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    专题02勾股定理(知识串讲+热考题型+专题训练)-2023-2024学年八年级数学第二学期期中期末高效备考(人教版)
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    专题02勾股定理(知识串讲+热考题型+专题训练)-2023-2024学年八年级数学第二学期期中期末高效备考(人教版)

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    这是一份专题02勾股定理(知识串讲+热考题型+专题训练)-2023-2024学年八年级数学第二学期期中期末高效备考(人教版),文件包含专题02勾股定理知识串讲+热考题型+专题训练-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点大串讲人教版原卷版docx、专题02勾股定理知识串讲+热考题型+专题训练-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点大串讲人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共92页, 欢迎下载使用。

    一.勾股定理(共4小题) 二.勾股定理的证明(共4小题)
    三.勾股定理的逆定理(共7小题) 四.勾股数(共3小题)
    五.勾股定理的应用(共7小题)
    知识点一、直角三角形直角边与斜边之间的大小关系
    定理:在直角三角形中,斜边大于直角边.
    知识点二、勾股定理
    直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为,斜边长为,那么.
    要点诠释:(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
    (2)利用勾股定理,当设定一条直角边长为未知数后,根据题目已知的线段长可以建立方程求解,这样就将数与形有机地结合起来,达到了解决问题的目的.
    (3)理解勾股定理的一些变式:
    ,, .
    知识点三、勾股定理的证明
    方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形.
    图(1)中,所以.

    方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形.
    图(2)中,所以.

    方法三:如图(3)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形.

