终身会员
搜索
    上传资料 赚现金

    高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题28an与Sn关系问题【原卷版+解析】

    立即下载
    加入资料篮
    高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题28an与Sn关系问题【原卷版+解析】第1页
    高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题28an与Sn关系问题【原卷版+解析】第2页
    高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题28an与Sn关系问题【原卷版+解析】第3页
    还剩34页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题28an与Sn关系问题【原卷版+解析】

    展开

    这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题28an与Sn关系问题【原卷版+解析】,共37页。


    【热点聚焦】
    等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成两类数列的重要内容,在历届高考中属于必考内容,既有独立考查的情况,也有二者与其它知识内容综合考查的情况.一般地,选择题、填空题往往独立考查等差数列或等比数列的基本运算,解答题往往综合考查等差数列、等比数列.数列求和问题是高考数列中的另一个易考类型,其中常见的是“裂项相消法”、“错位相减法”.数列求和与不等式证明相结合,又是,数列考题中的常见题型,关于数列中涉及到的不等问题,通常与数列的最值有关或证明(数列的和)不等式成立或确定参数的范围,对于数列中的最值项问题,往往要依靠数列的单调性,而对于数列的和不等式的证明问题,往往可以利用“放缩法”,要根据不等式的性质通过放缩,达到解题目的. 关于求数列的通项公式问题,在高考中较少独立命题,但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中,特别是题目中给定与的关系,通过确定数列的通项公式进一步解题,常见于各类考试题中.
    【重点知识回眸】
    (一)依据递推关系求数列通项公式
    1、累加(累乘法)
    (1)累加法:如果递推公式形式为:,则可利用累加法求通项公式
    ① 等号右边为关于的表达式,且能够进行求和
    ② 的系数相同,且为作差的形式
    (2)累乘法:如果递推公式形式为:,则可利用累加法求通项公式
    2、构造辅助数列:通过对递推公式进行变形,变形为相邻项同构的特点,进而将相同的结构视为一个整体,即构造出辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式,便可算出原数列的通项公式
    (1)形如的形式:通常可构造出等比数列,进而求出通项公式.
    (2)形如,此类问题可先处理,两边同时除以,得,进而构造成,设,从而变成,从而将问题转化为第(1)个问题.
    另外:对于以上两个问题,还有一个通用的方法:对于形如(其中为关于的表达式),可两边同时除以,.设,即,进而只要可进行求和,便可用累加的方法求出,进而求出.
    (3)形如:,可以考虑两边同时除以,转化为的形式,进而可设,递推公式变为,转变为上面的类型求解
    (4)形如,即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数,则可根据两边项的系数对中间项进行拆分,构造为:的形式,将,进而可转化为上面所述类型进行求解
    (二)已知数列的前项和,求数列的通项公式:
    求解过程分为三步:
    (1)先利用求出;
    (2)用替换中的得到一个新的关系,利用 便可求出当时的表达式;
    (3)对时的结果进行检验,看是否符合时的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分与两段来写.
    (三)“构造相减”求通项公式
    当所给递推公式无法直接进行变形,则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式,通过两式相减可构造出新的递推公式,再尝试解决.尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题,这种做法可构造出更为简单的递推公式.
    (四)“观察、归纳、猜想”求通项公式
    先通过数列前几项找到数列特点,从而猜出通项公式(教科书的基本要求:根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用或来调整.必要时再利用数学归纳法证明.
    【典型考题解析】
    热点一 累加法研究(通)项
    【典例1】(2023·浙江·高考真题)已知数列满足,则( )
    A.B.C.D.
    【典例2】(2023·浙江·高考真题)已知数列满足.记数列的前n项和为,则( )
    A.B.C.D.
    【典例3】(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,且,求数列的通项公式;
    【总结提升】
    由递推关系求通项公式的关键是“模型化”,即针对不同的关系选择不同的方法求解.
    热点二 累乘(积)法研究(通)项
    【典例4】(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,且满足,则数列的通项公式等于___________
    【典例5】(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,且满足,.求的通项公式;
    【典例6】(2023·全国·高三专题练习)已知数列{}满足:,,,且其前项和为,求与.
    热点三 构造法研究(通)项
    【典例7】(2023·浙江·高考真题)设,数列中,, ,则
    A.当B.当
    C.当D.当
    【典例8】(2023·浙江·高考真题)已知成等比数列,且.若,则
    A.B.C.D.
    【典例9】(2023·全国·高三专题练习)已知数列中,,,求数列的通项公式___________
    【规律方法】
    构造法构造的领域较广泛,如构造方程、函数、数列等.一般地,构造数列往往结合等差(比)数列的定义求解.
    热点四 构造相减研究(通)项
    【典例10】(2023·北京·高考真题)己知数列各项均为正数,其前n项和满足.给出下列四个结论:
    ①的第2项小于3; ②为等比数列;
    ③为递减数列; ④中存在小于的项.
    其中所有正确结论的序号是__________.
    【典例11】(2023·全国·高考真题(理))已知数列的前n项和,其中.
    (Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
    (Ⅱ)若 ,求.
    【典例12】(2023·全国·高考真题(文))设数列满足.
    (1)求的通项公式;
    (2)求数列 的前项和.
    【典例13】(2023·河南·高三阶段练习(理))已知数列的前n项和为,且满足,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若数列满足,求数列的前n项和.
    【典例14】(2023·江西南昌·高三阶段练习)已知正项数列的前项和为,且
    (1)求的通项公式;
    (2)设,数列的前项和为,求使得的最大整数的值.
    【精选精练】
    一、单选题
    1.(2023·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习)若数列{}的前n项和为=,=( )
    A.B.C.D.
    2.(安徽省部分校2023届高三上学期开学摸底考)已知数列 的前项和为,且满足,则( )
    A.B.C.D.
    3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,则( )
    A.B.C.D.
