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高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题28an与Sn关系问题【原卷版+解析】
展开这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题28an与Sn关系问题【原卷版+解析】,共37页。
【热点聚焦】
等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成两类数列的重要内容,在历届高考中属于必考内容,既有独立考查的情况,也有二者与其它知识内容综合考查的情况.一般地,选择题、填空题往往独立考查等差数列或等比数列的基本运算,解答题往往综合考查等差数列、等比数列.数列求和问题是高考数列中的另一个易考类型,其中常见的是“裂项相消法”、“错位相减法”.数列求和与不等式证明相结合,又是,数列考题中的常见题型,关于数列中涉及到的不等问题,通常与数列的最值有关或证明(数列的和)不等式成立或确定参数的范围,对于数列中的最值项问题,往往要依靠数列的单调性,而对于数列的和不等式的证明问题,往往可以利用“放缩法”,要根据不等式的性质通过放缩,达到解题目的. 关于求数列的通项公式问题,在高考中较少独立命题,但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中,特别是题目中给定与的关系,通过确定数列的通项公式进一步解题,常见于各类考试题中.
【重点知识回眸】
(一)依据递推关系求数列通项公式
1、累加(累乘法)
(1)累加法:如果递推公式形式为:,则可利用累加法求通项公式
① 等号右边为关于的表达式,且能够进行求和
② 的系数相同,且为作差的形式
(2)累乘法:如果递推公式形式为:,则可利用累加法求通项公式
2、构造辅助数列:通过对递推公式进行变形,变形为相邻项同构的特点,进而将相同的结构视为一个整体,即构造出辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式,便可算出原数列的通项公式
(1)形如的形式:通常可构造出等比数列,进而求出通项公式.
(2)形如,此类问题可先处理,两边同时除以,得,进而构造成,设,从而变成,从而将问题转化为第(1)个问题.
另外:对于以上两个问题,还有一个通用的方法:对于形如(其中为关于的表达式),可两边同时除以,.设,即,进而只要可进行求和,便可用累加的方法求出,进而求出.
(3)形如:,可以考虑两边同时除以,转化为的形式,进而可设,递推公式变为,转变为上面的类型求解
(4)形如,即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数,则可根据两边项的系数对中间项进行拆分,构造为:的形式,将,进而可转化为上面所述类型进行求解
(二)已知数列的前项和,求数列的通项公式:
求解过程分为三步:
(1)先利用求出;
(2)用替换中的得到一个新的关系,利用 便可求出当时的表达式;
(3)对时的结果进行检验,看是否符合时的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分与两段来写.
(三)“构造相减”求通项公式
当所给递推公式无法直接进行变形,则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式,通过两式相减可构造出新的递推公式,再尝试解决.尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题,这种做法可构造出更为简单的递推公式.
(四)“观察、归纳、猜想”求通项公式
先通过数列前几项找到数列特点,从而猜出通项公式(教科书的基本要求:根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用或来调整.必要时再利用数学归纳法证明.
【典型考题解析】
热点一 累加法研究(通)项
【典例1】(2023·浙江·高考真题)已知数列满足,则( )
A.B.C.D.
【典例2】(2023·浙江·高考真题)已知数列满足.记数列的前n项和为,则( )
A.B.C.D.
【典例3】(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,且,求数列的通项公式;
【总结提升】
由递推关系求通项公式的关键是“模型化”,即针对不同的关系选择不同的方法求解.
热点二 累乘(积)法研究(通)项
【典例4】(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,且满足,则数列的通项公式等于___________
【典例5】(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,且满足,.求的通项公式;
【典例6】(2023·全国·高三专题练习)已知数列{}满足:,,,且其前项和为,求与.
热点三 构造法研究(通)项
【典例7】(2023·浙江·高考真题)设,数列中,, ,则
A.当B.当
C.当D.当
【典例8】(2023·浙江·高考真题)已知成等比数列,且.若,则
A.B.C.D.
【典例9】(2023·全国·高三专题练习)已知数列中,,,求数列的通项公式___________
【规律方法】
构造法构造的领域较广泛,如构造方程、函数、数列等.一般地,构造数列往往结合等差(比)数列的定义求解.
热点四 构造相减研究(通)项
【典例10】(2023·北京·高考真题)己知数列各项均为正数,其前n项和满足.给出下列四个结论:
①的第2项小于3; ②为等比数列;
③为递减数列; ④中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是__________.
【典例11】(2023·全国·高考真题(理))已知数列的前n项和,其中.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若 ,求.
