第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题（五大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

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题型一：定义法
题型二：坐标法
题型三：基底法
题型四：几何意义法
题型五：极化恒等式
【知识点梳理】
知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：
1、定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
2、坐标法
第一步 ： 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步： 将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
3、基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
4、几何意义法
第一步： 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步： 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
知识点二．极化恒等式
1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

(1)
(2)
(1)(2)两式相加得：
2、极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
(1)平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
(2)三角形模式：(M为BD的中点)
A
B
C
M
知识点三．在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
(1)利用基本不等式求范围或最值；
(2)利用三角函数求范围或最值；
(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；
(4)根据三角形解的个数求范围或最值；
(5)利用二次函数求范围或最值．
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
【典例例题】
题型一：定义法
例1．(2023·山东临沂·高一校考阶段练习)如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为( )．
A．B．C．3D．9
例2．(2023·广西·高一校联考阶段练习)已知点是的边上靠近点的三等分点，点是线段上一点(不包括端点)，若，则的最小值为( )
A．1B．2C．3D．4
例3．(2023·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期中)已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为( )
A．B．C．D．
题型二：坐标法
例4．(2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期中)已知，若点M是所在平面内的一点，且，则的最小值为( )
A．B．C．D．
例5．(2023·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习)已知梯形，且为平面内一点，则的最小值是( )
A．B．C．D．2
例6．(2023·广东佛山·高一南海中学校考阶段练习)在中，已知，，，D是的中点，E，F分别是，上的动点，且，则的最小值为( )
A．B．C．D．
题型三：基底法
例7．(2023·福建三明·高一三明一中校考期中)已知以为圆心的单位圆上有两个定点、及两个动点、，且，则的最大值是( )
A．B．C．D．
例8．(2023·全国·高一专题练习)已知的外心为，且满足，(其中，则的最大值为( )
A．2B．C．D．5
题型四：几何意义法
例9．(2023·广东深圳·高一校考期中)平面四边形是边长为4的菱形，且．点N是DC边上的点，满足．点M是四边形内或边界上的一个动点，则的最大值为( )
A．13B．7C．14D．
例10．(2023·江苏南京·高一南京市第一中学校考期中)向量，，若与的夹角为，则的最大值为( )
A．2B．C．4D．
例11．(2023·高一课时练习)已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则( )
A．B．2C．D．1
题型五：极化恒等式
例12．(2023·浙江·高一校联考期中)已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
例13．(2023·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期中)已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·高一课时练习)如图，在直角梯形ABCD中，，，，，动点P在边BC上，且满足(m，n均为正数)，则的最小值为( )

A．1B．C．D．
2．(2023·江苏泰州·高一泰州中学校考期中)已知平面向量，对任意实数都有，成立.若，则的最大值是( )
A．B．C．D．
3．(2023·湖北黄冈·高一校考期中)如图所示，在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是( )
A．-4B．4C．-1D．1
4．(2023·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习)平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是( )
A．B．C．D．
5．(2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习)如图，A，B，C三点在半径为l的圆O上运动，M是圆O外一点，且，，则的最大值为( )
A．4B．5C．6D．7
6．(2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)已知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为( )
A．B．1C．D．2
7．(2023·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习)已知向量，，满足，，，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
8．(2023·北京·高一北理工附中校考期中)已知点，，.若平面区域D由所有满足的点P组成(其中，)，则的取值范围为( )
A．B．
C．D．
9．(2023·四川成都·高一树德中学校考阶段练习)如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
10．(2023·四川达州·高一校考期中)如图，正方形的边长为2，动点满足，且点在正方形内部及边上运动，若，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
11．(2023·江苏南京·高一南京师大附中校考期中)如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转(不少于1周)，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
12．(2023·江苏南京·高一校考期中)如图所示，矩形的边，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，若点是圆弧(含端点､上的一点，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
13．(2023·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中)已知平行四边形ABCD中，，点P在线段CD上(不包含端点)，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
14．(2023·陕西西安·高一长安一中校考期中)点M在边长为4的正△ABC内(包括边界)，满足，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
15．(2023·高一课时练习)设非零向量，若，则的取值范围为( )
A．[0，1]B．[0，2]
C．[0，3]D．[1，2]
16．(2023·全国·高一专题练习)如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
17．(2023·全国·高一专题练习)在平面内，若，则的取值范围是 ( )
A．B．
C．D．
二、填空题
18．(2023·全国·高一专题练习)在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为__________．