    ,所以.
    知识点四、勾股定理的作用
    已知直角三角形的任意两条边长,求第三边;
    用于解决带有平方关系的证明问题;
    3. 利用勾股定理,作出长为的线段.
    知识点五、勾股定理的逆定理
    如果三角形的三条边长,满足,那么这个三角形是直角三角形.
    要点诠释:(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
    (2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”,是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
    知识点六、如何判定一个三角形是否是直角三角形
    首先确定最大边(如).
    验证与是否具有相等关系.若,则△ABC是∠C=90°的直角三角形;若
    ,则△ABC不是直角三角形.
    要点诠释:当时,此三角形为钝角三角形;当时,此三角形为锐角三角形,其中为三角形的最大边.
    知识点七、勾股数
    满足不定方程的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以为三边长的三角形一定是直角三角形.
    熟悉下列勾股数,对解题会很有帮助:
    3、4、5; ②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤9、40、41……
    如果()是勾股数,当为正整数时,以为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形.
    要点诠释:(1)(是自然数)是直角三角形的三条边长;
    (2)(是自然数)是直角三角形的三条边长;
    (3) (是自然数)是直角三角形的三条边长;
    一.勾股定理(共4小题)
    1.(2022春•乾安县期中)直角三角形的两边长分别为6和10,那么它的第三边的长度为( )
    A.8B.10C.8或2D.10或2
    2.(2021春•沂水县期中)已知O为数轴原点,如图,(1)在数轴上截取线段OA=2;(2)过点A作直线l垂直于OA;(3)在直线l上截取线段AB=3;(4)以O为圆心,OB的长为半径作弧,交数轴分别于点C,D.根据以上作图过程及所作图形,有如下四个结论:①OC=5;②OB=;③点C对应的数是﹣2;④5<AD<6.上述结论中,所有正确结论的序号是( )
    A.①②B.①③C.②③D.②④
    3.(2021秋•茂名期中)如图,OP=1,过点P作PP1⊥OP且PP1=1,得OP1=;再过点P,作P1P2⊥OP1,且P1P2=1,得OP2=;又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2…依此法继续作下去,得OP2021=( )
    A.B.C.D.
    4.(2022春•静海区校级期中)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,若AB=17,BD=15,DC=6,则AC的长为( )
    A.11B.10C.9D.8
    二.勾股定理的证明(共4小题)
    5.(2022春•延津县期中)如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成,其中AE=5,BE=13,则EF2的值是( )
    A.128B.64C.32D.144
    6.(2022春•长葛市期中)若a,b为直角三角形的两直角边,c为斜边,下列选项中不能用来证明勾股定理的是( )
    A.B.
    C.D.
    7.(2022春•雄县期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )
    A.9B.6C.4D.3
    8.(2021春•洛阳期中)如图,在△ABD中,AC⊥BD于C,点E为AC上一点,连接BE、DE,DE的延长线交AB于F,已知DE=AB,∠CAD=45°.
    (1)求证:DF⊥AB;
    (2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明,已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,求证:a2+b2=c2.
    三.勾股定理的逆定理(共7小题)
    9.(2022春•仁化县期中)如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,点D是Rt△ABC外一点,连接DC,DB,且CD=4,BD=3.
    (1)求BC的长;
    (2)求证:△BCD是直角三角形.
    10.(2022春•茂南区期中)已知△ABC的三边为a,b,c,下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
    A.a=3,b=2,B.a=40,b=50,c=60
    C.,b=1,D.,b=4,c=5
    11.(2022春•长沙期中)下列条件中,不能判定△ABC是直角三角形的是( )
    A.∠A=∠B+∠CB.a:b:c=5:12:13
    C.a2=(b+c)(b﹣c)D.∠A:∠B:∠C=3:4:5
    12.(2022春•交城县期中)如图,在正方形网格中,点A,B,C,D,E是格点,则∠ABD+∠CBE的度数为 .
    13.(2022春•黄石期中)如图,在四边形ABCD中,AB=BC=3,CD=,DA=5,∠B=90°,则∠BCD的度数 .
    14.(2022春•韩城市期中)如图,网格中每个小正方形的边长都是1,点A、B、C、D都在格点上.
    (1)线段AB的长度是 ,线段CD的长度是 .
    (2)若EF的长为,那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形,并说明理由.
    15.(2022春•越秀区期中)如图,一块铁皮(图中阴影部分),测得AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,∠B=90°.求阴影部分的面积.
    四.勾股数(共3小题)
    16.(2022春•凤山县期中)像15,8,17这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2﹣1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数.你认为对吗?请说明理由.
    17.(2022春•三江县期中)下列四组数中不是勾股数的是( )
    A.3,4,5B.5,12,13C.1,2,3D.8,15,17
    18.(2022春•丰都县期中)我们知道,如果直角三角形的三边的长都是正整数,这样的三个正整数就叫做一组勾股数.如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和,即m=a2+b2,那么称m为广义勾股数,则下面的结论:
    ①7是广义勾股数;
    ②13是广义勾股数;
    ③两个广义勾股数的和是广义勾股数;
    ④两个广义勾股数的积是广义勾股数;
    则正确的是( )
    A.①③B.①④C.②③D.②④
    五.勾股定理的应用(共7小题)
    19.(2022春•仙居县期中)在《九章算术》中有一个问题(如图):今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?它的意思是:一根竹子原高一丈(10尺),中部一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面 尺.
    20.(2022春•江城区期中)湖的两岸有A,B两棵景观树,数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离,他们在与AB垂直的BC方向上取点C,测得BC=30米,AC=50米.
    求:(1)两棵景观树之间的距离;
    (2)点B到直线AC的距离.
    21.(2022春•渝北区期中)东营市某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”,把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”,学生们在课堂上学习理论之余,还可以到“试验田”实际操练,对生物的发展规律有了更为直观的认识.如图,四边形ABCD是规划好的“试验田”,经过测量得知:∠B=90°,AB=24m,BC=7m,CD=15m,AD=20m.求四边形ABCD的面积.
    22.(2022春•平邑县期中)某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯,已知地毯每平方米20元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要 元.
    23.(2022秋•淮安区期中)森林火灾是一种常见的自然灾害,危害很大,随着中国科技、经济的不断发展,开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图,有一台救火飞机沿东西方向AB,由点A飞向点B,已知点C为其中一个着火点,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为600m和800m,又AB=1000m,飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.
    (1)着火点C受洒水影响吗?为什么?
    (2)若飞机的速度为10m/s,要想扑灭着火点C估计需要13秒,请你通过计算判断着火点C能否被扑灭?
    24.(2022春•确山县期中)如图是高空秋千的示意图,小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B.最终荡到最高点C处,若∠AOC=90°,点A与点B的高度差AD=1米,水平距离BD=4米,则点C与点B的高度差CE为( )米.
    A.4B.4.5C.5D.5.5
    25.(2022春•溆浦县期中)一架方梯长25米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,
    (1)这个梯子的顶端距地面有多高?
    (2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?
    一、单选题
    1.(2023春·广东深圳·八年级校考期中)如图,在中,.分别以B、C为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧分别交于E、F两点,连接直线,分别交于点M、N,连接,则的面积为( )
    A.12B.6C.7.5D.15
    【答案】B
    【分析】利用基本作图得到垂直平分,则根据线段垂直平分线的性质得到,,,再证明,得到,然后利用勾股定理计算出,从而得到的面积.
    【详解】解:由作法得垂直平分,
    ∴,,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    在中,,
    ∴的面积.
    故选:B.
    【点睛】本题考查了作图-基本作图,线段垂直平分线的性质,熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.
    2.(2023秋·江苏连云港·八年级统考期中)下列长度的三根线段,能构成直角三角形的是( )
    A.3cm,5cm,5cmB.4cm,8cm,5cm
    C.5cm,13cm,12cmD.2cm,7cm,4cm
    【答案】C
    【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可.
    【详解】,不能构成直角三角形,故A错误;
    ,不能构成直角三角形,故B错误;
    ,能构成直角三角形,故C正确;
    ,不能构成直角三角形,故D错误;
    故选:C.
    【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用,三边满足的三角形是直角三角形,熟练掌握定理是解题的关键.
    3.(2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中)已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为2,那么此直角三角形的周长是( )
    A.B.3C.+2D.+3
    【答案】D
    【分析】根据直角三角形的性质及勾股定理即可解答.
    【详解】如图所示,
    Rt△ABC中,AB=2,