【典例12】(2023·全国·高考真题(文))设数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)求数列 的前项和.
【典例13】(2023·河南·高三阶段练习(理))已知数列的前n项和为,且满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前n项和.
【典例14】(2023·江西南昌·高三阶段练习)已知正项数列的前项和为,且
(1)求的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求使得的最大整数的值.
【精选精练】
一、单选题
1.(2023·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习)若数列{}的前n项和为=,=( )
A.B.C.D.
2.(安徽省部分校2023届高三上学期开学摸底考)已知数列 的前项和为,且满足,则( )
A.B.C.D.
3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,则( )
A.B.C.D.
二、多选题
4.(2023·山东·高三开学考试)已知数列的前n项和为,数列的前项和为,则下列选项正确的为( )
A.数列是等差数列B.数列是等比数列
C.数列的通项公式为D.
5.(2023·全国·高三专题练习)设是数列的前n项和,且,,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.数列是等差数列
三、填空题
6.(2023·全国·高三专题练习)设数列的前n项和为,已知,,,则数列的通项公式为________.
7.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和,则数列的通项公式为______.
8.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,且,(),则___________
四、解答题
9.(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测)已知数列满足,且.
(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
10.(2023·全国·高考真题(理))设数列{an}满足a1=3,.
(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
11.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的各项均为正数,前项和为,且满足
(1)求证:为等差数列;
(2)求的通项公式.
12.(2023·安徽省太和中学高三阶段练习)已知等差数列的前项和为,等差数列的公差为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
13.(2023·云南·昆明一中高三开学考试)已知数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)设的前项和为,求.
14.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,且满足(),.
(1)求;
(2)求数列的通项公式.
15.(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试(文))在数列中,,且,.
(1)求的通项公式;
(2)若,且数列的前项n和为,证明:.
16.(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习)在数列中,,
(1)设,求证:;
(2)求数列的通项公式;
(3)求数列的前项和.
17.(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习)已知数列的前项和为,且满足,
(1)求和
(2)求证:.
18.(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试)已知数列的各项均为正数,记为的前项和,(且).
(1)求证:数列是等差数列,并求的通项公式:
(2)当时,求证:.
专题28 与 关系问题
【热点聚焦】
等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成两类数列的重要内容,在历届高考中属于必考内容,既有独立考查的情况,也有二者与其它知识内容综合考查的情况.一般地,选择题、填空题往往独立考查等差数列或等比数列的基本运算,解答题往往综合考查等差数列、等比数列.数列求和问题是高考数列中的另一个易考类型,其中常见的是“裂项相消法”、“错位相减法”.数列求和与不等式证明相结合,又是,数列考题中的常见题型,关于数列中涉及到的不等问题,通常与数列的最值有关或证明(数列的和)不等式成立或确定参数的范围,对于数列中的最值项问题,往往要依靠数列的单调性,而对于数列的和不等式的证明问题,往往可以利用“放缩法”,要根据不等式的性质通过放缩,达到解题目的. 关于求数列的通项公式问题,在高考中较少独立命题,但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中,特别是题目中给定与的关系,通过确定数列的通项公式进一步解题,常见于各类考试题中.
【重点知识回眸】
(一)依据递推关系求数列通项公式
1、累加(累乘法)
(1)累加法:如果递推公式形式为:,则可利用累加法求通项公式
① 等号右边为关于的表达式,且能够进行求和
② 的系数相同,且为作差的形式
(2)累乘法:如果递推公式形式为:,则可利用累加法求通项公式
2、构造辅助数列:通过对递推公式进行变形,变形为相邻项同构的特点,进而将相同的结构视为一个整体,即构造出辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式,便可算出原数列的通项公式
(1)形如的形式:通常可构造出等比数列,进而求出通项公式.
(2)形如,此类问题可先处理,两边同时除以,得,进而构造成,设,从而变成,从而将问题转化为第(1)个问题.
另外:对于以上两个问题,还有一个通用的方法:对于形如(其中为关于的表达式),可两边同时除以,.设,即,进而只要可进行求和,便可用累加的方法求出,进而求出.
(3)形如:,可以考虑两边同时除以,转化为的形式,进而可设,递推公式变为,转变为上面的类型求解
(4)形如,即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数,则可根据两边项的系数对中间项进行拆分,构造为:的形式,将,进而可转化为上面所述类型进行求解
(二)已知数列的前项和,求数列的通项公式:
求解过程分为三步:
(1)先利用求出;
(2)用替换中的得到一个新的关系,利用 便可求出当时的表达式;
(3)对时的结果进行检验,看是否符合时的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分与两段来写.