    二、多选题
    4.(2023·山东·高三开学考试)已知数列的前n项和为,数列的前项和为,则下列选项正确的为( )
    A.数列是等差数列B.数列是等比数列
    C.数列的通项公式为D.
    5.(2023·全国·高三专题练习)设是数列的前n项和,且,,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.D.数列是等差数列
    三、填空题
    6.(2023·全国·高三专题练习)设数列的前n项和为,已知,,,则数列的通项公式为________.
    7.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和,则数列的通项公式为______.
    8.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,且,(),则___________
    四、解答题
    9.(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测)已知数列满足,且.
    (1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    10.(2023·全国·高考真题(理))设数列{an}满足a1=3,.
    (1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;
    (2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
    11.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的各项均为正数,前项和为,且满足
    (1)求证:为等差数列;
    (2)求的通项公式.
    12.(2023·安徽省太和中学高三阶段练习)已知等差数列的前项和为,等差数列的公差为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    13.(2023·云南·昆明一中高三开学考试)已知数列的前项和为,且.
    (1)求的通项公式;
    (2)设的前项和为,求.
    14.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,且满足(),.
    (1)求;
    (2)求数列的通项公式.
    15.(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试(文))在数列中,,且,.
    (1)求的通项公式;
    (2)若,且数列的前项n和为,证明:.
    16.(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习)在数列中,,
    (1)设,求证:;
    (2)求数列的通项公式;
    (3)求数列的前项和.
    17.(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习)已知数列的前项和为,且满足,
    (1)求和
    (2)求证:.
    18.(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试)已知数列的各项均为正数,记为的前项和,(且).
    (1)求证:数列是等差数列,并求的通项公式:
    (2)当时,求证:.
    专题28 与 关系问题
    【热点聚焦】
    等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成两类数列的重要内容,在历届高考中属于必考内容,既有独立考查的情况,也有二者与其它知识内容综合考查的情况.一般地,选择题、填空题往往独立考查等差数列或等比数列的基本运算,解答题往往综合考查等差数列、等比数列.数列求和问题是高考数列中的另一个易考类型,其中常见的是“裂项相消法”、“错位相减法”.数列求和与不等式证明相结合,又是,数列考题中的常见题型,关于数列中涉及到的不等问题,通常与数列的最值有关或证明(数列的和)不等式成立或确定参数的范围,对于数列中的最值项问题,往往要依靠数列的单调性,而对于数列的和不等式的证明问题,往往可以利用“放缩法”,要根据不等式的性质通过放缩,达到解题目的. 关于求数列的通项公式问题,在高考中较少独立命题,但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中,特别是题目中给定与的关系,通过确定数列的通项公式进一步解题,常见于各类考试题中.
    【重点知识回眸】
    (一)依据递推关系求数列通项公式
    1、累加(累乘法)
    (1)累加法:如果递推公式形式为:,则可利用累加法求通项公式
    ① 等号右边为关于的表达式,且能够进行求和
    ② 的系数相同,且为作差的形式
    (2)累乘法:如果递推公式形式为:,则可利用累加法求通项公式
    2、构造辅助数列:通过对递推公式进行变形,变形为相邻项同构的特点,进而将相同的结构视为一个整体,即构造出辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式,便可算出原数列的通项公式
    (1)形如的形式:通常可构造出等比数列,进而求出通项公式.
    (2)形如,此类问题可先处理,两边同时除以,得,进而构造成,设,从而变成,从而将问题转化为第(1)个问题.
    另外:对于以上两个问题,还有一个通用的方法:对于形如(其中为关于的表达式),可两边同时除以,.设,即,进而只要可进行求和,便可用累加的方法求出,进而求出.
    (3)形如:,可以考虑两边同时除以,转化为的形式,进而可设,递推公式变为,转变为上面的类型求解
    (4)形如,即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数,则可根据两边项的系数对中间项进行拆分,构造为:的形式,将,进而可转化为上面所述类型进行求解
    (二)已知数列的前项和,求数列的通项公式:
    求解过程分为三步:
    (1)先利用求出;
    (2)用替换中的得到一个新的关系,利用 便可求出当时的表达式;
    (3)对时的结果进行检验,看是否符合时的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分与两段来写.
    (三)“构造相减”求通项公式
    当所给递推公式无法直接进行变形,则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式,通过两式相减可构造出新的递推公式,再尝试解决.尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题,这种做法可构造出更为简单的递推公式.
    (四)“观察、归纳、猜想”求通项公式
    先通过数列前几项找到数列特点,从而猜出通项公式(教科书的基本要求:根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用或来调整.必要时再利用数学归纳法证明.
    【典型考题解析】
    热点一 累加法研究(通)项
    【典例1】(2023·浙江·高考真题)已知数列满足,则( )
    A.B.C.D.
    答案:B
    【解析】
    分析:
    先通过递推关系式确定除去,其他项都在范围内,再利用递推公式变形得到,累加可求出,得出,再利用,累加可求出,再次放缩可得出.
    【详解】
    ∵,易得,依次类推可得
    由题意,,即,
    ∴,
    即,,,…,,
    累加可得,即,
    ∴,即,,
    又,
    ∴,,,…,,
    累加可得,
    ∴,
    即,∴,即;
    综上:.
    故选:B.
    【典例2】(2023·浙江·高考真题)已知数列满足.记数列的前n项和为,则( )
    A.B.C.D.
    答案:A
    【解析】
    分析:
    显然可知,,利用倒数法得到,再放缩可得,由累加法可得,进而由局部放缩可得,然后利用累乘法求得,最后根据裂项相消法即可得到,从而得解.
    【详解】
    因为,所以,.