    故此三角形的周长是+3.
    故选:D.
    【点睛】考查勾股定理,含30度角的直角三角形,熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
    4.(2023秋·江苏泰州·八年级校考期中)如图,将一边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b的正方形(其中b>a)拼接在一起,则四边形ABCD的面积为( )
    A.b2+(b﹣a)2B.b2+a2C.(b+a)2D.a2+2ab
    【答案】A
    【详解】解:∵DE=b﹣a,AE=b,
    ∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××(b﹣a)•b+ a2=b2+(b﹣a)2,
    故选:A.
    5.(2023秋·江苏泰州·八年级校考期中)下面四组数,其中是勾股数的一组是( )
    A.,,B.0.3,0.4,0.5C.3,4,5D.6,7,8
    【答案】C
    【分析】根据勾股数的定义:满足的三个正整数,称为勾股数,据此解答即可.
    【详解】解:A、,故,,不是勾股数,本选项不符合题意;
    B、0.3,0.4,0.5不是整数,故0.3,0.4,0.5不是勾股数,本选项不符合题意;
    C、,故3,4,5勾股数,本选项符合题意;
    D、,故6,7,8不是勾股数,本选项不符合题意;
    故选:C.
    【点睛】此题考查的知识点是勾股数,解答此题要深刻理解勾股数的定义,并能够熟练运用.
    6.(2023秋·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中)将边长为3cm的正三角形各边三等分,以这6个分点为顶点构成一个正六边形,则这个正六边形的面积为( )
    A. cm2B. cm2C. cm2D. cm2
    【答案】A
    【详解】解:三角形的高=,
    三角形面积=cm2,
    六边形的面积=cm2.
    故选A.
    7.(2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中)给出下列命题:
    ①在直角三角形中,已知两边长3和4,则第三边长为5;
    ②三角形的三边满足,则;
    ③中,若,则是直角三角形;
    ④中若,则这个三角形是直角三角形;
    其中,正确命题的个数为( ).
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    【答案】B
    【分析】根据勾股定理及逆定理,三角形内角和定理逐一判定即可.
    【详解】①在直角三角形中,已知两边长3和4,则第三边长为或,故①错误;
    ②三角形的三边满足,则;故②错误.
    ③中,若

    是直角三角形
    故③正确.
    ④中,若,设
    则,
    ∴是直角三角形,
    故④正确.
    所以,正确的命题有2个.
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定,熟练掌握勾股定理和其逆定理,以及三角形内角和定理是解题的关键.
    二、填空题
    8.(2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中)如图,为中斜边上的一点,且,过作的垂线,交于,若,,则的长为________.
    【答案】
    【分析】连接,根据已知条件,先证明,再根据全等三角形的性质,求得的长度,进而勾股定理即可求解.
    【详解】解:如图,连接.
    ∵为中斜边上的一点,且,过作的垂线,交于,
    ∴,
    ∴在和中,