(三)“构造相减”求通项公式
当所给递推公式无法直接进行变形,则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式,通过两式相减可构造出新的递推公式,再尝试解决.尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题,这种做法可构造出更为简单的递推公式.
(四)“观察、归纳、猜想”求通项公式
先通过数列前几项找到数列特点,从而猜出通项公式(教科书的基本要求:根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用或来调整.必要时再利用数学归纳法证明.
【典型考题解析】
热点一 累加法研究(通)项
【典例1】(2023·浙江·高考真题)已知数列满足,则( )
A.B.C.D.
答案:B
【解析】
分析:
先通过递推关系式确定除去,其他项都在范围内,再利用递推公式变形得到,累加可求出,得出,再利用,累加可求出,再次放缩可得出.
【详解】
∵,易得,依次类推可得
由题意,,即,
∴,
即,,,…,,
累加可得,即,
∴,即,,
又,
∴,,,…,,
累加可得,
∴,
即,∴,即;
综上:.
故选:B.
【典例2】(2023·浙江·高考真题)已知数列满足.记数列的前n项和为,则( )
A.B.C.D.
答案:A
【解析】
分析:
显然可知,,利用倒数法得到,再放缩可得,由累加法可得,进而由局部放缩可得,然后利用累乘法求得,最后根据裂项相消法即可得到,从而得解.
【详解】
因为,所以,.
由
,即
根据累加法可得,,当且仅当时取等号,
,
由累乘法可得,当且仅当时取等号,
由裂项求和法得:
所以,即.
故选:A.
【典例3】(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,且,求数列的通项公式;
答案:
分析:由已知条件可得,再由递推及可得,最后再检验即可得到答案.
【详解】因为,所以,
,…,所以累加可得.
又,所以,所以.
经检验,,也符合上式,所以.
【总结提升】
由递推关系求通项公式的关键是“模型化”,即针对不同的关系选择不同的方法求解.
热点二 累乘(积)法研究(通)项
【典例4】(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,且满足,则数列的通项公式等于___________
答案:
分析:根据给定的递推公式,结合“当时,”化简,再利用累乘法求解作答.
【详解】由得:,当时,,
两式相减得:,化简整理得:,
当时,,即有,解得,因此,,,,
,
而满足上式,所以.
故答案为:
【典例5】(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,且满足,.求的通项公式;
答案:,
分析:根据已知条件可利用与的关系可得,再由递推累乘可得通项公式,最后检验是否符合通项公式即可.
【详解】时,,解得.
当时,,故,所以,
故.
经检验,符合上式,
故的通项公式为,.
【典例6】(2023·全国·高三专题练习)已知数列{}满足:,,,且其前项和为,求与.
答案:,.
分析:由已知可得,然后利用累乘法可求出,再利用错位相减法可求出.
【详解】由得,
当n2时,
,
又也满足上式,故(n).
∴
相减得,
∴.
热点三 构造法研究(通)项
【典例7】(2023·浙江·高考真题)设,数列中,, ,则
A.当B.当
C.当D.当
答案:A
【解析】
若数列为常数列,,则只需使,选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程,看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解,故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解,又根据不等式性质,以及基本不等式,可证得A选项正确.
【详解】
若数列为常数列,则,由,
可设方程
选项A:时,,,
,
故此时不为常数列,
,
且,
,则,
故选项A正确;
选项B:时,,,
则该方程的解为,
即当时,数列为常数列,,
则,故选项B错误;
选项C:时,,
该方程的解为或,
即当或时,数列为常数列,或,
同样不满足,则选项C也错误;
选项D:时,,
该方程的解为,
同理可知,此时的常数列也不能使,
则选项D错误.
故选:A.
【点睛】
利用函数方程思想,通过构造方程,研究函数的不动点,进一步讨论的可能取值,利用“排除法”求解.
【典例8】(2023·浙江·高考真题)已知成等比数列,且.若,则
A.B.C.D.
答案:B
【解析】
分析:
先证不等式,再确定公比的取值范围,进而作出判断.
【详解】
令则,令得,所以当时,,当时,,因此,
若公比,则,不合题意;
若公比,则
但,
即,不合题意;
因此,
,选B.
