【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测(讲+练+测)9.3空间中的垂直关系(原卷版+解析)

这是一份【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测(讲+练+测)9.3空间中的垂直关系(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设直线l为平面外的一条直线，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线都与l垂直B．内有两条相交直线都与l垂直
C．l，垂直于同一条直线D．l，垂直于同一平面
2．已知平面、和直线m、l，要使“若，，，则”正确，则须添加条件（ ）
A．B．
C．l与相交但不垂直D．l与m为异面直线
3．如图,在正方体，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
4．在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
5．若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面所成的角等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在四面体中，平面，，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
8．如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．4
9．已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知二面角的平面角是锐角，平面上有一点C到的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么（ ）
A．；B．；C．；D．.
二、填空题
11．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的 直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.
12．设，是两个不同的平面，直线l ⊥ α且 ，可以推出“”.
13．在正方体中，与平面所成的角的正切值为 .
14．正方体的个顶点中任意选择个点，记这个点确定的平面为，则垂直于直线的平面的个数为 ．
15．如图，在三棱锥内，侧面底面，且，则 ．
16．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有 个．
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
17．如图所示，在正方体中，是的中点，若，则点到平面的距离为 .
18．如图，在直二面角中，和分别在平面和上，它们都垂直于，且，，，则 ．
三、解答题
19．如图，已知在平面内有平行四边形，点是它的对角线的交点，点在外，且，.求证：.
20．如图，正方形所在平面与以为直径的半圆所在平面互相垂直，为半圆周上异于，两点的任一点，求证：平面平面
21．如图，是正方形，直线底面，，是的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
22．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
23．如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
24.如图，在正方体中，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线和平面所成的角.
9.3 空间中的垂直关系
一、选择题
1．设直线l为平面外的一条直线，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线都与l垂直B．内有两条相交直线都与l垂直
C．l，垂直于同一条直线D．l，垂直于同一平面
答案：B
【解析】由线面垂直的判定定理知：内两条相交直线都与l垂直是的充分条件；由线面垂直的性质定理可知：若，则内任意一条直线都与l垂直，所以内两条相交直线都与l垂直是的必要条件，故选：B．
2．已知平面、和直线m、l，要使“若，，，则”正确，则须添加条件（ ）
A．B．
C．l与相交但不垂直D．l与m为异面直线
答案：B
【解析】根据面面垂直的性质，知：，，，，则有，故选：B.
3．如图,在正方体，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】连接,由正方体的性质可知：A1A平面ABCD,由线面角的定义可知：是直线A1C与平面ABCD所成角,设正方体的棱长为1,底面是与正方形,故,在中，,，故选：D.
4．在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
答案：B
【解析】如图所示，分别连接，因为平面，可得
又因为，利用勾股定理，可得，所以点一定是的外心，故选: B.
5．若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得，
设该圆锥的母线与底面所成角，则，所以，故选：C.
6．如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面所成的角等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】依题意可知，所以平面，所以折痕AD所在直线与桌面所成的角等于，故选：C.
7．如图，在四面体中，平面，，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
答案：C
【解析】因为，，所以，又平面，平面，所以；因此，故选：C.
8．如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．4
答案：C
【解析】，利用等体积法，设题目所求高为，则有，由此解得，故选C.
9．已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】如图所示，在平面内，过作的垂线，垂足为，连接，因为平面， 平面，所以，因为， ，故平面，因为平面，故，所以为的平面角，在直角三角形中， ，，故，故，故选B.
10．已知二面角的平面角是锐角，平面上有一点C到的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么（ ）
A．；B．；C．；D．.
答案：B
【解析】如图，作于点，平面于点，连接，因为平面，所以，
又，且平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因此，，，所以，，故选：B.
二、填空题
11．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的 直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.
答案：两条相交
【解析】直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直，故答案为：两条相交．
12．设，是两个不同的平面，直线l ⊥ α且 ，可以推出“”.
答案：
【解析】当直线，且时，可以推出“”，故答案为：．
13．在正方体中，与平面所成的角的正切值为 .
答案：
【解析】如图所示，连接，因为平面，所以即为在平面上的射影，所以即为所求，设正方体的棱长为，在中，
，故答案为：．
14．正方体的个顶点中任意选择个点，记这个点确定的平面为，则垂直于直线的平面的个数为 ．
答案：2
【解析】与直线垂直的平面有平面和平面，故与直线垂直的平面的个数为．
15．如图，在三棱锥内，侧面底面，且，则 ．
答案：
【解析】∵侧面底面，交线为，(即)，平面PAC，∴平面，又平面，∴，∴，故答案为：．
16．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有 个．
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
答案：4
【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确，故答案为：4．
17．如图所示，在正方体中，是的中点，若，则点到平面的距离为 .
答案：
【解析】，，设点到平面的距离为，则，即，即，故答案为：．
18．如图，在直二面角中，和分别在平面和上，它们都垂直于，且，，，则 ．
答案：
【解析】连接，在直二面角中，，，所以，又，则，又，所以，在△、△中，故答案为：．
三、解答题
19．如图，已知在平面内有平行四边形，点是它的对角线的交点，点在外，且，.求证：.
答案：证明见解析
【解析】证明：因为四边形是平行四边形，点是它的对角线的交点，所以.，又因为，所以，同理，因为，所以，又因为，平面，平面，所以.
20．如图，正方形所在平面与以为直径的半圆所在平面互相垂直，为半圆周上异于，两点的任一点，求证：平面平面
答案：
【解析】证明：∵是半圆直径，∴，∵四边形是正方形，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．
21．如图，是正方形，直线底面，，是的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
答案：（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）连接，交于，连接四边形为正方形，为中点，又为中点，，平面，平面， 平面.
（2）平面，直线与平面所成角即为，，
设，则，．
22．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）证：连接交于点，连接，∵底面是菱形，∴为的中点，∵点为的中点，∴，∵平面，且平面，∴平面
（2）证：∵底面是菱形，∴，∵平面，∴，∵，∴平面，平面，∴．
23．如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
答案：（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：在平面内的射影恰好落在上，即为在面上的射影，而，所以，∵，，∴平面，又平面，∴平面平面．
（2）由（1）知：，在中，有，即，∴，又，，即面，∴二面角的平面角是，∴，
∴二面角的余弦值是．
24.如图，在正方体中，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线和平面所成的角.
答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【解析】(1)证明：因为在正方体中，可知,而平面，平面，所以平面.
(2)证明：因为在正方体中，可知平面，且平面，所以，
又因为、是正方形的对角形，因此，又，且平面，
所以平面.
(3)设与的交点为，连接，由（2）可知直线和平面所成的角为,且为直角三角形，，设正方体棱长为2，可得，所以，因此直线和平面所成的角为．