    ,即
    根据累加法可得,,当且仅当时取等号,

    由累乘法可得,当且仅当时取等号,
    由裂项求和法得:
    所以,即.
    故选:A.
    【典例3】(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,且,求数列的通项公式;
    答案:
    分析:由已知条件可得,再由递推及可得,最后再检验即可得到答案.
    【详解】因为,所以,
    ,…,所以累加可得.
    又,所以,所以.
    经检验,,也符合上式,所以.
    【总结提升】
    由递推关系求通项公式的关键是“模型化”,即针对不同的关系选择不同的方法求解.
    热点二 累乘(积)法研究(通)项
    【典例4】(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,且满足,则数列的通项公式等于___________
    答案:
    分析:根据给定的递推公式,结合“当时,”化简,再利用累乘法求解作答.
    【详解】由得:,当时,,
    两式相减得:,化简整理得:,
    当时,,即有,解得,因此,,,,

    而满足上式,所以.
    故答案为:
    【典例5】(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,且满足,.求的通项公式;
    答案:,
    分析:根据已知条件可利用与的关系可得,再由递推累乘可得通项公式,最后检验是否符合通项公式即可.
    【详解】时,,解得.
    当时,,故,所以,
    故.
    经检验,符合上式,
    故的通项公式为,.
    【典例6】(2023·全国·高三专题练习)已知数列{}满足:,,,且其前项和为,求与.
    答案:,.
    分析:由已知可得,然后利用累乘法可求出,再利用错位相减法可求出.
    【详解】由得,
    当n2时,

    又也满足上式,故(n).