【点睛】
构造函数对不等式进行放缩,进而限制参数取值范围,是一个有效方法.如
【典例9】(2023·全国·高三专题练习)已知数列中,,,求数列的通项公式___________
答案:
分析:由已知条件可得,从而可得数列是等差数列,求出其通项公式后化简即可得到.
【详解】∵,∴,∴数列是等差数列,公差为,又,
∴,∴.
故答案为:.
【规律方法】
构造法构造的领域较广泛,如构造方程、函数、数列等.一般地,构造数列往往结合等差(比)数列的定义求解.
热点四 构造相减研究(通)项
【典例10】(2023·北京·高考真题)己知数列各项均为正数,其前n项和满足.给出下列四个结论:
①的第2项小于3; ②为等比数列;
③为递减数列; ④中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是__________.
答案:①③④
【解析】
分析:
推导出,求出、的值,可判断①;利用反证法可判断②④;利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】
由题意可知,,,
当时,,可得;
当时,由可得,两式作差可得,
所以,,则,整理可得,
因为,解得,①对;
假设数列为等比数列,设其公比为,则,即,
所以,,可得,解得,不合乎题意,
故数列不是等比数列,②错;
当时,,可得,所以,数列为递减数列,③对;
假设对任意的,,则,
所以,,与假设矛盾,假设不成立,④对.
故答案为:①③④.
【典例11】(2023·全国·高考真题(理))已知数列的前n项和,其中.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若 ,求.
答案:(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
【详解】
试题分析:(Ⅰ)首先利用公式,得到数列的递推公式,即可得到是等比数列及的通项公式;(Ⅱ)利用(Ⅰ),用表示前项和,结合的值,建立方程可求得的值.
试题解析:(Ⅰ)由题意得,故,,.
由,得,即.由,得,所以.
因此是首项为,公比为的等比数列,于是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.由得,即.
解得.
【典例12】(2023·全国·高考真题(文))设数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)求数列 的前项和.
答案:(1) ;(2).
【解析】
(1)利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.
(2)将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.
【详解】
(1)数列满足
时,
∴
∴
当时,,上式也成立
∴
(2)
∴数列的前n项和
【典例13】(2023·河南·高三阶段练习(理))已知数列的前n项和为,且满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前n项和.
答案:(1);(2).
分析:(1)根据与关系可得是等比数列,根据等比数列的通项公式即可求解;
(2)利用分组求和法与等比数列的求和公式直接求解.
【详解】解:(1)当n=1时,,
∵,∴.可得,当时,,,
两式相减,得,即,
故数列是首项为1,公比为的等比数列,则;
(2)由(1)知,,
故.
【典例14】(2023·江西南昌·高三阶段练习)已知正项数列的前项和为,且
(1)求的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求使得的最大整数的值.
答案:(1)
(2)
分析:(1)根据得数列是等差数列,公差为,首项为,进而得其通项公式;
(2)结合(1)得,进而得,再解不等式即可得答案.
(1)
解:因为①,
所以,当时,②,
所以,①②得:,即,
因为,,
所以,
因为,当时,,解得,
所以,数列是等差数列,公差为,首项为.
所以
(2)
解:结合(1)得,
所以,数列的前项和为,
所以,,整理得:,解得.
所以,使得的最大整数的值为.
【精选精练】
一、单选题
1.(2023·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习)若数列{}的前n项和为=,=( )
A.B.C.D.
答案:B
分析:根据已知条件,利用与的关系求得数列的通项公式,利用等比数列前项和公式求解即可.
【详解】解:当时,,解得,
当时,,即,
∴是首项为1,公比为-2的等比数列,∴,
所以.
故选:B.
2.(安徽省部分校2023届高三上学期开学摸底考)已知数列 的前项和为,且满足,则( )
A.B.C.D.
答案:D
分析:利用与关系求得通项关系,判断数列为等比数列即可求得.
【详解】当时,,∴,当时,,两式相减可得,∴数列是首项为,公比为的等比数列,∴.
故选:D.
3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,则( )
A.B.C.D.
答案:D
分析:根据给定条件,结合变形,构造数列,再求数列通项即可求解作答.
【详解】因为,则,于是得,
因此数列是公差为1的等差数列,首项,则,所以.
故选:D
二、多选题
4.(2023·山东·高三开学考试)已知数列的前n项和为,数列的前项和为,则下列选项正确的为( )
A.数列是等差数列B.数列是等比数列
C.数列的通项公式为D.
答案:BCD
分析:由数列的递推式可得,两边加1后,运用等比数列的定义和通项公式可得,由数列的裂项相消求和可得.
