2024河南中考数学复习 二次函数与直线、线段的交点问题 强化精练 (含答案)

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(1)求抛物线的解析式；
(2)点B的坐标为(－3，－4)，点B关于原点的对称点为B′，C是抛物线对称轴上一动点，若抛物线在直线BB′下方的部分与直线BC有公共点，求点C纵坐标yC的取值范围．
第1题图
2.如图，二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与直线y＝－x＋3的图象交于A，B两点，点A的坐标为(m，7)，点B的坐标为(1，n).
(1)求二次函数y＝x2＋ax＋b的解析式；
(2)M是直线AB上的动点，过点M作线段PQ(点P在点Q的左侧)平行x轴，PQ＝2，M是PQ的中点．将点M沿直线AB平移，若线段PQ与抛物线无交点，请求出点M的横坐标t的取值范围．
第2题图
3. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋c－2交于A，B两点(点A在点B的左侧)，该抛物线的对称轴是直线x＝1.
(1)若点(3，－2)在该抛物线上，求抛物线y＝－x2＋bx＋c的解析式；
(2)当－2≤x≤2，且c＝2时，求抛物线y＝－x2＋bx＋c的最大值与最小值的差；
(3)已知M是直线AB上的动点，将点M向上平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围．
第3题图
4. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)交y轴于点C，交x轴于A(－1，0)，B(4，0)两点，作直线BC.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使PC＋PA的值最小，求点P的坐标；
(3)D是直线BC上的动点，将点D沿直线BC向上平移4 eq \r(5) 个单位长度得到点E，若线段DE与抛物线有2个交点，请直接写出点D的横坐标xD的取值范围．
第4题图
参考答案与解析
1. 解：(1)∵当x＝1时，函数y有最小值，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴－ eq \f(－4,2a) ＝1，解得a＝2，
∵抛物线过点A(2，－2)，
把点A(2，－2)代入抛物线y＝2x2－4x＋c中，得c＝－2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2－4x－2；
(2)由题意得B′(3，4)，
∵当x＝1时，y＝2x2－4x－2＝－4，
∴抛物线顶点坐标为(1，－4)，
又∵点C在抛物线的对称轴直线x＝1上，
∴当点C的纵坐标为－4时，直线BC∥x轴，
如解图，直线BC与直线BB′下方抛物线只有一个公共点C；
第1题解图
当点C的纵坐标小于－4时，直线BC与直线BB′下方抛物线无公共点，
∵直线BB′经过原点，
设直线BB′的解析式为y＝kx(k≠0)，
把点B(－3，－4)代入y＝kx中，得－3k＝－4，
解得k＝ eq \f(4,3) ，
∴直线BB′的解析式为y＝ eq \f(4,3) x，
当x＝1时，y＝ eq \f(4,3) ，
∴点C纵坐标yc的取值范围为－4≤yC＜ eq \f(4,3) .
2. 解：(1)根据题意可知，点A，B在直线y＝－x＋3上，将A(m，7)，B(1，n)代入y＝－x＋3，
得m＝－4，n＝2，
∴A(－4，7)，B(1，2)，
∵点A，B在抛物线y＝x2＋ax＋b上，
∴把点A(－4，7)，B(1，2)代入抛物线y＝x2＋ax＋b，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7＝（－4）2＋a×（－4）＋b,2＝1＋a＋b)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2,b＝－1)) ，
∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x－1；
(2)∵点M的横坐标为t，
M在直线AB上，则点M的坐标为(t，－t＋3)，
∵PQ∥x轴，PQ＝2，且M为PQ的中点，
∴点P的坐标为(t－1，－t＋3)，点Q的坐标为(t＋1，－t＋3)，
如解图①，当点Q恰好在抛物线上时，
将Q(t＋1，－t＋3)代入y＝x2＋2x－1得t＝ eq \f(－5－\r(29),2) 或t＝ eq \f(－5＋\r(29),2) ，
此时线段PQ与抛物线恰好有一个交点，
如解图②，当点P恰好在抛物线上时，
将P(t－1，－t＋3)代入y＝x2＋2x－1得t＝ eq \f(－1－\r(21),2) 或t＝ eq \f(－1＋\r(21),2) ，
此时线段PQ与抛物线恰好有一个交点，∴当t＜ eq \f(－5－\r(29),2) 或 eq \f(－1－\r(21),2) ＜t＜ eq \f(－5＋\r(29),2) 或t＞ eq \f(－1＋\r(21),2) 时，线段PQ与抛物线无交点．