    ∴,
    ∴,
    又∵,
    ∴.
    在中,,

    故答案为:.
    【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定()以及全等三角形的性质,勾股定理,连接是解决本题的关键.
    9.(2023秋·江苏南京·八年级统考期中)如图,在△ABC中,,,点D是BC上一点,,则CD的长为________.
    【答案】
    【分析】设,则:,利用勾股定理进行求解即可.
    【详解】解:设,则:,
    ∵,
    则:
    ∵,,
    ∴,
    解得:;
    ∴;
    故答案为:.
    【点睛】本题考查勾股定理.熟练掌握勾股定理是解题的关键.
    10.(2023秋·江苏南京·八年级统考期中)在中,,.则的面积为______.
    【答案】60
    【分析】画出图形,过点作于,利用等腰三角形的三线合一性质得到,再利用勾股定理求得即可求解.
    【详解】解:如图,过点作于,则,
    ∵,,
    ∴,
    ∴在中,,
    ∴,
    故答案为:60.
    【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式,熟练掌握等腰三角形的三线合一性质解答的关键.
    11.(2023秋·江苏苏州·八年级期中)如图,在数轴上点A表示的实数是 _____.
    【答案】##
    【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径,再根据点A的位置可得答案.
    【详解】解:∵半径
    ∴点A表示的数为,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了实数与数轴,勾股定理的应用,体现了数形结合的数学思想,解题时注意点A在数轴的正半轴上.
    12.(2023秋·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中)如图,等边三角形ABC中,AE=3CE=3,点D是BC上的一个动点,连接AD,点F、G在AD上,且∠BFD=∠DGE=60°,当△AEG的面积最大时,FG=________.
    【答案】
    【分析】过点E作EM⊥AD于M,根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得S△AGE,利用完全平方公式可得当AG=GE时,有最大值,可得△AGE的面积最大,利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出AD、AG、DF的长,即可得答案.
    【详解】解:如图,过点E作EM⊥AD于M,
    ∵∠DGE=60°,
    ∴∠GEM=30°,
    ∴MG=GE,
    ∴ME=,
    ∴S△AGE=,
    ∵,
    ∴,
    ∴当AG=GE时,有最大值,
    ∴△AGE的面积最大,
    如图,取AE的中点H,过点H作GH⊥AE于H,交AD于点G,连接GE,
    ∴GA=GE,
    ∵∠DGE=60°,
    ∴∠GAE=∠GEA=30°,
    ∵∠BAC=60°,
    ∴∠BAD=∠CAG=30°,
    ∵AB=AC,
    ∴AD⊥BC,
    ∵EC=1,AE=3,
    ∴AC=BC=AB=4,
    ∴BD=CD=2,
    ∴AD==2,
    ∵∠EAG=30°,∠AHG=90°,
    ∴GH=AG
    ∴,
    ∵AH=EH=,
    ∴AG=,(负值舍去)
    ∵∠BFD=60°,∠BDF=90°,
    ∴∠DBF=30°,
    ∴∠ABF=30°,DF=BF,
    ∴∠ABF=∠BAF,
    ∴BF=AF=2DF,
    ∴BD=,
    ∴FG=AD-AG-DF=2-﹣=,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了等边三角形的性质,直角三角形的性质,勾股定理,30°角所对的直角边等于斜边的一半;熟练掌握等边三角形的性质,直角三角形的性质,是解题的关键.
    13.(2023秋·江苏苏州·八年级期中)一个三角形两条边长为3和4,当第三条边长为 __时,此三角形为直角三角形.
    【答案】或5
    【分析】由题意,需分类讨论,再根据勾股定理的逆定理解决此题.
    【详解】解:设第三条边长为x,此三角形为直角三角形,那么可能出现以下两种情况:
    ①边长为4的边为斜边,此时x<4,则32+x2=42,得;
    ②边长为4的边为直角边,此时边长为x的边为斜边,则32+42=x2,得x=5.
    综上,或5.
    故答案为:或5.
    【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理,熟练掌握勾股定理的逆定理以及分类讨论的思想是解决本题的关键.
    14.(2023秋·江苏南京·八年级统考期中)若一个直角三角形的两直角边长分别为6和8,则其斜边上的高为________.
    【答案】
    【分析】由勾股定理可求斜边长为,根据面积不变,得斜边上的高为,计算求解即可.
    【详解】解:由勾股定理可求斜边长为,
    根据面积不变,得斜边上的高为,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了勾股定理,等面积法求三角形的高,解题的关键在于正确的计算.
    15.(2023春·广东深圳·八年级校考期中)如图,P是等边△ABC内一点,PA=4,PB=2,PC=2,则ABC的边长为________.
    【答案】2
    【分析】作BH⊥PC于H,如图,把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD,连接PD,可判断△PBD为等边三角形,利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形,∠CPD=90°,易得∠BPC=150°,利用平角等于有∠BPH=30°,在Rt△PBH中,根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和PH的长,在Rt△BCH中,根据勾股定理即可求解.
