．B．0C．D．1
答案：C
分析：求出函数的导函数，依题意可得，即可求出、，从而得到函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值；
【详解】解：由，得，
所以，解得；
所以，．
时，．
在上单调递减，则．
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）曲线在处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程
【详解】，则，
当时，，，
所以切线方程为，即．
故选：D．
8．（2023·河北·高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：作出函数的图象，由图象观察得出结论．
【详解】作出函数的图象，由图象可知点在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，
所以，
故选：B．
9．(2023·全国·高三专题练习）曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：求曲线的切线方程，再求两平行线间距离.
【详解】
如图所示，设曲线上一点，且在该点处切线斜率为，
，所以斜率，
解得，故切点为，
切线方程为，即，
两直线间距离为，
故选：B.
10．(2023·河南·高三阶段练习（理））曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
答案：C
分析：求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，即可求得切线方程；然后找到切线与坐标轴的交点，即可求出该切线与坐标轴围成的三角形的面积
【详解】由题意可得，则所求切线的斜率，
当时，，故所求切线方程为，即.
令，得，令，得，
则所求切线与坐标轴分别交于点，，
故所求面积为.
故选：C.
11．（2023·全国·高三专题练习）过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：设切点，由导数几何意义可表示出切线方程，代入可将问题转化为方程的解的个数的求解；令，利用导数可得图象，根据与图象交点个数可确定方程解的个数，进而得到切线条数.
【详解】设切点为，
，切线斜率，
切线方程为：；
又切线过，；
设，则，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增，
又，，恒成立，可得图象如下图所示，
则当时，与有三个不同的交点，
即当时，方程有三个不同的解，切线的条数为条.
故选：D.
二、填空题
12．（2023·全国·高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．
答案：
【解析】
分析：
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
13．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知满足，且在处的切线方程为，则___________.
答案：
分析：根据，可得函数是上的奇函数，从而可求得，再根据导数的几何意义可得，从而可求得，即可得出答案.
【详解】解：函数的定义域为，
因为，
所以函数是上的奇函数，
所以，解得，
所以，
则，
所以，
则，
因为在处的切线方程为，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值为___________.
答案：8
分析：设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义先求出，进而得到关系，再由均值不等式可得出答案.
【详解】设直线与曲线相切于点
由函数的导函数为，则
解得
所以，即
则
当且仅当，即时取得等号.
故答案为：8
15．（2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
答案：4.
【解析】
分析：
将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】
当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为．
16．（2023·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
答案：
【解析】
分析：
结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】
由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
三、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若直线与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点，求的值；
答案：
分析：首先根据导数的几何性质得到切线：，从而得到有唯一解，再结合二次方程性质即可得到答案.
【详解】，
则切线：.
因为与图象相切，所以，
即有唯一解.
当时，方程无解；
当时，由，解得
综上：
18．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数在时取得极小值，其中是自然对数的底数.
(1)求实数、的值；
(2)若曲线在点处的切线过原点，求实数的值.
答案：(1)，
(2)
分析：（1）由已知可得，即可求得实数、的值；
（2）求出切线方程，将原点坐标代入切线方程可求得的值.
（1）解：因为，该函数的定义域为，则，由已知可得，解得.此时，，由可得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，合乎题意.综上，，.
（2）解：曲线在点处的切线方程为，将原点坐标代入切线方程可得，即，解得.
原函数
导函数
f (x)＝c(c为常数)
f ′(x)＝0
f (x)＝xn(n∈Q*)
f ′(x)＝nxn－1
f (x)＝sin x
f ′(x)＝csx
f (x)＝cs x
f ′(x)＝－sin x
f (x)＝ax
f ′(x)＝axlna(a＞0)
f (x)＝ex
f ′(x)＝ex
f (x)＝lgax(a＞0，且a≠1)
f ′(x)＝eq \f (1,xln a)(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ln x
f ′(x)＝eq \f (1,x)
a
0
减
极小值
增