数学必修 第一册3.3 幂函数学案

这是一份数学必修 第一册3.3 幂函数学案，共9页。学案主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
巧识幂函数的图象和性质
每日一练
一、单选题
1．下列关于函数的单调性的描述中，正确的是（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在上是增函数D．在上是减函数
2．关于幂函数有下列的四个命题，其中，真命题是（ ）．
A．幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数
B．如果一个幂函数有反函数，那么它一定为奇函数
C．图像不经过点的幂函数，一定不是偶函数
D．如果两个幂函数有三个公共点，那么，这两个函数一定相同
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ）
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
4．幂函数在为增函数，则的值是（ ）
A．B．C．或D．或
5．已知点在幂函数图像上，则的表达式为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
7．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A．B．2C．4D．
8．若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3B．3C．D．0
二、多选题
9．下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列说法中错误的是（ ）
A．幂函数的图象不经过第四象限
B．的图象是一条直线
C．若函数的定义域为，则它的值域为
D．若函数的值域为是，则它的定义域一定是
11．已知幂函数，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的定义域是
C．是偶函数 D．不等式的解集是
12．若幂函数的图象经过点，则幂函数在定义域上是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
三、填空题
13．幂函数在区间上是减函数，则__________.
14．已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝_____．
15．函数恒过定点______．
16．已知幂函数图像过点，则该幂函数的解析式是______________
四、解答题
17．已知幂函数在区间上单调递增.
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明函数在区间上单调递减.
已知幂函数（）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．
19．已知函数，当m为何值时，：
（1）是幂函数；
（2）是幂函数，且是上的增函数；
（3）是正比例函数；
（4）是反比例函数；
（5）是二次函数.
20．已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.
22．已知函数，.
（1）求方程的解集；
（2）定义：.已知定义在上的函数.求函数的解析式，在平面直角坐标系中，画出函数的简图；并写出函数的单调区间和最小值.
参考答案
1．C在上是增函数
2．CA.的定义域是，它既不是奇函数又不是偶函数，故A不正确；
B. 有反函数，反函数是 ，但它不是奇函数，故B不正确；
C.因为幂函数必过点，若函数是偶函数，则必过点，若函数没有过点，则函数一定不是偶函数，故C正确；D.函数和都是幂函数，且有三个公共点，分别是，但是这两个函数不同，故D不正确.
3．A当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；
当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；
当或时，满足函数y＝xα的定义域为R，
4．B为幂函数，，解得：或；当时，，则在上为减函数，不合题意；当时，，则在上为增函数，符合题意；综上所述：.
5．B设，由条件可知，所以，所以，
6．A由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，
7．D设幂函数，幂函数的图象经过点所以，解得 所以，则
8．B解：因为幂函数在上是减函数，所以，由，得或，当时，，所以舍去，当时，，所以，
9．AB选项A中，，定义域为R，满足，故是偶函数，又由二次函数性质知区间单调递增，故符合题意；选项B中，，定义域为R，满足，故是偶函数，在区间上，是递增函数，故符合题意；
选项C中，，定义域为，满，故是偶函数，但由幂函数性质知在区间单调递减，故不符合题意；选项D中，，定义域为R，恒成立，故不是偶函数，故不符合题意.
10．BCD解：对于A，由幂函数的图象知，它不经过第四象限，所以A对；对于B，因为当时，无意，即在无定义，所以B错；对于C，函数的定义域为，则它的值域为，不是，所以C错；对于D，定义域不一定是，如，所以D错.
11．ACD因为函数是幂函数，所以，得，即，，故A正确；函数的定义域是，故B不正确；
，所以函数是偶函数，故C正确；函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确.
12．AC因是幂函数，设，而其图象过点，即，解得，于是得，且定义域为R，显然是R上增函数，C正确；
，则为R上奇函数．A正确．
13．0因幂函数在区间上是减函数，则，解得，而，则0.
14．﹣1因为幂函数为奇函数，且在上单调递减，所以为负数，因为，所以，
15．当，即时，，函数恒过定点..
16．设，因为，所以，所以函数的解析式是．
17．（1）；（2）证明见解析.（1）解：由题可知：，解得或.若，则在区间上单调递增，符合条件；若，则在区间上单调递减，不符合条件.故.
（2）证明：由（1）可知，.任取，，且，
则.因为，
所以，，，所以，
即，故在区间上单调递减.
18．或．∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，
∴，∴；∵，，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．
19．（1）或（2）（3）（4）（5）.
（1）因为函数是幂函数，所以，解得：或；
（2）当时，，函数在上是减函数，
当时，，函数在上是增函数，
综上可知：时，满足条件；
（3）若函数是正比例函数，则，解得：；
（4）若函数是反比例函数，则，解得：；
（5）若函数是二次函数，则，解得：.
20．（1）；（2）．
（1）∵函数为幂函数，，解得或5，
当时，，为奇函数，当时，，为偶函数，
函数为奇函数，；
（2）由（1）可知，，则，，令，则，，则，，
函数为开口向下，对称轴为的抛物线，当时，函数，
当，函数取得最大值为1，的值域为，故函数的值域为．
21．，的取值范围为∵幂函数经过点，∴，
即∴=.解得=或=.又∵，∴=.
∴，则函数的定义域为，并且在定义域上为增函数.由得解得.∴的取值范围为.
22．（1）或；（2）图象答案见解析，单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.
解：（1）由，得，；（2）由已知得，
函数的图象如图实线所示：
函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.