    【详解】解:作BH⊥PC于H,如图,
    ∵△ABC为等边三角形,
    ∴BA=BC,∠ABC=60°,
    ∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD,连接PD,如图,
    ∴CD=AP=4,BD=BP=,∠PBD=60°,
    ∴△PBD为等边三角形,
    ∴PD=PB=,∠BPD=60°,
    在△PDC中,∵PC=2,PD=,CD=4,
    ∴PC2+PD2=CD2,
    ∴△PCD为直角三角形,∠CPD=90°,
    ∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=150°,
    ∴∠BPH=30°,
    在Rt△PBH中,∵∠BPH=30°,PB=,
    ∴BH=PB=,PH=BH=3,
    ∴CH=PC+PH=2+3=5,
    在Rt△BCH中,BC2=BH2+CH2= ()2+52=28,
    ∴BC=2,
    ∴ABC的边长为2.
    【点睛】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的性质与勾股定理的逆定理.
    16.(2023秋·江苏苏州·八年级期中)我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.
    观察:3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;…,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.
    (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数: ;
    (2)若第一个数用字母n(n为奇数,且n≥3)表示,那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ,请用所学知识说明它们是一组勾股数.
    【答案】(1)11,60,61;(2)和
    【详解】(1)∵112+602=612,∴11,60,61是一组勾股数;
    故答案为11,60,61.
    (2)∵3、4、5是一组勾股数组,,;
    5、12、13是一组勾股数组,,;
    7、24、25是一组勾股数组,,;
    ……
    ∴n,,是一组勾股数组.
    ∵ ,
    ,
    .
    ∴n, ,是一组勾股数组.
    点睛:本题考查了勾股定理的应用,数字类的探索与规律,由所给例子得到n,是一组勾股数组并能根据勾股定理进行验证是解题的关键.
    17.(2023秋·江苏连云港·八年级统考期中)直角三角形有两条边长分别为 6 和 8,则第三条边的平方为_____.
    【答案】100或28
    【详解】解:①当6和8为直角边时,第三边长的平方=62+82=100;
    ②当8为斜边,6为直角边时,第三边长的平方=82-62=28;
    故答案为:100或28.
    18.(2023秋·江苏连云港·八年级统考期中)如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为____.
    【答案】8
    【分析】本题利用等腰三角形的性质三线合一和勾股定理即可解决.
    【详解】 AD是∠BAC的平分线 ,
    故答案为8.
    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质定理及勾股定理,熟练掌握性质定理是解题的关键.
    19.(2023秋·江苏泰州·八年级校考期中)如图,,已知中,,的顶点A、B分别在边、上,当点B在边上运动时,A随之在上运动,的形状始终保持不变,在运动的过程中,点C到点O的距离为整数的点有______个.
    【答案】6
    【分析】取的中点D,连接;根据三角形的边角关系得到小于等于,只有当O、D及C共线时,取得最大值,最大值为;根据D为中点,得到为3,根据三线合一得到垂直于,在中,根据勾股定理求出的长,在中,为斜边上的中线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得等于的一半,由的长求出的长,进而求出的取值范围.
    【详解】解:如图,取的中点D,连接;
    ∵,
    ∵点D是边中点,
    ∴,
    ∴;
    连接,,有,
    当O、D、C共线时,有最大值,最大值是,
    又∵为直角三角形,D为斜边的中点,
    ∴,
    ∴.
    为整数
    ∴点C到点O的距离为整数的点有6个,
    故答案为6.
    【点睛】本题考查三角形的三边关系、勾股定理和直角三角形中线的性质,掌握这些定理和性质是解题的关键.
    20.(2023秋·江苏南京·八年级统考期中)如图,在中,.以、为边的正方形的面积分别为、,若,,则的长为______.
    【答案】3
    【分析】根据勾股定理求出,则可得出答案.
    【详解】解:在中,,
    ∵,,
    ∴,
    ∴.
    故答案为:3.
    【点睛】本题考查的是勾股定理的应用,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.
    21.(2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中)等腰的斜边上有一点,连结,将沿着折叠,点落在边上,连结,则________.
    【答案】
    【分析】过点作于点,设,则,根据折叠的性质以及勾股定理求得,进而根据,即可求解.
    【详解】解:如图,过点作于点,
    ∵是等腰直角三角形,
    ∴,
    ∴是等腰直角三角形,
    ∴,
    ∵将沿着折叠,点落在边上,
    ∴,,
    ∴是等腰直角三角形,
    ∴,
    设,则,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,

