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第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（五大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
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这是一份第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（五大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义，文件包含第02讲玩转立体几何中的角度体积距离问题五大题型教师版-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义docx、第02讲玩转立体几何中的角度体积距离问题五大题型学生版-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
题型一：异面直线所成的角
题型二：线面角
题型三：二面角
题型四：距离问题
题型五：体积问题
【知识点梳理】
知识点1、求点线、点面、线面距离的方法
(1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示)．
(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．
(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．
②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．
③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．
知识点2、异面直线所成角的常用方法
求异面直线所成角的一般步骤：
(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设(2)所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．
知识点3、直线与平面所成角的常用方法
求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤
(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；
(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；
(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．
知识点4、作二面角的三种常用方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．
知识点5、求体积的常用方法
选择合适的底面，再利用体积公式求解．
【典例例题】
题型一：异面直线所成的角
例1．(2023·福建南平·高一校考期末)如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图，取中点，连接、，因为E，F分别是的中点，
所以，，又，，
所以，，
因为，所以，
所以在中，，所以，
因为，根据等角定理可知，
与所成的角的大小是，故B，C，D错误.
故选：A.
例2．(2023·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习)如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取的中点，连接，所以，
直线与所成角即为直线与所成的，
所以，，
，
在中由余弦定理可得,
因为，所以.
故选：C.
例3．(2023·陕西西安·高一西安市黄河中学校联考阶段练习)在正方体中，分别是的中点，则异面直线和所成角的弧度数为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在正方体中，因为分别是的中点，可得，
又因为分别是的中点，可得，
所以异面直线和所成的角，即为，
在等腰直角中，可得，
所以异面直线和所成的角为.
故选：B.
题型二：线面角
例4．(2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习)如图，四棱锥中，平面ABCD，，底面ABCD是矩形，且，．
求直线AC与平面APD所成的角的正弦值；
【解析】设点到平面的距离为，
由知，
因为平面，平面，故，又，
，平面，故平面．
又平面，所以，则，
，，
可得，
矩形ABCD中，，
所以直线与平面所成的角的正弦值是．
例5．(2023·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习)如图，在正方体中，．
(1)求证：平面；
(2)求直线和平面所成的角．
【解析】(1)在正方体中，，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面；
(2)设，连接，
由(1)得平面，
则即为直线和平面所成角的平面角，
又平面，所以，
在中，，
所以，
又，所以，
即直线和平面所成的角为．
例6．(2023·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习)如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】(1)连接，交于点，连接，
四边形为菱形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
(2)取中点，连接，
，，为等边三角形，
又为中点，；
平面，平面，，
，平面，平面，
即为直线与平面所成角，
，，
又，，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
题型三：二面角
例7．(2023·湖北武汉·高一武汉市第六中学校考阶段练习)如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.
(1)在线段AC上是否存在点F，使得平面?如果存在，求出AF的值；如果不存在说明理由；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值.
【解析】(1)记中点为M，连结，为正三角形，,
则，且.
因为平面平面 ，平面平面，平面ACD,
所以平面，又因为平面，
所以.
延长交于点G，则为平面与平面的交线，
因为，故，所以B为的中点，
取中点F，连结，则，因为平面，平面，
所以平面.
即线段上存在点F，当时，平面.
(2)连结，则为平面与平面的交线，
在平面内，过点B作的垂线，垂足为H.
连结，因为平面，平面，故,
平面，故平面，
平面，故,
则为平面与平面所成的二面角的平面角.
为正三角形，，故，则,
且,
故在中，
，
故，而，
故,又因为，
所以，
即平面与平面所成的锐二面角的正切值为.
例8．(2023·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末)如图，在四棱锥中，底面是菱形．
(1)若点E是PD的中点，证明：平面；
(2)若， ，且平面平面，求二面角的正切值．
【解析】(1)连接交于M，连接，
因为底面是菱形，所以M为的中点，
又点E是PD的中点，故为的中位线，
故，而平面，平面，
故平面；
(2)设为的中点，连接，因为，故,
因为平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，而平面，
故，
底面是菱形，故，作交于N，
则，且N为的中点，
连接，因为平面，
故平面，则即为二面角的平面角，
设，则,
，则，则，
由于为的中点，N为的中点，故，
而平面，平面，故，
所以，
即二面角的正切值为2.
例9．(2023·河南洛阳·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习)如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.
(1)证明：平面.
(2)作出二面角的平面角，并求其大小.
【解析】(1)，且，故四边形为平行四边形，故，
平面，且平面，故平面.
(2)如图所示：是中点，连接，，，
则，，故，
即，故，
平面平面，平面，平面，
故为二面角的平面角，
，，故.
故二面角的平面角为.
例10．(2023·江苏苏州·高一校考阶段练习)四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点．
(1)求证：平面；
(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；
(3)求二面角的正弦值．
【解析】(1)取的中点，连接，
因为点为的中点，所以，
又，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
(2)四边形为菱形，
，
，
为等边三角形，，
在中，是中点，
，
平面，平面，
，
，平面，平面，
平面，
斜线在平面内的射影为，
即是与平面所成角的平面角，
平面，平面，
，
在中，，
在中，，
平面，平面，，
在中，，
与平面所成角的正切值为．
(3)在平面中，过点作，垂足为，连结，
平面，平面，
，
，平面，
平面，又平面
，
是二面角的平面角，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，
由余弦定理得，
二面角的正弦值为．
题型四：距离问题
例11．(2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习)在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，顶点在平面的射影为边的中点．
求点到平面的距离．
【解析】设点到平面的距离为因为是边长为2的正三角形，
所以，
且，，
因为顶点在平面的射影为边的中点，所以平面，
且平面，所以，
故，解得.
同理可得，故，即.
在中，由余弦定理可得
，
结合可得，
所以.
根据等体积公式可得，
解得.
