高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第17练平面向量基本定理及坐标表示(原卷版+解析)

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1．(2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．(2023·山东临沂·三模）向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·福建龙岩·模拟）已知，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·湖南岳阳·一模）已知向量，向量，则与的夹角大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
5．(2023·福建泉州·模拟）已知向量,，若的夹角为，则=___________.
6．(2023·辽宁·建平县实验中学模拟）设向量，，若，则___________.
7．(2023·河北衡水·二模）已知向量，，若，则实数___________.
1．(2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
2．(2023·山东潍坊·模拟）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·江苏·扬州中学模拟）已知向量，，若，则（ ）
A．B．2C．8D．
4．(2023·湖北·华中师大一附中模拟）已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0B．48C．D．
5．(2023·湖南·雅礼中学二模）已知向量，若，则__________.
6．(2023·江苏·模拟）已知向量，，若，则___________．
7．(2023·河北沧州·二模）已知向量，且，则实数__________.
8．(2023·湖北武汉·模拟）已知向量，，向量，，若，则实数______.
1．(2023·江苏省木渎高级中学模拟）如图所示，的面积为，其中，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·上海松江·二模）已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
4．(2023·山东滨州·二模）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟）在中，为中点，且，则（ ）
A．B．
C．∥D．
6．(2023·湖南·长沙一中模拟）已知,,其中，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则
7．(2023·江苏·模拟）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
8．(2023·广东茂名·二模）已知向量（t，2t），＝（﹣t，1），若（﹣）⊥（+），则t＝_____．
9．(2023·天津·模拟）已知菱形的边长为，是的中点，则______．
10．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学模拟）如图，在菱形中，，，E，F分别为，上的点，，，若线段上存在一点M，使得，则__________，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为__________.
专题05 平面向量及其应用
第17练 平面向量基本定理及坐标表示
1．(2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：D
【解析】因为，所以.
故选：D
2．(2023·山东临沂·三模）向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意得：，则与的夹角为.
故选：C.
3．(2023·福建龙岩·模拟）已知，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴与的夹角为.
故选：A
4．(2023·湖南岳阳·一模）已知向量，向量，则与的夹角大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
答案：D
【解析】向量，向量，
，
，且，
的夹角为.
故选：D.
5．(2023·福建泉州·模拟）已知向量,，若的夹角为，则=___________.
答案：
【解析】由,得,得.
故答案为：.
6．(2023·辽宁·建平县实验中学模拟）设向量，，若，则___________.
答案：6
【解析】由题意得，，因为，
所以，解得，
故答案为：.
7．(2023·河北衡水·二模）已知向量，，若，则实数___________.
答案：
【解析】，，又，
.
故答案为：.
1．(2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
答案：C
【解析】解：,,即,解得,
故选：C
2．(2023·山东潍坊·模拟）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】如图所示，设，且，
则，
又因为，
所以，解得，所以.
故选：B.
3．(2023·江苏·扬州中学模拟）已知向量，，若，则（ ）
A．B．2C．8D．
答案：A
【解析】由，，，得，解得.
所以，所以.
故选：A.
4．(2023·湖北·华中师大一附中模拟）已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0B．48C．D．
答案：C
【解析】由题意，得，
又与反向共线，故，此时，
故.
故选：C.
5．(2023·湖南·雅礼中学二模）已知向量，若，则__________.
答案：
【解析】因为，，
所以，
所以，
故答案为：.
6．(2023·江苏·模拟）已知向量，，若，则___________．
答案：
【解析】因为，
所以，即，
又，，
所以，解得，
故答案为：.
7．(2023·河北沧州·二模）已知向量，且，则实数__________.
答案：
【解析】由题意得，因为，所以，解得.
故答案为：
8．(2023·湖北武汉·模拟）已知向量，，向量，，若，则实数______.
答案：
【解析】根据题意可知，不共线
若，则，使得，即
则可得，解得
故答案为：．
1．(2023·江苏省木渎高级中学模拟）如图所示，的面积为，其中，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：，
所以，
因为AD为BC边上的高，
所以，
因为M为AD的中点，
所以
，
又因为，
所以，
所以.
故选：C.
2．(2023·上海松江·二模）已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
则，，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即，
当在上时，设，则，
，知，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即.
综上可得，，
故选：C
3．(2023·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
答案：A
【解析】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设，则，
∵BC//EF，∴设，则
∴，
∴
∴
故选：A.
4．(2023·山东滨州·二模）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：由题意，设，，
当时，，所以，
所以，从而有；
当时，因为（，），
所以，即，
因为、、三点共线，所以，即.
综上，的取值范围是.
故选：C.
5．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟）在中，为中点，且，则（ ）
A．B．
C．∥D．
答案：BC
【解析】因为，则三点共线，且，
又因为为中线，所以点为的重心，
连接并延长交于，则为的中点，
所以，
所以∥
故选：BC．
6．(2023·湖南·长沙一中模拟）已知,,其中，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则
答案：BCD
【解析】对于A，若，则，则，
因为，所以，则或或，故A不正确；
对于B，若，则，则，
因为，所以，所以或，
所以或，故B正确；
对于C，，则
，故C正确；
对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确.
故选：BCD.
7．(2023·江苏·模拟）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
答案：ABC
【解析】对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确.
对于B，由，得，
则解得，故，所以B正确.
对于C，因为，
所以，
则当时，取得最小值，为，所以C正确.
对于D，因为，，向量与向量的夹角为锐角，
所以，解得；
当向量与向量共线时，，解得，
所以的取值范围是，所以D不正确.
故选：ABC.
8．(2023·广东茂名·二模）已知向量（t，2t），＝（﹣t，1），若（﹣）⊥（+），则t＝_____．
答案：
【解析】因为（﹣）⊥（+），所以，
所以，则，所以，所以.
故答案为：．
9．(2023·天津·模拟）已知菱形的边长为，是的中点，则______．
答案：
【解析】依题意，，因为菱形的边长为4．所以．
故答案为：
10．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学模拟）如图，在菱形中，，，E，F分别为，上的点，，，若线段上存在一点M，使得，则__________，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为__________.
答案：
【解析】因为为菱形，所以，以BD、AC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，
因为，，所以
则，设
因为，所以
解得，所以
又
所以
因为，所以当时，有最小值，
当时，有最大值，
所以的取值范围为
故答案为：，