【详解】解:由即为,可化为,由,可得数列是首项为2,公比为2的等比数列,则,即,
又,可得
故选:BCD
5.(2023·全国·高三专题练习)设是数列的前n项和,且,,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.数列是等差数列
答案:BCD
分析:先由an+1=Sn·Sn+1=Sn+1-Sn,判断出是以-1为首项,d=-1的等差数列,即可判断D,进而求出,再由求出通项公式.
【详解】∵an+1=Sn·Sn+1=Sn+1-Sn,两边同除以Sn+1·Sn,得.
∴是以-1为首项,d=-1的等差数列,
即=-1+(n-1)×(-1)=-n,
∴Sn=-.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-+=,
又a1=-1不符合上式,
∴
故A错误,BCD正确.
故选:BCD
三、填空题
6.(2023·全国·高三专题练习)设数列的前n项和为,已知,,,则数列的通项公式为________.
答案:
分析:由构造法和与关系求解
【详解】由题意得,而,
所以是首项为2,公比为2的等比数列.
,,当时,,也满足此式,
综上,
故答案为:
7.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和,则数列的通项公式为______.
答案:
分析:利用与关系即得.
【详解】因为,
当时,,
当时,,
所以.
故答案为:.
8.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,且,(),则___________
答案:
分析:根据给定的递推公式,结合“当时,”构造数列求出数列的通项即可求解作答.
【详解】因为,则,当时,,因此,
化简整理得,而,有,即有,,
因此,数列是以为首项,2为公比的等比数列,则,即,
所以.
故答案为:
四、解答题
9.(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测)已知数列满足,且.
(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
答案:(1)证明见详解,
(2)
分析:(1)根据递推公式构造可证,然后借助为等比数列可得通项,再构造数列可证为等差数列,根据等差数列通项公式可解;
(2)由错位相减法可得.
(1)
因为
所以
又因为
所以是以4为首项,2为公比的等比数列.
所以
变形得
所以是以为首项,1为公差的等差数列
所以,所以
(2)
因为…①
所以…②
①-②得:
所以
10.(2023·全国·高考真题(理))设数列{an}满足a1=3,.
(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
答案:(1),,,证明见解析;(2).
【解析】
分析:
(1)方法一:(通性通法)利用递推公式得出,猜想得出的通项公式,利用数学归纳法证明即可;
(2)方法一:(通性通法)根据通项公式的特征,由错位相减法求解即可.
【详解】
(1)
[方法一]【最优解】:通性通法
由题意可得,,由数列的前三项可猜想数列是以为首项,2为公差的等差数列,即.
证明如下:
当时,成立;
假设时,成立.
那么时,也成立.
则对任意的,都有成立;
[方法二]:构造法
由题意可得,.由得.,则,两式相减得.令,且,所以,两边同时减去2,得,且,所以,即,又,因此是首项为3,公差为2的等差数列,所以.
[方法三]:累加法
由题意可得,.
由得,即,,…….以上各式等号两边相加得,所以.所以.当时也符合上式.综上所述,.
[方法四]:构造法
,猜想.由于,所以可设,其中为常数.整理得.故,解得.所以.又,所以是各项均为0的常数列,故,即.
(2)由(1)可知,
[方法一]:错位相减法
,①
,②
由①②得:
,
即.
[方法二]【最优解】:裂项相消法
,所以.
[方法三]:构造法
当时,,设,即,则,解得.
所以,即为常数列,而,所以.
故.
[方法四]:
因为,令,则
,
,
所以.
故.
【整体点评】
(1)方法一:通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式,再根据数学归纳法进行证明,是该类问题的通性通法,对于此题也是最优解;
方法二:根据递推式,代换得,两式相减得,设,从而简化递推式,再根据构造法即可求出,从而得出数列的通项公式;
方法三:由化简得,根据累加法即可求出数列的通项公式;
方法四:通过递推式求出数列的部分项,归纳得出数列的通项公式,再根据待定系数法将递推式变形成,求出,从而可得构造数列为常数列,即得数列的通项公式.
(2)
方法一:根据通项公式的特征可知,可利用错位相减法解出,该法也是此类题型的通性通法;
方法二:根据通项公式裂项,由裂项相消法求出,过程简单,是本题的最优解法;
方法三:由时,,构造得到数列为常数列,从而求出;
方法四:将通项公式分解成,利用分组求和法分别求出数列的前项和即可,其中数列的前项和借助于函数的导数,通过赋值的方式求出,思路新颖独特,很好的简化了运算.