例12．(2023·全国·高一专题练习)在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
【解析】(1)证明：取CD的中点E，连接PE，AE，如图，
易知，，，
在中，由余弦定理得，，
则，故，
由，，，同理可得且，
故为二面角的平面角，
又，则，故，故平面平面ABCD，
又CE与AB平行且相等，且，则四边形ABCE为矩形，
故．又平面ABCD，平面平面，
故平面PCD，又平面PBC，则平面平面PBC．
(2)连接AC，设C到平面PAB的距离为h，
由(1)得平面平面PCD，，由面面垂直的性质定理，同理可得平面ABCD，
，即，
∵，，，，平面AEP，则平面AEP，
又，故平面AEP，平面AEP，故，
故，故，解得．
例13．(2023·全国·高一专题练习)在直角梯形中(如图一)，，，.将沿折起，使(如图二).
(1)求证：平面平面；
(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.
【解析】(1)取的中点，连接，如图所示：
因为，，
则四边形为正方形，所以，
因为，所以.
因为，，，平面，
所以平面.
又因为平面，所以.
因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
(2)取的中点，连接，
因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以.
因为，所以.
因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
因为，，且，
所以，
即点 E 到直线 CD 的距离为.
题型五：体积问题
例14．(2023·湖北·高一武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)校联考阶段练习)如图，在正四棱锥中，分别为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求该四棱锥被平面所截得的两部分体积之比，其中．
【解析】(1)在正四棱锥中，连接，连接，
由正方形，得，由，得平面，
则平面，而分别为的中点，即，因此平面，又平面，
所以平面平面.
(2)设与相交于点，则为的中点，延长交于点，连接，
由，得，则为等边三角形，，
因为平面平面，且为交线，所以到平面的距离等于到直线的距离，
，
在中，由余弦定理得，则，
则到直线的距离，
直线与平面所成角的正弦值．
(3)过作于，设，则，，
由，得，解出，由，得，
在中，，
四棱锥的高，则，
四边形的对角线垂直，则，
下方几何体体积，
所以．
例15．(2023·高一课时练习)如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，，，分别是，，的中点．
(1)求证：平面；
(2)设，求三棱锥的体积．
【解析】(1)证明：在三棱柱中，，
因为平面，所以平面．
又平面，所以，①
因为，为中点，所以，②
由①②，，平面，所以平面，
又平面，所以，③
设，则在矩形中，，，
故，，，
所以，即，④
由③④，，平面，
所以平面．
(2)因为为中点，所以
．
例16．(2023·全国·高一专题练习)如图，在正四棱锥中，，，、、分别为中点.
(1)求证：平面；
(2)三棱锥的体积.
【解析】(1)证明： 连接，
∵四边形为正方形，、分别为中点，
∴，
又五点共面，平面，平面，
∴平面，
(2)
在正四棱锥中，连接交于点，连接，
则平面，又平面，所以，
所以，
，
因为，为中点.
所以
，
故.
例17．(2023·全国·高一专题练习)如图，三棱锥中，，分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，，，，，求三棱锥的体积．
【解析】(1)
如图，分别取的中点为，连结.
因为分别为的中点，
所以，，且，，，
所以，且.
所以，四边形为平行四边形，
所以，.
因为平面，平面，
所以，平面.
(2)由已知可得，在中，有，，，
根据余弦定理可知，，
所以，.
在中，有，
所以，，.
因为，平面，平面，，
所以，平面.
又，
所以，.
【过关测试】
一、多选题
1．(2023·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习)如图与分别为圆台上下底面直径，，若，，，则( )
A．圆台的母线与底面所成的角的正切值为
B．圆台的全面积为
C．圆台的外接球(上下底面圆周都在球面上)的半径为
D．从点经过圆台的表面到点的最短距离为
【答案】ABD
【解析】取圆台的轴截面，设、的中点分别为、，连接，
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，
由题意可知，与圆台的底面垂直，易知四边形为等腰梯形，
且，，，
在和中，，，，
所以，，所以，，
因为，，，则四边形为矩形，且，
同理可证四边形为矩形，则，且，
所以，与圆台的底面垂直，则圆台的母线与底面所成的角为，
所以，，则，
所以，，A对；
对于B选项，圆台的全面积为，B对；
对于C选项，易知圆台的外接球球心在梯形内，且，
由勾股定理可得，且，
所以，圆台的外接球直径为，则，B错；
对于C选项，将圆台沿着轴截面切开，将圆台的侧面的一半展开如下图所示：
延长、交于点，在圆台的轴截面等腰梯形中，且，
易知、分别为、的中点，所以，，
设，则，则，
在中，，，，
由余弦定理可得，
因此，从点经过圆台的表面到点的最短距离为，D对.
故选：ABD.
2．(2023·江苏无锡·高一锡东高中校考阶段练习)如图，四棱锥中，底面为四边形，是边长为2的正三角形，，，，平面平面，则( )
A．平面
B．
C．
D．若二面角的平面角的余弦值为，则
【答案】ACD
【解析】对于A，连接交于点，由平面几何的知识易知，
又因为平面平面，且交线为，平面，
所以平面，又因为平面，所以.
又，，所以平面，故选项A正确；
对于B，若，由选项A可知，平面，因为平面，
所以 ，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，在中，有两个直角，所以与不垂直，故选项B错误；
对于C，因为平面， 平面，所以 ，又，，平面，所以平面，平面，所以，故选项C正确；
对于D，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
易知平面的一个法向量，
，，设平面的一个法向量，
则，令，则，所以，
所以，解得，
所以，，故选项D正确，
故选：ACD.
3．(2023·全国·高一专题练习)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则( )．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
【答案】AC
【解析】依题意，，，所以，
A选项，圆锥的体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.
故选：AC.
4．(2023·全国·高一专题练习)如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有( )
A．异面直线与的夹角的正弦为
B．二面角的平面角的正切值为
C．正方体的外接球体积为
D．三棱锥与三棱锥体积相等
【答案】ACD
【解析】对于A，∵，中，就是异面直线所成的角，
，则，A正确；
对于B，连接交于点O，连接，
∵平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD，
又BD⊥AO，，平面，∴BD⊥平面
∵平面，∴BD⊥，∴为二面角的平面角，
在中，，B不正确；
对于C，∵正方体外接球的半径，
∴正方体的外接球体积为，C正确；
对于D，∵，
三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，
故三棱锥与三棱锥体积相等，D正确.