图① 图②
第2题解图
3. 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点(3，－2)，对称轴为直线x＝1，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2＝－32＋3b＋c,－\f(b,－2)＝1)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2,c＝1)) ，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋1；
(2)∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴ eq \f(－b,－2) ＝1，故b＝2，当c＝2，b＝2时，y＝－x2＋2x＋2＝－(x－1)2＋3.
∵－1＜0，∴函数图象开口向下，
∴当x＝1时，y有最大值3.
当－2≤x≤2时，结合函数图象，当x＝－2时，y有最小值－6，
∴抛物线y＝－x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为3－(－6)＝9；
(3)点M的横坐标m的取值范围为－1≤m≤0或1≤m≤2.
【解法提示】设点N在抛物线上，N(m，－m2＋2m＋c)，M(m，m＋c－2)，则yN－yM＝2，即－m2＋2m＋c－(m＋c－2)＝2，解得m1＝0，m2＝1.当－x2＋2x＋c＝x＋c－2，整理得x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.∵点A在点B的左侧，∴点A的横坐标为－1，点B的横坐标为2.结合图象，当线段MN与抛物线有公共点时，点M的横坐标m的取值范围为－1≤m≤0或1≤m≤2.
4. 解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－4)＝a(x2－3x－4)，
由题可知抛物线过点(0，2)，
则－4a＝2，解得a＝－ eq \f(1,2) ，
∴抛物线的表达式为y＝－ eq \f(1,2) x2＋ eq \f(3,2) x＋2；
(2)由抛物线的表达式可知，其对称轴为直线x＝ eq \f(3,2) ，
设直线BC的表达式为y＝kx＋2(k≠0)，
将点B的坐标代入上式得0＝4k＋2，解得k＝－ eq \f(1,2) ，
则直线BC的表达式为y＝－ eq \f(1,2) x＋2；
∵点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，
点P为对称轴上一点．
∴PA＝PB，
∴PC＋PA＝PC＋PB，要使PC＋PB的值最小，则P，C，B三点共线，∴BC与抛物线对称轴的交点即为点P，如解图①，
当x＝ eq \f(3,2) 时，y＝－ eq \f(1,2) x＋2＝ eq \f(5,4) ，
即点P( eq \f(3,2) ， eq \f(5,4) )；
第4题解图①
(3)点D横坐标的取值范围为4≤xD≤8.
【解法提示】由题可知，点B，C的坐标分别为(4，0)，(0，2)，∴BC＝2 eq \r(5) ，设点D的坐标为(t，－ eq \f(1,2) t＋2)，由题可知BC＝2 eq \r(5) ，DE＝4 eq \r(5) ，由相似可得xE－xD＝2(xC－xB)＝8，则点E的坐标为(t－8，－ eq \f(1,2) (t－8)＋2)，如解图②，当点B与点D重合时，线段DE与抛物线有两个交点，即t＝4；如解图③，当点E与点C重合时，线段CD与抛物线有两个交点，即t－8＝0，故t＝8，∴当线段DE与抛物线有两个交点时，点D横坐标的取值范围为4≤xD≤8.

图② 图③
第4题解图
【解题关键点】
两个临界点,①点C为抛物线的顶点；②点C为直线BB′与抛物线对称轴的交点(不包含交点).
【解题关键点】
需分两种情况讨论：①点Q在抛物线上时,②点P在抛物线上时,分别求出t值,利用数形结合确定范围．
【解题关键点】
用点M的横坐标m表示M,N的坐标,利用MN＝2得到关于m的一元二次方程是解题的关键．
【解题关键点】
分两种情况讨论：①点B与点D重合；②点E与点C重合．