11.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的各项均为正数,前项和为,且满足
(1)求证:为等差数列;
(2)求的通项公式.
答案:(1)见详解
(2)n+2
分析:(1)利用可得答案;
(2)由(1)得,,代入等差数列的通项公式可得答案.
(1)
当时,有,即,
解得 (舍去),,
当时,有,
两式相减得,
即,也即,
因此或,
若,则,而,所以,
这与数列的各项均为正数矛盾,所以,
即,因此为公差为1的等差数列;
(2)
由(1)知,,所以数列的通项公式,
即.
12.(2023·安徽省太和中学高三阶段练习)已知等差数列的前项和为,等差数列的公差为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
答案:(1),
(2)
分析:(1)利用当时,,可求得,进而求得数列的公差为,再由,解得,从而求得数列和数列的通项公式(2)利用裂项相消法求和即得所求
(1)
由可得,
当时,
则
所以
即数列的公差为,又
所以,解得,
故数列的通项公式为,数列的通顶公式为;
(2)
由(1)可知,,所以.
13.(2023·云南·昆明一中高三开学考试)已知数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)设的前项和为,求.
答案:(1)
(2)
分析:(1)先用替换原式中的,然后两式作差,结合与的关系,即可得到为等差数列,从而得到其通项.
(2)由(1)的结论,求得及,代入化简,得到的式子,裂项相消即可.
(1)
,
,
两式作差得:,
,
成等差数列,
又当时,,
所以
即
(2)
由(1)知,
则,
即
,
故
.
14.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,且满足(),.
(1)求;
(2)求数列的通项公式.
答案:(1)
(2)
分析:(1) 利用, 化简已知条件, 转化推出. 即可证明数列是等差数列 ;
(2)利用(1)求出数列的和, 通过已知条件转化求解即可.
(1)
由题意可得, 当时,,
当时,, 即 , 可得 ,
即数列 是首项为2 ,公差为2的等差数列 , , 可得.
经检验,时,满足上式,
故.
(2)
由(1)可得,当时,,
当时,,不符合,
综上所述, 结论是:
.
15.(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试(文))在数列中,,且,.
(1)求的通项公式;
(2)若,且数列的前项n和为,证明:.
答案:(1)
(2)证明见解析
分析:(1)由已知得当,再和已知的式子相减化简后利用累乘法可求出通项公式,
(2)由(1)得当时,,利用裂项相消法可求得,从而可证得结论.
(1)
解:因为,
所以当,
两式相减,得,即,
当时,,
所以当时,,
所以当时,,
当时,上式成立;当时,上式不成立,
所以
(2)
证明:由(1)知
当时,,
所以当,;
当时,
.
综上,.
16.(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习)在数列中,,
(1)设,求证:;
(2)求数列的通项公式;
(3)求数列的前项和.
答案:(1)证明见解析;
(2);
(3).
分析:(1)依题意将转化为,将代入即可得到,结论成立;
(2)根据第(1)问,运用累加法得到,进而求出;
(3)根据第(1)、(2)问知,,,则,运用分组转化求和以及错位相减求和,得出数列的前项和.
(1)
由条件可知:,,
,
,;
(2)
由第(1)问可知,,
当时,,
当时,,
当时,,
当时,,
以上各式相加,得,
,,,即;
(3)
由第(1)、(2)问知,,,则,
设数列的通项公式,前项和为,
则,
,
两式相减,得
,
,
数列的前项和.
17.(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习)已知数列的前项和为,且满足,
(1)求和
(2)求证:.
答案:(1),
(2)证明见解析
分析:(1)利用可得,从而可求及.
(2)利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立.
(1)
时,,时,,
所以,所以数列是以为首项,公差为的等差数列.
所以,即,
当时,,
当时,,不满足上式,
所以,
(2)
当时,,原式成立.
当时,
所以.
18.(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试)已知数列的各项均为正数,记为的前项和,(且).
(1)求证:数列是等差数列,并求的通项公式:
(2)当时,求证:.
答案:(1)证明见解析,
(2)证明见解析
分析:(1)利用和的关系即可得到结果;
(2)利用裂项相消法,即可证明不等式.
(1)
∵(且),
当时,,
,
又,所以,
,
数列是以为首项,公差为1的等差数列,
,所以.
当时,,
又满足上式,
数列的通项公式为.
(2)
当时,,
故
所以对,都有.
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