故选：ACD.
二、单选题
5．(2023·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习)在二面角中，，，，，且，，若，，，则二面角的余弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意画出图形：在平面内，过A作，过点作，交于点，连接.，，平面.
又，是二面角的平面角.
由矩形得，.在中，由勾股定理得.
是等边三角形，，.
二面角的余弦值为
故选：.
6．(2023·全国·高一专题练习)如图，矩形ABCD中，，正方形ADEF的边长为1，且平面平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取AF的中点G，连接AC交BD于O点，如图所示，
则，且，异面直线与所成角即直线与所成角，
由平面平面，，平面平面，
平面知，平面，又平面，
所以，由题易知，
所以，则，，
，则在中，由余弦定理知，
，
由两直线夹角取值范围为，则直线与所成角即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C
7．(2023·福建厦门·高一福建省厦门第二中学校考阶段练习)在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取的中点为，连接，如下图所示：
利用正方体性质可得，且，所以可得是平行四边形，
即，
所以异面直线与所成的角的平面角即为，
不妨设正方体棱长为，易知；
取的中点为，连接，易知，
所以.
故选：A
8．(2023·海南·高一海南华侨中学校考期末)如图所示，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．
B．平面SCD
C．直线SA与平面SBD所成的角等于
D．直线SA与平面SBD所成的角等于直线SC与平面SBD所成的角.
【答案】C
【解析】对于A，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为为正方形，所以，
又平面，，所以平面，
因为平面，所以，故A正确；
对于B，因为，平面，平面，
所以平面SCD，故B正确；
对于C，设交于，连，由A知，平面SBD，则是直线SA与平面SBD所成的角，
设，，则，，只有当，即，即时，才有，故C不正确；
对于D，由C知，是直线SA与平面SBD所成的角，是直线与平面SBD所成的角，因为，，，
所以与全等，所以，故D正确.
三、填空题
9．(2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习)如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______．
【答案】/
【解析】，为边长为的等边三角形，
设到平面的距离为，根据，
则，
解得.
故答案为：.
10．(2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)在四棱锥中，所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为___________
【答案】
【解析】由题意可知底面是边长为的正方形,所有侧棱长都为
则四棱锥为正四棱锥,为正方形的中心,
取的中点为,连接，又因为M是PC的中点，则，
则即为所求，因为平面，
所以平面,则，
，则，
因为，所以.
故答案为：.
11．(2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习)已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________.
【答案】/
【解析】如图所示，
把三棱柱补成四棱柱，由题意得，则，
该四棱柱为长方体，，因为，
，是平行四边形,所以
异面直线与所成角为(或其补角)，
，，，
∴.
故答案为: .
12．(2023·山西·高一统考阶段练习)在正方体中，分别是，，，的中点，则异面直线和所成角的弧度数为_____________．
【答案】//
【解析】易得，，所以异面直线EF和MN所成的角为，
在中，，，
所以．
所以异面直线和所成角的弧度数为.
故答案为：.
13．(2023·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习)正方体中，直线与平面所成角的正弦值为__________.
【答案】
【解析】连接，在正方体中，面，
是直线与平面所成角，
设棱长为1，则，
直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
14．(2023·北京·高一北京工业大学附属中学校考期中)如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成的角_________．
【答案】
【解析】因为在直三棱柱中，平面，平面，
所以，
因为，所以，
因为，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
因为，，
所以为等腰直角三角形，
所以，
所以直线与平面所成的角为，
故答案为：
15．(2023·北京房山·高一北师大良乡附中校考阶段练习)如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则三棱锥的体积为__________．
【答案】
【解析】平面,点R到面的距离等于点C到面的距离,,
等体积转化
故答案为：.
四、解答题
16．(2023·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习)如图①，在梯形中，，，，将沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交于点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【解析】(1)证明：如图①，
，，，，
，，
如图②，∵，，，
，
，
，且，平面，
平面，
又平面，，
平面，且平面，，
又，且平面，平面．
(2)
方法一：过点作，垂足为，由(1)知平面，
而平面，
，
且，平面，平面，
则垂线段的长度即为点到平面的距离．
在中，，，，
，
，
由已知得，则，
由(1)知，，，
即点到平面的距离为．
方法二：求点到平面的距离，即求点到平面的距离，
由(1)知平面，平面，，
在直角三角形中，，，，
由等面积得，，
即，，
平面，且平面，，
由(1)知，∽，，
则在直角三角形中，，
设点到平面的距离为，
在三棱锥中，由等体积得，，
即
，
，
即点到平面的距离为．
17．(2023·江苏无锡·高一锡东高中校考阶段练习)如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接、交于点，点为中点．
(1)求证：//平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求点到面的距离．
【解析】(1)(1)直三棱柱，四边形为平行四边形
为的中点 为的中点，，
又平面，平面，平面.
(2)四边形为平行四边形，，
平行四边形为菱形，即
三棱柱为直三棱柱， 平面，
平面，，，，
，，平面，平面，
平面，，
，，平面，平面，
平面 ， 平面平面
(3)法一：连接，设点到平面的距离为，
平面，平面，
，为三棱锥高，
在直角中，，.
在直角中，，.
在直角中，，，.
在等腰中，，
，，，
，
点到平面的距离为.
在平行四边形中，因为为的中点，且点平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
故点到平面的距离为.
方法二：(综合法)作，垂足为，连接，作，垂足为.
平面，平面，，
，，平面，
平面，平面，，
，，平面，
平面， 即为点到平面的距离，
在直角中， ；在直角中， ，
，
点到平面的距离为.
在平行四边形中，因为为的中点，且点平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
故点到平面的距离为.