    相减得,
    ∴.
    热点三 构造法研究(通)项
    【典例7】(2023·浙江·高考真题)设,数列中,, ,则
    A.当B.当
    C.当D.当
    答案:A
    【解析】
    若数列为常数列,,则只需使,选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程,看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解,故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解,又根据不等式性质,以及基本不等式,可证得A选项正确.
    【详解】
    若数列为常数列,则,由,
    可设方程
    选项A:时,,,

    故此时不为常数列,

    且,
    ,则,
    故选项A正确;
    选项B:时,,,
    则该方程的解为,
    即当时,数列为常数列,,
    则,故选项B错误;
    选项C:时,,
    该方程的解为或,
    即当或时,数列为常数列,或,
    同样不满足,则选项C也错误;
    选项D:时,,
    该方程的解为,
    同理可知,此时的常数列也不能使,
    则选项D错误.
    故选:A.
    【点睛】
    利用函数方程思想,通过构造方程,研究函数的不动点,进一步讨论的可能取值,利用“排除法”求解.
    【典例8】(2023·浙江·高考真题)已知成等比数列,且.若,则
    A.B.C.D.
    答案:B
    【解析】
    分析:
    先证不等式,再确定公比的取值范围,进而作出判断.
    【详解】
    令则,令得,所以当时,,当时,,因此,
    若公比,则,不合题意;
    若公比,则
    但,
    即,不合题意;
    因此,
    ,选B.
    【点睛】
    构造函数对不等式进行放缩,进而限制参数取值范围,是一个有效方法.如
    【典例9】(2023·全国·高三专题练习)已知数列中,,,求数列的通项公式___________
    答案:
    分析:由已知条件可得,从而可得数列是等差数列,求出其通项公式后化简即可得到.
    【详解】∵,∴,∴数列是等差数列,公差为,又,
    ∴,∴.
    故答案为:.
    【规律方法】
    构造法构造的领域较广泛,如构造方程、函数、数列等.一般地,构造数列往往结合等差(比)数列的定义求解.
    热点四 构造相减研究(通)项
    【典例10】(2023·北京·高考真题)己知数列各项均为正数,其前n项和满足.给出下列四个结论:
    ①的第2项小于3; ②为等比数列;
    ③为递减数列; ④中存在小于的项.
    其中所有正确结论的序号是__________.
    答案:①③④
    【解析】
    分析:
    推导出,求出、的值,可判断①;利用反证法可判断②④;利用数列单调性的定义可判断③.
    【详解】
    由题意可知,,,
    当时,,可得;
    当时,由可得,两式作差可得,
    所以,,则,整理可得,
    因为,解得,①对;
    假设数列为等比数列,设其公比为,则,即,
    所以,,可得,解得,不合乎题意,
    故数列不是等比数列,②错;
    当时,,可得,所以,数列为递减数列,③对;
    假设对任意的,,则,
    所以,,与假设矛盾,假设不成立,④对.
    故答案为:①③④.
    【典例11】(2023·全国·高考真题(理))已知数列的前n项和,其中.
    (Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
    (Ⅱ)若 ,求.
    答案:(Ⅰ);(Ⅱ).
    【解析】
    【详解】
    试题分析:(Ⅰ)首先利用公式,得到数列的递推公式,即可得到是等比数列及的通项公式;(Ⅱ)利用(Ⅰ),用表示前项和,结合的值,建立方程可求得的值.
    试题解析:(Ⅰ)由题意得,故,,.
    由,得,即.由,得,所以.
    因此是首项为,公比为的等比数列,于是.
    (Ⅱ)由(Ⅰ)得.由得,即.
    解得.
    【典例12】(2023·全国·高考真题(文))设数列满足.
    (1)求的通项公式;
    (2)求数列 的前项和.
    答案:(1) ;(2).
    【解析】
    (1)利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.
    (2)将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.
    【详解】
    (1)数列满足
    时,