    ∴.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,勾股定理,折叠的性质,掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键.
    22.(2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中)如图,为中斜边上的一点,且,过作的垂线,交于,若,,则的长为________.
    【答案】
    【分析】连接,根据已知条件,先证明,再根据全等三角形的性质,求得的长度,进而勾股定理即可求解.
    【详解】解:如图,连接.
    ∵为中斜边上的一点,且,过作的垂线,交于,
    ∴,
    ∴在和中,

    ∴,
    ∴,
    又∵,
    ∴.
    在中,,

    故答案为:.
    【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定()以及全等三角形的性质,勾股定理,连接是解决本题的关键.
    三、解答题
    23.(2023秋·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中)如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC>AC,点E在BC上,点D在AB上,CE=CA,连接DE,∠ACB+∠ADE=180°,CH⊥AB,垂足为点H.求证:DE+AD=CH.
    【答案】见解析
    【分析】如图,作∠FCD=∠ACB,交BA延长线于F,证明△AFC≌△EDC得到AF=DE,FC=CD,再由三线合一定理得到FH=HD,∠FCH=∠HCD=60°,则DH=CH,由此即可得到.
    【详解】证明:如图,作∠FCD=∠ACB,交BA延长线于F,
    ∵∠FCA+∠ACD=∠ACD+∠DCB,
    ∴∠FCA=∠DCB,
    ∵∠ACB=120°,∠ACB+∠ADE=180°,∠EDB+∠ADE=180°,
    ∴∠EDB=∠ACB=120°,∠EDA=60°,
    ∵∠FAC=120°+∠B,∠CED=120°+∠B,
    ∴∠FAC=∠CED,
    在△AFC和△EDC中,

    ∴△AFC≌△EDC(ASA),
    ∴AF=DE,FC=CD,
    ∵CH⊥FD,
    ∴FH=HD,∠FCH=∠HCD=60°,
    ∴DH=CH,
    ∵AD+DE=AD+AF=FD=2DH=CH,
    ∴AD+DE=CH.
    【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,含30度的直角三角形的性质,三角形外角的性质,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
    24.(2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中)一架梯子长25米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,
    (1)这个梯子的顶端距地面有多高?
    (2)如果梯子的顶端下滑了4米到,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?
    【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米
    (2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
    【分析】(1)AC=25米,BC=7米,根据勾股定理即可求得的长;
    (2)由题意得: =20米,根据勾股定理求得,根据即可求解.
    【详解】(1)解:由题意得:AC=25米,BC=7米,∠ABC=90°,
    (米)
    答:这个梯子的顶端距地面有24米;
    (2)由题意得: =20米,
    (米)
    则:=15-7=8(米),
    答:梯子的底端在水平方向滑动了8米.
    【点睛】本题考查了勾股定理的应用,掌握勾股定理是解题的关键.
    25.(2023秋·江苏苏州·八年级期中)长清的园博园广场视野开阔,阻挡物少,成为不少市民放风筝的最佳场所,某校七年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作:①测得水平距离BD的长为15米;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米;③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.
    (1)求风筝的垂直高度CE;
    (2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米,则他应该往回收线多少米?
    【答案】(1)风筝的高度CE为21.6米;
    (2)他应该往回收线8米.
    【分析】(1)利用勾股定理求出CD的长,再加上DE的长度,即可求出CE的高度;
    (2)根据勾股定理即可得到结论.
    【详解】(1)解:在Rt△CDB中,
    由勾股定理得,CD2=BC2-BD2=252-152=400,
    所以,CD=20(负值舍去),
    所以,CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米),
    答:风筝的高度CE为21.6米;
    (2)解:由题意得,CM=12米,
    ∴DM=8米,
    ∴BM= (米),
    ∴BC-BM=25-17=8(米),
    ∴他应该往回收线8米.
    【点睛】本题考查了勾股定理的应用,熟悉勾股定理,能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键.
    26.(2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中)如图,在四边形中,,,,.求的度数.
    【答案】135°
    【分析】连接AC,首先判断出△ABC的形状,然后根据勾股定理求出AC的长度,再用勾股定理的逆定理判断出△DAC的形状,最后即可求出∠BAD的度数.
    【详解】连接,
    ∵,,
    ∴△ABC为等腰直角三角形,,
    在中,由勾股定理得:

    ∴,
    ∵,,
    ∴在中,,
    ∴是直角三角形,,
    ∵,
    ∴.
    【点睛】本题考查了等腰直角三角形相关知识,勾股定理和勾股定理的逆定理,正确使用勾股定理和勾股定理的逆定理是解决本题的关键.
    27.(2023秋·江苏泰州·八年级校考期中)如图1,长方形中,,,E为边上一点,,动点P从点B出发,沿以1个单位/s作匀速运动,设运动时间为t.
    (1)当t为_________s时,与全等;
    (2)如图2,为的高,当点Р在边上运动时,的最小值是_________;
    (3)当点P在的垂直平分线上时,求出的值.
    【答案】(1)3
    (2)3
    (3)t的值为或.
    【分析】(1)只有当点P在上运动时存在的情况,此时,根据列方程求出t的值即可;
    (2)当点P在边上运动,的面积为定值,可以说明当点P与点C重合时的值最小,根据面积等式列方程求出此时的值即可;
    (3)设的垂直平分线为直线,分两种情况,一是点P在边上,且在直线上,作于点G,在中根据勾股定理列方程求出t的值;二是点P在边上在中根据勾股定理列方程求出t的值.
    【详解】(1)解:如图,∵四边形是长方形,
    ∴,
    当点P在边上,且时,,
    ∵,
    ∴;
    当点P在边上,若点P与点C重合,满足,
    此时,
    ∴与不全等,
    若点P与点D重合,满足,
    此时,
    ∴与不全等,
    综上所述,当时,;
    故答案为:3;
    (2)解:∵,,,
    ∴,
    当点P在边上运动,,
    ∵为的高,
    ∴,
    ∴AP•EF=40,
    ∴随的增大而减小,
    ∴,
    ∴随的增大而增大,
    当点P与点C重合时最大,此时也最大,而则最小,
    如图,点P与点C重合,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    解得,
    ∴的最小值为3,
    故答案为:3;
    (3)解:设的垂直平分线为直线,
    如图,点P在边上,且在直线上,连接,则,
    作于点G,则,
    ∵,,
    ∴,
    同理,