18．(2023·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习)如图，四面体的顶点都在以为直径的球面上，底面是边长为的等边三角形，球心到底面的距离为．
(1)求球的表面积；
(2)求异面直线和成角的余弦值．
【解析】(1)设外接圆圆心为，
底面外接圆的半径，又球心到底面的距离为，
球的半径，球的表面积为.
(2)为球的直径，，，
取的中点，的中点，连接，
则，，两异面直线和所成的角为或其补角；
在中，，，，
，即两异面直线所成角的余弦值为.
19．(2023·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考阶段练习)如图，在三棱台中，AB=BC=CA=2DF=2，FC=1，∠ACF=∠BCF=90°，G为线段AC中点，H为线段BC上的点，平面FGH．
(1)求证：点H为线段BC的中点；
(2)求三棱台的表面积；
(3)求二面角的正弦值．
【解析】(1)连接CD，设，连接HO、DG
∵平面FGH，平面CBD，平面平面FGH=HO，∴
∵四边形DFCG是正方形，O是CD的中点，∴点H是BC的中点．
(2)三棱台中，
∵为等边三角形，∴为等边三角形，EF=DE=1．
上底面为等边三角形，其边长为1，面积为，
下底面为等边三角形，其边长为2，面积为，
侧面ADFC和侧面EFCB为直角梯形，面积为，
侧面ADEB为等腰梯形，，作出侧面ADEB的图形，如图所示：
过点作，则有，所以，
故面积为．
，
所以，三棱台的表面积为：．
(3)∵，，且，
∴平面ABC，∴平面平面ACDF，
过H作HM垂直于AC，交AC于M，则平面ACDF，
作HN垂直于GF于N，连接MN，
则∠HNM即为二面角的平面角，
因为是边长为2的正三角形，所以点到距离为，
又因为为的中点，所以，
由题意可知，，，
在中，由余弦定理可得，
所以，
由三角形面积相等可得，解得，所以，
即二面角的正弦值为.
20．(2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习)如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
【解析】(1)证明：因为在正方形中，
折叠后即有，
又平面，
所以平面，而平面,
故；
(2)由题意知，故，
故；
(3)取线段的中点G，连接，
因为，
所以有，平面,平面,
所以即为二面角的平面角，
又由(1)得平面，平面，
故,而,,
故,
即二面角的余弦值为.
21．(2023·全国·高一专题练习)如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，求平面与平面所成二面角的大小．
【解析】因为，且平面，平面，所以平面，
如图所示，设平面平面，且平面，所以，
因为平面，且平面，所以，
又因为为正方形，可得，
因为且平面，所以平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
在直角中，可得，所以，
即平面与平面所成二面角的大小为或.
22．(2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习)已知四棱锥的底面为梯形，且，又，，，平面平面，平面平面．
(1)判断直线和的位置关系，并说明理由；
(2)若点到平面的距离为，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角余弦值大小．
①；
②为二面角的平面角．
【解析】(1)且，延长必交于一点，即为点，
平面，平面，且，，
平面，平面，又平面，平面，
连接，则平面平面，又平面平面，
直线即为直线，如下图所示，
，即直线与相交.
(2)若选条件①，，平面平面，平面平面，平面，平面；
同理可知：平面，
平面，，；
取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，，
，，又，，
；
设，则，又，，
，
，
，
，
又，，
由(1)知：二面角即为二面角，设其平面角为，
，，为中点，，，
设点到直线的距离为，
则，即，解得：，
，
又二面角为锐二面角，.
若选条件②，若为二面角的平面角，则，，
又，；
平面平面，平面平面，平面，平面；
同理可知：平面，
平面，，；
取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，，
，，又，，
；
设，则，又，，
，
，
，
，
又，，
由(1)知：二面角即为二面角，设其平面角为，
，，为中点，，，
设点到直线的距离为，
则，即，解得：，
，
又二面角为锐二面角，.
23．(2023·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习)如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点.
(1)证明平面.
(2)求异面直线与所成的角；
【解析】(1)因为底面，平面，所以，
又平面平面，
所以平面，又平面，所以，
因为是侧棱的中点，所以，
又平面平面，
所以平面.
(2)连，两直线交于点，连，
因为底面是正方形，所以是的中点，
又分别是的中点，所以，
所以或其补角就是异面直线与所成的角，
因为为正方形，且，
所以，，，
故，即是正三角边，
所以.
所以异面直线AE与PD所成的角为.
24．(2023·浙江宁波·高一效实中学校考期中)如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】(1)连接，记，
为中点， 为中点， ，
又，，∴平面；
(2)因为平面， 所以即为直线与平面所成线面角，则.
因为矩形中，所以.
因为平面，平面，所以，
计算可得.
又，，，平面，所以，
所以即为直线与平面所成线面角，解得.
25．(2023·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习)如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：平面PAD；
(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．
(3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直线PB与面PAD所成的角．
【解析】(1)取PD的中点E，连接AE，NE，
因为N是PC的中点，所以且，
又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以且，
所以且 ，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
(2)因为Q为PB的中点，M是AB的中点
所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，
又平面PAD，，MQ，平面MNQ，
所以平面平面PAD．
(3)因为PA⊥平面ABCD，平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
又ABCD为正方形，所以AB⊥AD，平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，
所以∠BPA即为直线PB与面PAD所成的角，又AB＝PA＝2，所以△BPA为等腰直角三角形，所以∠BPA＝45°，即直线PB与面PAD所成的角为45°．
26．(2023·湖南·高一校联考阶段练习)如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为线段上一点，平面.
(1)证明：为的中点；
(2)若直线与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积.
【解析】(1)连接，设，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，又底面为矩形，所以为的中点，
所以为的中点.
(2)因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，即，
又，所以，则，
由平面，平面，所以，
所以在中，
所以.
27．(2023·全国·高一专题练习)如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角．
【解析】(1)在正方形中，，
因为，所以，
又因为侧面是正方形，所以，
因为平面，
所以平面，
而平面，则，而，
∴，而，
又平面，
∴平面
(2)连接，如图所示：
∵为正方形，，
∴，
而平面，
∴平面，
∴为直线与平面所成的角，
∵，
∴，
所以直线与平面所成的角为.
