2024河南中考数学复习 二次函数与线段、面积问题 强化精练 (含答案)

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1. (一题多设问)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于C点，连接直线BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求BC的长；
(3)若点P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点Q，交直线BC于点M.
①求PM的最大值；
②当PQ＝2QM时，连接CQ，求△QBC的面积．
第1题图
2.(一题多设问)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c过M(0，5)，N(4，5)两点，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧).
(1)求b，c的值；
(2)若抛物线对称轴上有一点C，连接AC，MC，求AC＋MC的最小值，并求出此时点C坐标；
(3)连接BM，在线段BM上方的抛物线上有一点D，连接DM，BD，设点D的横坐标为t，请求出S△BDM关于t的函数解析式，并求出S△BDM的最大值；
(4)在(3)的条件下，连接AM，请判断是否存在点D，使得S△ABM＝S△BDM，并说明理由．
第2题图
参考答案与解析
1. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a－2b＋2＝0,16a＋4b＋2＝0)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,4),b＝\f(1,2))) ，
∴抛物线的解析式为y＝－ eq \f(1,4) x2＋ eq \f(1,2) x＋2；
(2)∵抛物线的解析式为y＝－ eq \f(1,4) x2＋ eq \f(1,2) x＋2，
∴C(0，2)，
∴BC＝ eq \r(42＋（0－2）2) ＝2 eq \r(5) ；
(3)①设直线BC的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，
将B，C两点的坐标代入直线BC的解析式得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4k＋m＝0,m＝2)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2),m＝2)) ，
∴直线BC的解析式为y＝－ eq \f(1,2) x＋2，
设P(x，－ eq \f(1,4) x2＋ eq \f(1,2) x＋2)，则M(x，－ eq \f(1,2) x＋2)，
∴PM＝－ eq \f(1,4) x2＋ eq \f(1,2) x＋2－(－ eq \f(1,2) x＋2)＝－ eq \f(1,4) x2＋x＝－ eq \f(1,4) (x－2)2＋1，
∵－ eq \f(1,4) <0，0∴当x＝2时，PM取得最大值，最大值为1；
②由①可得PQ＝－ eq \f(1,4) x2＋ eq \f(1,2) x＋2，QM＝－ eq \f(1,2) x＋2，
∵PQ＝2QM，
∴－ eq \f(1,4) x2＋ eq \f(1,2) x＋2＝2(－ eq \f(1,2) x＋2)，解得x1＝2，x2＝4(舍去)，
∴OQ＝2，BQ＝2，∴S△QBC＝2×2× eq \f(1,2) ＝2.
2. 解：(1)∵M(0，5)，N(4，5)两点在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，
∴c＝5，M，N关于抛物线对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线x＝－ eq \f(b,2×（－1）) ＝ eq \f(0＋4,2) ＝2.
∴b＝4，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5，b＝4，c＝5；
(2)如解图①，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC，BM，
∴BC＝AC，
∴AC＋MC＝BC＋MC≥BM，当B，C，M三点共线时，AC＋MC取得最小值，最小值为BM的长，
令y＝－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝－1，x2＝5 ，
∴A(－1，0)，B(5，0)，
∴BM＝ eq \r(52＋（0－5）2) ＝5 eq \r(2) ；
设直线BM的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，
∴将B，M两点的坐标代入直线BM的解析式得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5k＋m＝0,m＝5)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1,m＝5)) ，
∴直线BM的解析式为y＝－x＋5，
由于点C是抛物线对称轴上一点，
∴当x＝2时，y＝3，
∴AC＋MC的最小值为5 eq \r(2) ，此时点C坐标为(2，3)；
第2题解图①
(3)如解图②，过点D作x轴的垂线交BM于点F，
∵点D是抛物线上一点，且横坐标为t，
∴D(t，－t2＋4t＋5)，F(t，－t＋5)，
∴DF＝－t2＋4t＋5－(－t＋5)＝－t2＋5t＝－(t－ eq \f(5,2) )2＋ eq \f(25,4) ，
∴S△BDM＝ eq \f(1,2) DF·OB＝ eq \f(1,2) ×[－(t－ eq \f(5,2) )2＋ eq \f(25,4) ]×5＝－ eq \f(5,2) (t－ eq \f(5,2) )2＋ eq \f(125,8) ，∵－ eq \f(5,2) <0，0第2题解图②
(4)存在，理由如下：
S△ABM＝ eq \f(1,2) AB·OM＝ eq \f(1,2) ×6×5＝15，若S△ABM＝S△BDM＝－ eq \f(5,2) (t－ eq \f(5,2) )2＋ eq \f(125,8) ＝15，解得t＝2或t＝3，
∴存在点D，使得S△ABM＝S△BDM.