高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第18练平面向量的应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第18练平面向量的应用(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了(2023·江西萍乡·三模等内容，欢迎下载使用。


1．(2023·上海·模拟）如图，在中，已知，D是边上的一点，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·福建福建·模拟）某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度分别为，则（ ）
A．能作出二个锐角三角形B．能作出一个直角三角形
C．能作出一个钝角三角形D．不能作出这样的三角形
3．(2023·陕西·西北工业大学附属中学模拟（理））在中，，AC边上的中线，，则AC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．(2023·江西萍乡·三模（文））在中，分别为角的对边，已知，的面积为2，则边长（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·北京丰台·二模）在中，，，，则______．
6．(2023·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
1．(2023·河北·模拟）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.折叠剪纸是民间最常见的一种剪纸制作方法，所谓折叠剪纸即经过不同方式折叠剪制而成的剪纸，它具有折法简明，制作简便，省工省时等特点.如图，某同学将一张三角形纸片沿角平分线对折后，点C恰好落在边上，得到三角形纸片.已知，则对折前（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·北京昌平·二模）在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
3．(2023·山东临沂·模拟）设，在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·江苏·海安高级中学二模）设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
5．(2023·山东青岛·二模）若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________.
6．(2023·上海奉贤·二模）已知三角形的三边分别是，，，则该三角形的内切圆的半径是________.
7．(2023·浙江省杭州学军中学模拟）已知，则向量的范围是____________．
8．(2023·辽宁·大连二十四中模拟）如图，在等腰直角中，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段.设为线段上的点，则的最小值为___________.
1．(2023·上海奉贤·二模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·湖北省仙桃中学模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·北京·人大附中三模）在中，，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·山东师范大学附中模拟）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·河北·沧县中学模拟）在中，三边长分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·重庆·三模）在矩形中，，，E，F分别在边AD，DC上（不包含端点）运动，且满足，则的面积可以是（ ）
A．2B．C．3D．4
7．(2023·北京市第十二中学三模）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
8．(2023·江苏·常州高级中学模拟）设直角，是斜边上一定点．满足，则对于边上任一点P，恒有，则斜边上的高是________．
9．(2023·辽宁·沈阳二中模拟）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
①测量、、；
②测量、、；
③测量、、；
④测量、、．
其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．
10．(2023·江苏·华罗庚中学三模）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则的最大值为_________；设D是上一点，且，则的最大值为_________．
专题05 平面向量及其应用
第18练 平面向量的应用
1．(2023·上海·模拟）如图，在中，已知，D是边上的一点，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
在中，由正弦定理得：，即，
解得：
故选：D
2．(2023·福建福建·模拟）某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度分别为，则（ ）
A．能作出二个锐角三角形B．能作出一个直角三角形
C．能作出一个钝角三角形D．不能作出这样的三角形
答案：C
【解析】因为三条高线的长度为，故三边之比为，
设最大边所对的角为，则，
而为三角形内角，故为钝角，故三角形为钝角三角形，
故选：C.
3．(2023·陕西·西北工业大学附属中学模拟（理））在中，，AC边上的中线，，则AC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】因为，
所以，
又，，，
则，所以，即.
故选：.
4．(2023·江西萍乡·三模（文））在中，分别为角的对边，已知，的面积为2，则边长（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为，所以，则.
故选：A.
5．(2023·北京丰台·二模）在中，，，，则______．
答案：
【解析】解：在中，
由正弦定理可得，
即，即，
所以.
故答案为：.
6．(2023·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
答案：.
【解析】因为，所以．
故答案为：.
1．(2023·河北·模拟）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.折叠剪纸是民间最常见的一种剪纸制作方法，所谓折叠剪纸即经过不同方式折叠剪制而成的剪纸，它具有折法简明，制作简便，省工省时等特点.如图，某同学将一张三角形纸片沿角平分线对折后，点C恰好落在边上，得到三角形纸片.已知，则对折前（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】在△中，由正弦定理得：，
即，解得：，
显然为钝角，所以，
所以，
故选：C
2．(2023·北京昌平·二模）在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
答案：B
【解析】对于①，，所以，，得，所以，此时，△存在且唯一，符合题意；
对于②，，所以，，解得，因为，所以，，所以为锐角，此时，△存在且唯一，符合题意；
对于③，，所以，，得，进而，
可得，明显可见，，与矛盾，故③不符题意.