题型一：异面直线所成的角
题型二：线面角
题型三：二面角
题型四：距离问题
题型五：体积问题
【知识点梳理】
知识点1、求点线、点面、线面距离的方法
(1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示)．
(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．
(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．
②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．
③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．
知识点2、异面直线所成角的常用方法
求异面直线所成角的一般步骤：
(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设(2)所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．
知识点3、直线与平面所成角的常用方法
求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤
(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；
(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；
(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．
知识点4、作二面角的三种常用方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．
知识点5、求体积的常用方法
选择合适的底面，再利用体积公式求解．
【典例例题】
题型一：异面直线所成的角
例1．(2023·福建南平·高一校考期末)如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图，取中点，连接、，因为E，F分别是的中点，
所以，，又，，
所以，，
因为，所以，
所以在中，，所以，
因为，根据等角定理可知，
与所成的角的大小是，故B，C，D错误.
故选：A.
例2．(2023·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习)如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取的中点，连接，所以，
直线与所成角即为直线与所成的，
所以，，
，
在中由余弦定理可得,
因为，所以.
故选：C.
例3．(2023·陕西西安·高一西安市黄河中学校联考阶段练习)在正方体中，分别是的中点，则异面直线和所成角的弧度数为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在正方体中，因为分别是的中点，可得，
又因为分别是的中点，可得，
所以异面直线和所成的角，即为，
在等腰直角中，可得，
所以异面直线和所成的角为.
故选：B.
题型二：线面角
例4．(2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习)如图，四棱锥中，平面ABCD，，底面ABCD是矩形，且，．
求直线AC与平面APD所成的角的正弦值；
【解析】设点到平面的距离为，
由知，
因为平面，平面，故，又，
，平面，故平面．
又平面，所以，则，
，，
可得，
矩形ABCD中，，
所以直线与平面所成的角的正弦值是．
例5．(2023·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习)如图，在正方体中，．
(1)求证：平面；
(2)求直线和平面所成的角．
【解析】(1)在正方体中，，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面；
(2)设，连接，
由(1)得平面，
则即为直线和平面所成角的平面角，
又平面，所以，
在中，，
所以，
又，所以，
即直线和平面所成的角为．
例6．(2023·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习)如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】(1)连接，交于点，连接，
四边形为菱形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
(2)取中点，连接，
，，为等边三角形，
又为中点，；
平面，平面，，
，平面，平面，
即为直线与平面所成角，
，，
又，，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
题型三：二面角
例7．(2023·湖北武汉·高一武汉市第六中学校考阶段练习)如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.
(1)在线段AC上是否存在点F，使得平面?如果存在，求出AF的值；如果不存在说明理由；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值.
【解析】(1)记中点为M，连结，为正三角形，,
则，且.
因为平面平面 ，平面平面，平面ACD,
所以平面，又因为平面，
所以.
延长交于点G，则为平面与平面的交线，
因为，故，所以B为的中点，
取中点F，连结，则，因为平面，平面，
所以平面.
即线段上存在点F，当时，平面.
(2)连结，则为平面与平面的交线，
在平面内，过点B作的垂线，垂足为H.
连结，因为平面，平面，故,
平面，故平面，
平面，故,
则为平面与平面所成的二面角的平面角.
为正三角形，，故，则,
且,
故在中，
，
故，而，
故,又因为，
所以，
即平面与平面所成的锐二面角的正切值为.
例8．(2023·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末)如图，在四棱锥中，底面是菱形．
(1)若点E是PD的中点，证明：平面；
(2)若， ，且平面平面，求二面角的正切值．
【解析】(1)连接交于M，连接，
因为底面是菱形，所以M为的中点，
又点E是PD的中点，故为的中位线，
故，而平面，平面，
故平面；
(2)设为的中点，连接，因为，故,
因为平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，而平面，
故，
底面是菱形，故，作交于N，
则，且N为的中点，
连接，因为平面，
故平面，则即为二面角的平面角，
设，则,
，则，则，
由于为的中点，N为的中点，故，
而平面，平面，故，
所以，
即二面角的正切值为2.
例9．(2023·河南洛阳·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习)如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.
(1)证明：平面.
(2)作出二面角的平面角，并求其大小.
【解析】(1)，且，故四边形为平行四边形，故，
平面，且平面，故平面.
(2)如图所示：是中点，连接，，，
则，，故，
即，故，
平面平面，平面，平面，
故为二面角的平面角，
，，故.
故二面角的平面角为.
例10．(2023·江苏苏州·高一校考阶段练习)四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点．
(1)求证：平面；
(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；
(3)求二面角的正弦值．
【解析】(1)取的中点，连接，
因为点为的中点，所以，
又，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
(2)四边形为菱形，
，
，
为等边三角形，，
在中，是中点，
，
平面，平面，
，
，平面，平面，
平面，
斜线在平面内的射影为，
即是与平面所成角的平面角，
平面，平面，
，
在中，，
在中，，
平面，平面，，
在中，，
与平面所成角的正切值为．
(3)在平面中，过点作，垂足为，连结，
平面，平面，
，
，平面，
平面，又平面
，
是二面角的平面角，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，
由余弦定理得，
二面角的正弦值为．
题型四：距离问题
例11．(2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习)在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，顶点在平面的射影为边的中点．
求点到平面的距离．
【解析】设点到平面的距离为因为是边长为2的正三角形，
所以，
且，，
因为顶点在平面的射影为边的中点，所以平面，
且平面，所以，
故，解得.
同理可得，故，即.
在中，由余弦定理可得
，
结合可得，
所以.
根据等体积公式可得，
解得.