    当时,,上式也成立

    (2)
    ∴数列的前n项和
    【典例13】(2023·河南·高三阶段练习(理))已知数列的前n项和为,且满足,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若数列满足,求数列的前n项和.
    答案:(1);(2).
    分析:(1)根据与关系可得是等比数列,根据等比数列的通项公式即可求解;
    (2)利用分组求和法与等比数列的求和公式直接求解.
    【详解】解:(1)当n=1时,,
    ∵,∴.可得,当时,,,
    两式相减,得,即,
    故数列是首项为1,公比为的等比数列,则;
    (2)由(1)知,,
    故.
    【典例14】(2023·江西南昌·高三阶段练习)已知正项数列的前项和为,且
    (1)求的通项公式;
    (2)设,数列的前项和为,求使得的最大整数的值.
    答案:(1)
    (2)
    分析:(1)根据得数列是等差数列,公差为,首项为,进而得其通项公式;
    (2)结合(1)得,进而得,再解不等式即可得答案.
    (1)
    解:因为①,
    所以,当时,②,
    所以,①②得:,即,
    因为,,
    所以,
    因为,当时,,解得,
    所以,数列是等差数列,公差为,首项为.
    所以
    (2)
    解:结合(1)得,
    所以,数列的前项和为,
    所以,,整理得:,解得.
    所以,使得的最大整数的值为.
    【精选精练】
    一、单选题
    1.(2023·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习)若数列{}的前n项和为=,=( )
    A.B.C.D.
    答案:B
    分析:根据已知条件,利用与的关系求得数列的通项公式,利用等比数列前项和公式求解即可.
    【详解】解:当时,,解得,
    当时,,即,
    ∴是首项为1,公比为-2的等比数列,∴,
    所以.
    故选:B.
    2.(安徽省部分校2023届高三上学期开学摸底考)已知数列 的前项和为,且满足,则( )
    A.B.C.D.
    答案:D
    分析:利用与关系求得通项关系,判断数列为等比数列即可求得.
    【详解】当时,,∴,当时,,两式相减可得,∴数列是首项为,公比为的等比数列,∴.
    故选:D.
    3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,则( )
    A.B.C.D.
    答案:D
    分析:根据给定条件,结合变形,构造数列,再求数列通项即可求解作答.
    【详解】因为,则,于是得,
    因此数列是公差为1的等差数列,首项,则,所以.
    故选:D
    二、多选题
    4.(2023·山东·高三开学考试)已知数列的前n项和为,数列的前项和为,则下列选项正确的为( )
    A.数列是等差数列B.数列是等比数列
    C.数列的通项公式为D.
    答案:BCD
    分析:由数列的递推式可得,两边加1后,运用等比数列的定义和通项公式可得,由数列的裂项相消求和可得.
    【详解】解:由即为,可化为,由,可得数列是首项为2,公比为2的等比数列,则,即,
    又,可得
    故选:BCD
    5.(2023·全国·高三专题练习)设是数列的前n项和,且,,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.D.数列是等差数列
    答案:BCD
    分析:先由an+1=Sn·Sn+1=Sn+1-Sn,判断出是以-1为首项,d=-1的等差数列,即可判断D,进而求出,再由求出通项公式.
    【详解】∵an+1=Sn·Sn+1=Sn+1-Sn,两边同除以Sn+1·Sn,得.
    ∴是以-1为首项,d=-1的等差数列,
    即=-1+(n-1)×(-1)=-n,
    ∴Sn=-.
    当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-+=,
    又a1=-1不符合上式,