    ∵,
    ∴,
    解得;
    如图,点P在边上,且在直线上,连接,则,,
    ∵,
    ∴,
    解得,
    综上所述,t的值为或.
    【点睛】此题重点考查全等三角形的判定、勾股定理、根据面积等式列方程求值、动点问题的求解等知识与方法,此题难度较大,属于考试压轴题.
    28.(2023秋·江苏连云港·八年级统考期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
    (1)求证:△AED≌△ACD;
    (2)当AC=6,BC=8,求CD的长.
    【答案】(1)见解析;(2)3
    【分析】(1)根据AD平分∠BAC得 ∠BAD=∠CAD ,根据DE⊥AB得∠AED=90°,用AAS即可得证明△AED≌△ACD;
    (2)设CD=x,由(1)可知△AED≌△ACD ,则AC=AE=6,CD=DE=x,BD=BC-CD=8-x,根据勾股定理得AB=10,则BE=4,根据勾股定理得42+x2 = (8-x)2 ,即可得.
    【详解】(1)∵AD平分∠BAC,
    ∴∠BAD=∠CAD,
    ∵DE⊥AB,
    ∴∠AED=90°,
    ∵在△AED与△ACD中,
    ∴△AED≌△ACD(AAS)
    (2)设CD=x,
    由(1)可知△AED≌△ACD ,
    ∴AC=AE=6,CD=DE=x,BD=BC-CD=8-x,
    ∵在△ABC中,∠C=90°,
    ∴AB2=AC2+BC2=62+82=100,
    即AB=10或AB=-10(舍),
    ∴BE=AB-AE=10-6=4 ,
    ∵在△BED中,∠BED=90°,根据勾股定理,
    BE2+ED2=BD2 ,
    即42+x2 =(8-x)2 ,
    解得x=3,
    即CD=3.
    【点睛】本题考查了全等三角形的判定,勾股定理,解题的关键是掌握这些知识点.
    29.(2023秋·江苏苏州·八年级期中)利用网格作图.要求:只能用无刻度的直尺,保留作图痕迹.
    (1)在图①中找一点P,使点P到AB和AC的距离相等且PB=PC;
    (2)在图②中,△ABC的顶点均在正方形网格格点上,作出△ABC的角平分线BD.
    【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析
    【分析】(1)利用网格图的性质,作的角平分线,再确定的中点 利用网格图的性质取格点 作射线与的角平分线的交点即为所求作的点;
    (2)取格点 使 由勾股定理可得 连接 确定的中点 连接 交于 从而可得答案.
    【详解】解:(1)如图,点即为所求作的点,
    (2)如图,线段即为所求作的的角平分线,
    【点睛】本题考查的是角平分线的性质,线段的垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,勾股定理的应用,掌握利用以上图形的性质作图是解题的关键.
    30.(2023春·广东深圳·八年级校考期中)已知:如图,在△ADC中,AD=CD,且AB∥DC,CB⊥AB于B,CE⊥AD交AD的延长线于E,连接BE.
    (1)求证:CE=CB;
    (2)若∠CAE=30°,CE=2,求BE的长度.
    【答案】(1)见解析;(2)BE=2.
    【分析】(1)利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线,根据角平分线的性质即可得到CE=CB;
    (2)通过倒角证明△AEB是等边三角形,所以BE=AB,在Rt△ABC中,根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC,再根据勾股定理求出AB,即得出BE的长.
    【详解】(1)证明:∵AD=CD,
    ∴∠DAC=∠DCA,
    ∵AB∥CD,
    ∴∠DCA=∠CAB,
    ∴∠DAC=∠CAB,
    ∴AC是∠EAB的角平分线,
    又∵CE⊥AD,CB⊥AB,
    ∴CE=CB.
    (2)∵AC是∠EAB的角平分线,
    ∴∠EAB=2∠CAE=60°,
    ∵∠DCA=∠DAC=30°,
    ∴∠EDC=∠DCA+∠DAC=60°,
    ∵CE⊥AD,
    ∴∠CED=90°,
    ∴∠ECD=30°,
    ∵CB⊥AB,
    ∴∠CBA=90°,
    ∵AB∥CD,
    ∴∠CBA+∠DCB=180°,
    ∴∠DCB=90°,
    ∴∠ECB=∠ECD+∠DCB=120°,
    ∵CE=CB=2,
    ∴∠CBE=∠CEB=(180°﹣∠ECB)=30°,
    ∴∠EBA=60°,
    ∴∠AEB=∠EAB=∠ABE=60°,
    ∴△AEB是等边三角形,
    ∴BE=AB;
    在Rt△ABC中,
    ∵BC⊥AB,∠CAB=30°,
    ∴AC=2BC=4,
    ∴AB=,
    ∴BE=2.
    【点睛】本题考查了角平分线的性质,含30°角的直角三角形,勾股定理,等边三角形的判定与性质,其中,判定△AEB是等边三角形是解题的关键.
    31.(2023秋·江苏泰州·八年级校考期中)的三边长分别是a、b、c,且,,,是直角三角形吗?证明你的结论.
    【答案】是直角三角形,证明见解析
    【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边,就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方即可.
    【详解】解:是直角三角形.证明如下:


    ∴是直角三角形.
    【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理,熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
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