例12．(2023·全国·高一专题练习)在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
【解析】(1)证明：取CD的中点E，连接PE，AE，如图，
易知，，，
在中，由余弦定理得，，
则，故，
由，，，同理可得且，
故为二面角的平面角，
又，则，故，故平面平面ABCD，
又CE与AB平行且相等，且，则四边形ABCE为矩形，
故．又平面ABCD，平面平面，
故平面PCD，又平面PBC，则平面平面PBC．
(2)连接AC，设C到平面PAB的距离为h，
由(1)得平面平面PCD，，由面面垂直的性质定理，同理可得平面ABCD，
，即，
∵，，，，平面AEP，则平面AEP，
又，故平面AEP，平面AEP，故，
故，故，解得．
例13．(2023·全国·高一专题练习)在直角梯形中(如图一)，，，.将沿折起，使(如图二).
(1)求证：平面平面；
(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.
【解析】(1)取的中点，连接，如图所示：
因为，，
则四边形为正方形，所以，
因为，所以.
因为，，，平面，
所以平面.
又因为平面，所以.
因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
(2)取的中点，连接，
因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以.
因为，所以.
因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
因为，，且，
所以，
即点 E 到直线 CD 的距离为.
题型五：体积问题
例14．(2023·湖北·高一武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)校联考阶段练习)如图，在正四棱锥中，分别为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求该四棱锥被平面所截得的两部分体积之比，其中．
【解析】(1)在正四棱锥中，连接，连接，
由正方形，得，由，得平面，
则平面，而分别为的中点，即，因此平面，又平面，
所以平面平面.
(2)设与相交于点，则为的中点，延长交于点，连接，
由，得，则为等边三角形，，
因为平面平面，且为交线，所以到平面的距离等于到直线的距离，
，
在中，由余弦定理得，则，
则到直线的距离，
直线与平面所成角的正弦值．
(3)过作于，设，则，，
由，得，解出，由，得，
在中，，
四棱锥的高，则，
四边形的对角线垂直，则，
下方几何体体积，
所以．
例15．(2023·高一课时练习)如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，，，分别是，，的中点．
(1)求证：平面；
(2)设，求三棱锥的体积．
【解析】(1)证明：在三棱柱中，，
因为平面，所以平面．
又平面，所以，①
因为，为中点，所以，②
由①②，，平面，所以平面，
又平面，所以，③
设，则在矩形中，，，
故，，，
所以，即，④
由③④，，平面，
所以平面．
(2)因为为中点，所以
．
例16．(2023·全国·高一专题练习)如图，在正四棱锥中，，，、、分别为中点.
(1)求证：平面；
(2)三棱锥的体积.
【解析】(1)证明： 连接，
∵四边形为正方形，、分别为中点，
∴，
又五点共面，平面，平面，
∴平面，
(2)
在正四棱锥中，连接交于点，连接，
则平面，又平面，所以，
所以，
，
因为，为中点.
所以
，
故.
例17．(2023·全国·高一专题练习)如图，三棱锥中，，分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，，，，，求三棱锥的体积．
【解析】(1)
如图，分别取的中点为，连结.
因为分别为的中点，
所以，，且，，，
所以，且.
所以，四边形为平行四边形，
所以，.
因为平面，平面，
所以，平面.
(2)由已知可得，在中，有，，，
根据余弦定理可知，，
所以，.
在中，有，
所以，，.
因为，平面，平面，，
所以，平面.
又，
所以，.
【过关测试】
一、多选题
1．(2023·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习)如图与分别为圆台上下底面直径，，若，，，则( )
A．圆台的母线与底面所成的角的正切值为
B．圆台的全面积为
C．圆台的外接球(上下底面圆周都在球面上)的半径为
D．从点经过圆台的表面到点的最短距离为
【答案】ABD
【解析】取圆台的轴截面，设、的中点分别为、，连接，
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，
由题意可知，与圆台的底面垂直，易知四边形为等腰梯形，
且，，，
在和中，，，，
所以，，所以，，
因为，，，则四边形为矩形，且，
同理可证四边形为矩形，则，且，
所以，与圆台的底面垂直，则圆台的母线与底面所成的角为，
所以，，则，
所以，，A对；
对于B选项，圆台的全面积为，B对；
对于C选项，易知圆台的外接球球心在梯形内，且，
由勾股定理可得，且，
所以，圆台的外接球直径为，则，B错；
对于C选项，将圆台沿着轴截面切开，将圆台的侧面的一半展开如下图所示：
延长、交于点，在圆台的轴截面等腰梯形中，且，
易知、分别为、的中点，所以，，
设，则，则，
在中，，，，
由余弦定理可得，
因此，从点经过圆台的表面到点的最短距离为，D对.
故选：ABD.
2．(2023·江苏无锡·高一锡东高中校考阶段练习)如图，四棱锥中，底面为四边形，是边长为2的正三角形，，，，平面平面，则( )
A．平面
B．
C．
D．若二面角的平面角的余弦值为，则
【答案】ACD
【解析】对于A，连接交于点，由平面几何的知识易知，
又因为平面平面，且交线为，平面，
所以平面，又因为平面，所以.
又，，所以平面，故选项A正确；
对于B，若，由选项A可知，平面，因为平面，
所以 ，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，在中，有两个直角，所以与不垂直，故选项B错误；
对于C，因为平面， 平面，所以 ，又，，平面，所以平面，平面，所以，故选项C正确；
对于D，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
易知平面的一个法向量，
，，设平面的一个法向量，
则，令，则，所以，
所以，解得，
所以，，故选项D正确，
故选：ACD.
3．(2023·全国·高一专题练习)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则( )．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
【答案】AC
【解析】依题意，，，所以，
A选项，圆锥的体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.
故选：AC.
4．(2023·全国·高一专题练习)如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有( )
A．异面直线与的夹角的正弦为
B．二面角的平面角的正切值为
C．正方体的外接球体积为
D．三棱锥与三棱锥体积相等
【答案】ACD
【解析】对于A，∵，中，就是异面直线所成的角，
，则，A正确；
对于B，连接交于点O，连接，
∵平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD，
又BD⊥AO，，平面，∴BD⊥平面
∵平面，∴BD⊥，∴为二面角的平面角，
在中，，B不正确；
对于C，∵正方体外接球的半径，
∴正方体的外接球体积为，C正确；
对于D，∵，
三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，
故三棱锥与三棱锥体积相等，D正确.