    故A错误,BCD正确.
    故选:BCD
    三、填空题
    6.(2023·全国·高三专题练习)设数列的前n项和为,已知,,,则数列的通项公式为________.
    答案:
    分析:由构造法和与关系求解
    【详解】由题意得,而,
    所以是首项为2,公比为2的等比数列.
    ,,当时,,也满足此式,
    综上,
    故答案为:
    7.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和,则数列的通项公式为______.
    答案:
    分析:利用与关系即得.
    【详解】因为,
    当时,,
    当时,,
    所以.
    故答案为:.
    8.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,且,(),则___________
    答案:
    分析:根据给定的递推公式,结合“当时,”构造数列求出数列的通项即可求解作答.
    【详解】因为,则,当时,,因此,
    化简整理得,而,有,即有,,
    因此,数列是以为首项,2为公比的等比数列,则,即,
    所以.
    故答案为:
    四、解答题
    9.(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测)已知数列满足,且.
    (1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    答案:(1)证明见详解,
    (2)
    分析:(1)根据递推公式构造可证,然后借助为等比数列可得通项,再构造数列可证为等差数列,根据等差数列通项公式可解;
    (2)由错位相减法可得.
    (1)
    因为
    所以
    又因为
    所以是以4为首项,2为公比的等比数列.
    所以
    变形得
    所以是以为首项,1为公差的等差数列
    所以,所以
    (2)
    因为…①
    所以…②
    ①-②得:
    所以
    10.(2023·全国·高考真题(理))设数列{an}满足a1=3,.
    (1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;
    (2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
    答案:(1),,,证明见解析;(2).
    【解析】
    分析:
    (1)方法一:(通性通法)利用递推公式得出,猜想得出的通项公式,利用数学归纳法证明即可;
    (2)方法一:(通性通法)根据通项公式的特征,由错位相减法求解即可.
    【详解】
    (1)
    [方法一]【最优解】:通性通法
    由题意可得,,由数列的前三项可猜想数列是以为首项,2为公差的等差数列,即.
    证明如下:
    当时,成立;
    假设时,成立.
    那么时,也成立.
    则对任意的,都有成立;
    [方法二]:构造法
    由题意可得,.由得.,则,两式相减得.令,且,所以,两边同时减去2,得,且,所以,即,又,因此是首项为3,公差为2的等差数列,所以.
    [方法三]:累加法
    由题意可得,.
    由得,即,,…….以上各式等号两边相加得,所以.所以.当时也符合上式.综上所述,.
    [方法四]:构造法
    ,猜想.由于,所以可设,其中为常数.整理得.故,解得.所以.又,所以是各项均为0的常数列,故,即.
    (2)由(1)可知,
    [方法一]:错位相减法
    ,①
    ,②
    由①②得:

    即.
    [方法二]【最优解】:裂项相消法
    ,所以.
    [方法三]:构造法
    当时,,设,即,则,解得.
    所以,即为常数列,而,所以.
    故.
    [方法四]:
    因为,令,则


    所以.
    故.
    【整体点评】
    (1)方法一:通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式,再根据数学归纳法进行证明,是该类问题的通性通法,对于此题也是最优解;
    方法二:根据递推式,代换得,两式相减得,设,从而简化递推式,再根据构造法即可求出,从而得出数列的通项公式;
    方法三:由化简得,根据累加法即可求出数列的通项公式;
    方法四:通过递推式求出数列的部分项,归纳得出数列的通项公式,再根据待定系数法将递推式变形成,求出,从而可得构造数列为常数列,即得数列的通项公式.
    (2)
    方法一:根据通项公式的特征可知,可利用错位相减法解出,该法也是此类题型的通性通法;
    方法二:根据通项公式裂项,由裂项相消法求出,过程简单,是本题的最优解法;
    方法三:由时,,构造得到数列为常数列,从而求出;
    方法四:将通项公式分解成,利用分组求和法分别求出数列的前项和即可,其中数列的前项和借助于函数的导数,通过赋值的方式求出,思路新颖独特,很好的简化了运算.
    11.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的各项均为正数,前项和为,且满足
    (1)求证:为等差数列;
    (2)求的通项公式.
    答案:(1)见详解
    (2)n+2
    分析:(1)利用可得答案;
    (2)由(1)得,,代入等差数列的通项公式可得答案.
    (1)
    当时,有,即,
    解得 (舍去),,
    当时,有,
    两式相减得,
    即,也即,
    因此或,
    若,则,而,所以,
    这与数列的各项均为正数矛盾,所以,
    即,因此为公差为1的等差数列;
    (2)
    由(1)知,,所以数列的通项公式,
    即.
    12.(2023·安徽省太和中学高三阶段练习)已知等差数列的前项和为,等差数列的公差为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    答案:(1),
    (2)
    分析:(1)利用当时,,可求得,进而求得数列的公差为,再由,解得,从而求得数列和数列的通项公式(2)利用裂项相消法求和即得所求
    (1)
    由可得,
    当时,