故可以选择的条件序号为：①②
故选：B
3．(2023·山东临沂·模拟）设，在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】，
则，所以，
因为为锐角三角形，
所以，
由余弦定理得：，
所以，
由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，
所以，
故选：C
4．(2023·江苏·海安高级中学二模）设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
答案：A
【解析】如图，由题可知，
∴，，又，
∴，
∴（米）．
故选：A.
5．(2023·山东青岛·二模）若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________.
答案：
【解析】解：已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，
则，，
又，
则，
故答案为：．
6．(2023·上海奉贤·二模）已知三角形的三边分别是，，，则该三角形的内切圆的半径是________.
答案：
【解析】解：设中、、，
由余弦定理可得，即，
所以，则，
所以，
设的内切圆的半径为，则，即，
解得；
故答案为：
7．(2023·浙江省杭州学军中学模拟）已知，则向量的范围是____________．
答案：
【解析】设，
所以①,
一方面，，
当且仅当与同向，与同向时取得最大值，
另一方面，，
其中，当且仅当与反向时取得最小值．
故．
故答案为：
8．(2023·辽宁·大连二十四中模拟）如图，在等腰直角中，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段.设为线段上的点，则的最小值为___________.
答案：
【解析】连接MD，则，，
所以，
由于为等腰直角三角形，为线段上的点，
因此，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
1．(2023·上海奉贤·二模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，
不妨设，，则，，
由可得，即，
∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上，
同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上．
显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大．
设圆心为，则，∴，则，
∴，
设与轴交于点，由对称性可知轴，且，
∴，
即当与的夹角最大时，
故选：C
2．(2023·湖北省仙桃中学模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由，可得，
由余弦定理得： ，
两式结合得：，
即，
即，
则当时，，则，
故由 可得其最小值为 ，
故选：C
3．(2023·北京·人大附中三模）在中，，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，
所以，，即得，
由正弦定理可得，
则的可能取值为，
故选：D.
4．(2023·山东师范大学附中模拟）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】连接FD，并延长交AB于M点，如图，
因为在中，
所以；又因为在中，
所以，所以，
所以，即，
故选：A．
5．(2023·河北·沧县中学模拟）在中，三边长分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
【解析】对于A，，即，也就是，
另一方面，在中，，则成立，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，边长为的三角形，满足，但，故D错误．
故选：ABC．
6．(2023·重庆·三模）在矩形中，，，E，F分别在边AD，DC上（不包含端点）运动，且满足，则的面积可以是（ ）
A．2B．C．3D．4
答案：BC
【解析】
如图，以为原点，所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系，
设，
因为，，，
所以，，，
由余弦定理得得
，可得
，当且仅当等号成立，
即，解得，或，
因为，所以，所以，
因为，
所以
，
因为，所以，
所以，，
而，，，，
故选：BC.
7．(2023·北京市第十二中学三模）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
答案：
【解析】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故，
以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，
，，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
8．(2023·江苏·常州高级中学模拟）设直角，是斜边上一定点．满足，则对于边上任一点P，恒有，则斜边上的高是________．
答案：
【解析】取中点，则，同理，又，故，即恒成立，所以.作，则为中点，故，所以.又因为直角，故，所以，即斜边上的高是

故答案为：
9．(2023·辽宁·沈阳二中模拟）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
①测量、、；
②测量、、；
③测量、、；
④测量、、．
其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．
答案：②③
【解析】对于①，由正弦定理可得，则，
若且为锐角，则，此时有两解，
则也有两解，此时也有两解；
对于②，若已知、，则确定，由正弦定理可知唯一确定；
对于③，若已知、、，由余弦定理可得，
则唯一确定；
对于④，若已知、、，则不确定.
故答案为：②③.
10．(2023·江苏·华罗庚中学三模）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则的最大值为_________；设D是上一点，且，则的最大值为_________．
答案：
【解析】（1）由余弦定理知：
又由正弦定理化简得：，即，即，又，
化简得，则
又，，故当时，取最大值为.
（2）由题意得，
在与中，分别有，
又，化简得
整理得：
令，结合辅助角公式有，所以的最大值为
故答案为：；