故选：ACD.
二、单选题
5．(2023·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习)在二面角中，，，，，且，，若，，，则二面角的余弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意画出图形：在平面内，过A作，过点作，交于点，连接.，，平面.
又，是二面角的平面角.
由矩形得，.在中，由勾股定理得.
是等边三角形，，.
二面角的余弦值为
故选：.
6．(2023·全国·高一专题练习)如图，矩形ABCD中，，正方形ADEF的边长为1，且平面平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取AF的中点G，连接AC交BD于O点，如图所示，
则，且，异面直线与所成角即直线与所成角，
由平面平面，，平面平面，
平面知，平面，又平面，
所以，由题易知，
所以，则，，
，则在中，由余弦定理知，
，
由两直线夹角取值范围为，则直线与所成角即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C
7．(2023·福建厦门·高一福建省厦门第二中学校考阶段练习)在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取的中点为，连接，如下图所示：
利用正方体性质可得，且，所以可得是平行四边形，
即，
所以异面直线与所成的角的平面角即为，
不妨设正方体棱长为，易知；
取的中点为，连接，易知，
所以.
故选：A
8．(2023·海南·高一海南华侨中学校考期末)如图所示，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．
B．平面SCD
C．直线SA与平面SBD所成的角等于
D．直线SA与平面SBD所成的角等于直线SC与平面SBD所成的角.
【答案】C
【解析】对于A，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为为正方形，所以，
又平面，，所以平面，
因为平面，所以，故A正确；
对于B，因为，平面，平面，
所以平面SCD，故B正确；
对于C，设交于，连，由A知，平面SBD，则是直线SA与平面SBD所成的角，
设，，则，，只有当，即，即时，才有，故C不正确；
对于D，由C知，是直线SA与平面SBD所成的角，是直线与平面SBD所成的角，因为，，，
所以与全等，所以，故D正确.
三、填空题
9．(2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习)如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______．
【答案】/
【解析】，为边长为的等边三角形，
设到平面的距离为，根据，
则，
解得.
故答案为：.
10．(2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)在四棱锥中，所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为___________
【答案】
【解析】由题意可知底面是边长为的正方形,所有侧棱长都为
则四棱锥为正四棱锥,为正方形的中心,
取的中点为,连接，又因为M是PC的中点，则，
则即为所求，因为平面，
所以平面,则，
，则，
因为，所以.
故答案为：.
11．(2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习)已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________.
【答案】/
【解析】如图所示，
把三棱柱补成四棱柱，由题意得，则，
该四棱柱为长方体，，因为，
，是平行四边形,所以
异面直线与所成角为(或其补角)，
，，，
∴.
故答案为: .
12．(2023·山西·高一统考阶段练习)在正方体中，分别是，，，的中点，则异面直线和所成角的弧度数为_____________．
【答案】//
【解析】易得，，所以异面直线EF和MN所成的角为，
在中，，，
所以．
所以异面直线和所成角的弧度数为.
故答案为：.
13．(2023·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习)正方体中，直线与平面所成角的正弦值为__________.
【答案】
【解析】连接，在正方体中，面，
是直线与平面所成角，
设棱长为1，则，
直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
14．(2023·北京·高一北京工业大学附属中学校考期中)如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成的角_________．
【答案】
【解析】因为在直三棱柱中，平面，平面，
所以，
因为，所以，
因为，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
因为，，
所以为等腰直角三角形，
所以，
所以直线与平面所成的角为，
故答案为：
15．(2023·北京房山·高一北师大良乡附中校考阶段练习)如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则三棱锥的体积为__________．
【答案】
【解析】平面,点R到面的距离等于点C到面的距离,,
等体积转化
故答案为：.
四、解答题
16．(2023·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习)如图①，在梯形中，，，，将沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交于点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【解析】(1)证明：如图①，
，，，，
，，
如图②，∵，，，
，
，
，且，平面，
平面，
又平面，，
平面，且平面，，
又，且平面，平面．
(2)
方法一：过点作，垂足为，由(1)知平面，
而平面，
，
且，平面，平面，
则垂线段的长度即为点到平面的距离．
在中，，，，
，
，
由已知得，则，
由(1)知，，，
即点到平面的距离为．
方法二：求点到平面的距离，即求点到平面的距离，
由(1)知平面，平面，，
在直角三角形中，，，，
由等面积得，，
即，，
平面，且平面，，
由(1)知，∽，，
则在直角三角形中，，
设点到平面的距离为，
在三棱锥中，由等体积得，，
即
，
，
即点到平面的距离为．
17．(2023·江苏无锡·高一锡东高中校考阶段练习)如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接、交于点，点为中点．
(1)求证：//平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求点到面的距离．
【解析】(1)(1)直三棱柱，四边形为平行四边形
为的中点 为的中点，，
又平面，平面，平面.
(2)四边形为平行四边形，，
平行四边形为菱形，即
三棱柱为直三棱柱， 平面，
平面，，，，
，，平面，平面，
平面，，
，，平面，平面，
平面 ， 平面平面
(3)法一：连接，设点到平面的距离为，
平面，平面，
，为三棱锥高，
在直角中，，.
在直角中，，.
在直角中，，，.
在等腰中，，
，，，
，
点到平面的距离为.
在平行四边形中，因为为的中点，且点平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
故点到平面的距离为.
方法二：(综合法)作，垂足为，连接，作，垂足为.
平面，平面，，
，，平面，
平面，平面，，
，，平面，
平面， 即为点到平面的距离，
在直角中， ；在直角中， ，
，
点到平面的距离为.
在平行四边形中，因为为的中点，且点平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
故点到平面的距离为.
18．(2023·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习)如图，四面体的顶点都在以为直径的球面上，底面是边长为的等边三角形，球心到底面的距离为．
(1)求球的表面积；
(2)求异面直线和成角的余弦值．
【解析】(1)设外接圆圆心为，
底面外接圆的半径，又球心到底面的距离为，
球的半径，球的表面积为.