    所以
    即数列的公差为,又
    所以,解得,
    故数列的通项公式为,数列的通顶公式为;
    (2)
    由(1)可知,,所以.
    13.(2023·云南·昆明一中高三开学考试)已知数列的前项和为,且.
    (1)求的通项公式;
    (2)设的前项和为,求.
    答案:(1)
    (2)
    分析:(1)先用替换原式中的,然后两式作差,结合与的关系,即可得到为等差数列,从而得到其通项.
    (2)由(1)的结论,求得及,代入化简,得到的式子,裂项相消即可.
    (1)


    两式作差得:,

    成等差数列,
    又当时,,
    所以

    (2)
    由(1)知,
    则,



    .
    14.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,且满足(),.
    (1)求;
    (2)求数列的通项公式.
    答案:(1)
    (2)
    分析:(1) 利用, 化简已知条件, 转化推出. 即可证明数列是等差数列 ;
    (2)利用(1)求出数列的和, 通过已知条件转化求解即可.
    (1)
    由题意可得, 当时,,
    当时,, 即 , 可得 ,
    即数列 是首项为2 ,公差为2的等差数列 , , 可得.
    经检验,时,满足上式,
    故.
    (2)
    由(1)可得,当时,,
    当时,,不符合,
    综上所述, 结论是:
    .
    15.(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试(文))在数列中,,且,.
    (1)求的通项公式;
    (2)若,且数列的前项n和为,证明:.
    答案:(1)
    (2)证明见解析
    分析:(1)由已知得当,再和已知的式子相减化简后利用累乘法可求出通项公式,
    (2)由(1)得当时,,利用裂项相消法可求得,从而可证得结论.
    (1)
    解:因为,
    所以当,
    两式相减,得,即,
    当时,,
    所以当时,,
    所以当时,,
    当时,上式成立;当时,上式不成立,
    所以
    (2)
    证明:由(1)知
    当时,,
    所以当,;
    当时,
    .
    综上,.
    16.(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习)在数列中,,
    (1)设,求证:;
    (2)求数列的通项公式;
    (3)求数列的前项和.
    答案:(1)证明见解析;
    (2);
    (3).
    分析:(1)依题意将转化为,将代入即可得到,结论成立;
    (2)根据第(1)问,运用累加法得到,进而求出;
    (3)根据第(1)、(2)问知,,,则,运用分组转化求和以及错位相减求和,得出数列的前项和.
    (1)
    由条件可知:,,

    ,;
    (2)
    由第(1)问可知,,
    当时,,
    当时,,
    当时,,
    当时,,
    以上各式相加,得,
    ,,,即;
    (3)
    由第(1)、(2)问知,,,则,
    设数列的通项公式,前项和为,
    则,

    两式相减,得


    数列的前项和.
    17.(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习)已知数列的前项和为,且满足,
    (1)求和
    (2)求证:.
    答案:(1),
    (2)证明见解析
    分析:(1)利用可得,从而可求及.
    (2)利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立.
    (1)
    时,,时,,
    所以,所以数列是以为首项,公差为的等差数列.
    所以,即,
    当时,,
    当时,,不满足上式,
    所以,
    (2)
    当时,,原式成立.
    当时,
    所以.
    18.(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试)已知数列的各项均为正数,记为的前项和,(且).
    (1)求证:数列是等差数列,并求的通项公式:
    (2)当时,求证:.
    答案:(1)证明见解析,
    (2)证明见解析
    分析:(1)利用和的关系即可得到结果;
    (2)利用裂项相消法,即可证明不等式.
    (1)
    ∵(且),
    当时,,

    又,所以,

    数列是以为首项,公差为1的等差数列,
    ,所以.
    当时,,
    又满足上式,
    数列的通项公式为.
    (2)
    当时,,

    所以对,都有.

    相关试卷

    高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题18多角度破解多变元范围问题【原卷版+解析】:

    这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题18多角度破解多变元范围问题【原卷版+解析】,共36页。

    高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题16破解恒成立问题【原卷版+解析】:

    这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题16破解恒成立问题【原卷版+解析】,共37页。

    高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题09常见函数模型应用【原卷版+解析】:

    这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题09常见函数模型应用【原卷版+解析】,共42页。

    • 精品推荐
    • 所属专辑

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单
        欢迎来到教习网
        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        使用学贝下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题28an与Sn关系问题【原卷版+解析】
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map