(2)为球的直径，，，
取的中点，的中点，连接，
则，，两异面直线和所成的角为或其补角；
在中，，，，
，即两异面直线所成角的余弦值为.
19．(2023·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考阶段练习)如图，在三棱台中，AB=BC=CA=2DF=2，FC=1，∠ACF=∠BCF=90°，G为线段AC中点，H为线段BC上的点，平面FGH．
(1)求证：点H为线段BC的中点；
(2)求三棱台的表面积；
(3)求二面角的正弦值．
【解析】(1)连接CD，设，连接HO、DG
∵平面FGH，平面CBD，平面平面FGH=HO，∴
∵四边形DFCG是正方形，O是CD的中点，∴点H是BC的中点．
(2)三棱台中，
∵为等边三角形，∴为等边三角形，EF=DE=1．
上底面为等边三角形，其边长为1，面积为，
下底面为等边三角形，其边长为2，面积为，
侧面ADFC和侧面EFCB为直角梯形，面积为，
侧面ADEB为等腰梯形，，作出侧面ADEB的图形，如图所示：
过点作，则有，所以，
故面积为．
，
所以，三棱台的表面积为：．
(3)∵，，且，
∴平面ABC，∴平面平面ACDF，
过H作HM垂直于AC，交AC于M，则平面ACDF，
作HN垂直于GF于N，连接MN，
则∠HNM即为二面角的平面角，
因为是边长为2的正三角形，所以点到距离为，
又因为为的中点，所以，
由题意可知，，，
在中，由余弦定理可得，
所以，
由三角形面积相等可得，解得，所以，
即二面角的正弦值为.
20．(2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习)如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
【解析】(1)证明：因为在正方形中，
折叠后即有，
又平面，
所以平面，而平面,
故；
(2)由题意知，故，
故；
(3)取线段的中点G，连接，
因为，
所以有，平面,平面,
所以即为二面角的平面角，
又由(1)得平面，平面，
故,而,,
故,
即二面角的余弦值为.
21．(2023·全国·高一专题练习)如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，求平面与平面所成二面角的大小．
【解析】因为，且平面，平面，所以平面，
如图所示，设平面平面，且平面，所以，
因为平面，且平面，所以，
又因为为正方形，可得，
因为且平面，所以平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
在直角中，可得，所以，
即平面与平面所成二面角的大小为或.
22．(2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习)已知四棱锥的底面为梯形，且，又，，，平面平面，平面平面．
(1)判断直线和的位置关系，并说明理由；
(2)若点到平面的距离为，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角余弦值大小．
①；
②为二面角的平面角．
【解析】(1)且，延长必交于一点，即为点，
平面，平面，且，，
平面，平面，又平面，平面，
连接，则平面平面，又平面平面，
直线即为直线，如下图所示，
，即直线与相交.
(2)若选条件①，，平面平面，平面平面，平面，平面；
同理可知：平面，
平面，，；
取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，，
，，又，，
；
设，则，又，，
，
，
，
，
又，，
由(1)知：二面角即为二面角，设其平面角为，
，，为中点，，，
设点到直线的距离为，
则，即，解得：，
，
又二面角为锐二面角，.
若选条件②，若为二面角的平面角，则，，
又，；
平面平面，平面平面，平面，平面；
同理可知：平面，
平面，，；
取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，，
，，又，，
；
设，则，又，，
，
，
，
，
又，，
由(1)知：二面角即为二面角，设其平面角为，
，，为中点，，，
设点到直线的距离为，
则，即，解得：，
，
又二面角为锐二面角，.
23．(2023·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习)如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点.
(1)证明平面.
(2)求异面直线与所成的角；
【解析】(1)因为底面，平面，所以，
又平面平面，
所以平面，又平面，所以，
因为是侧棱的中点，所以，
又平面平面，
所以平面.
(2)连，两直线交于点，连，
因为底面是正方形，所以是的中点，
又分别是的中点，所以，
所以或其补角就是异面直线与所成的角，
因为为正方形，且，
所以，，，
故，即是正三角边，
所以.
所以异面直线AE与PD所成的角为.
24．(2023·浙江宁波·高一效实中学校考期中)如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】(1)连接，记，
为中点， 为中点， ，
又，，∴平面；
(2)因为平面， 所以即为直线与平面所成线面角，则.
因为矩形中，所以.
因为平面，平面，所以，
计算可得.
又，，，平面，所以，
所以即为直线与平面所成线面角，解得.
25．(2023·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习)如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：平面PAD；
(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．
(3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直线PB与面PAD所成的角．
【解析】(1)取PD的中点E，连接AE，NE，
因为N是PC的中点，所以且，
又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以且，
所以且 ，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
(2)因为Q为PB的中点，M是AB的中点
所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，
又平面PAD，，MQ，平面MNQ，
所以平面平面PAD．
(3)因为PA⊥平面ABCD，平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
又ABCD为正方形，所以AB⊥AD，平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，
所以∠BPA即为直线PB与面PAD所成的角，又AB＝PA＝2，所以△BPA为等腰直角三角形，所以∠BPA＝45°，即直线PB与面PAD所成的角为45°．
26．(2023·湖南·高一校联考阶段练习)如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为线段上一点，平面.
(1)证明：为的中点；
(2)若直线与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积.
【解析】(1)连接，设，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，又底面为矩形，所以为的中点，
所以为的中点.
(2)因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，即，
又，所以，则，
由平面，平面，所以，
所以在中，
所以.
27．(2023·全国·高一专题练习)如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角．
【解析】(1)在正方形中，，
因为，所以，
又因为侧面是正方形，所以，
因为平面，
所以平面，
而平面，则，而，
∴，而，
又平面，
∴平面
(2)连接，如图所示：
∵为正方形，，
∴，
而平面，
∴平面，
∴为直线与平面所成的角，
∵，
∴，
所以直线与平面所成的角为.
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