2024年上海市中考数学试卷（含解析）

这是一份2024年上海市中考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果x>y，那么下列正确的是( )
A. x+5≤y+5B. x−55yD. −5x>−5y
2.函数f(x)=2−xx−3的定义域是( )
A. x=2B. x≠2C. x=3D. x≠3
3.以下一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A. x2−6x=0B. x2−9=0C. x2−6x+6=0D. x2−6x+9=0
4.科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是( )
A. 甲种类B. 乙种类C. 丙种类D. 丁种类
5.四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线.如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为( )
A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形
6.在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是( )
A. 内含B. 相交C. 外切D. 相离
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.计算：(4x2)3= ______．
8.计算(a+b)(b−a)= ______．
9.已知 2x−1=1，则x= ______．
10.科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的______倍.(用科学记数法表示)
11.若正比例函数y=kx的图象经过点(7,−13)，则y的值随x的增大而______.(选填“增大”或“减小”)
12.在菱形ABCD中，∠ABC=66°，则∠BAC= ______°.
13.某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元.则投入80万元时，销售量为______万元．
14.一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同.随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有______个绿球．
15.如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，设AC=a,BE=b，若AE=2EC，则DC= ______(结果用含a，b的式子表示)．
16.博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示(一人可以选择多种).那么在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有______人.
17.在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC=1：3：7，则cs∠ABC= ______．
18.对于一个二次函数y=a(x−m)2+k(a≠0)中存在一点P(x′,y′)，使得x′−m=y′−k≠0，则称2|x′−m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=−12x2+13x+3“开口大小”为______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：|1− 3|+2412+12+ 3−(1− 3)0．
20.(本小题10分)
解方程组：x2−3xy−4y2=0①x+2y=6②．
21.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(k为常数且k≠0)上有一点A(−3,m)，且与直线y=−2x+4交于另一点B(n,6)．
(1)求k与m的值；
(2)过点A作直线l//x轴与直线y=−2x+4交于点C，求sin∠OCA的值．
22.(本小题10分)
同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形(直角三角板互不重叠)．
(1)求：①两个直角三角形的直角边(结果用h表示)；
②平行四边形的底、高和面积(结果用h表示)；
(2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．
23.(本小题12分)
如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．
(1)求证：AD2=DE⋅DC；
(2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF=CF=12BD，求证：CE=AD．
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，已知平移抛物线y=13x2后得到的新抛物线经过A(0,−53)和B(5,0)．
(1)求平移后新抛物线的表达式；
(2)直线x=m(m>0)与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；
①如果PQ小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．
25.(本小题14分)
在梯形ABCD中，AD//BC，点E在边AB上，且AE=13AB．
(1)如图1所示，点F在边CD上，且DF=13CD，联结EF，求证：EF/​/BC；
(2)已知AD=AE=1；
①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N.如果BC=4，且CD2=DM⋅DN，求边CD的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：如果x>y，两边同时加上5得x+5>y+5，则A不符合题意；
如果x>y，两边同时减去5得x−5>y−5，则B不符合题意；
如果x>y，两边同时乘5得5x>5y，则C符合题意；
如果x>y，两边同时乘−5得−5x0，
∴x2−6x+6=0有两个不等实数根，故C不符合题意；
由x2−6x+9=0知Δ=36−36=0，
∴x2−6x+9=0有两个相等实数根，故D符合题意；
故选：D．
求出x2−6x=0的根为x=0或x=6，x2−9=0的根为x=3或x=−3，可知A，B不符合题意；由x2−6x+6=0得Δ=36−24=12>0，知C不符合题意；由x2−6x+9=0知Δ=36−36=0，知D符合题意．
本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足Δ=0．
4.【答案】B
【解析】解：∵甲种类和乙种类开花时间最短，
∴从甲种类和乙种类进行选，
∵甲的方差大于乙的方差，
∴开花时间最短的并且最平稳的是乙种类．
故选：B．
先找出平均数小的种类，再根据方差的意义即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，S△ABC=S△BCD=S△ADC=S△BAD，
∵AE⊥BD，BF⊥AC，CG⊥BD，DH⊥AC，
∴AE=BF=CG=DH，
∴四个垂线可以拼成一个菱形，
故选：A．
根据矩形的性质得到AC=BD，S△ABC=S△BCD=S△ADC=S△BAD，根据三角形的面积公式得到AE=BF=CG=DH，再根据菱形的判定定理判断即可．
本题考查的是矩形的性质、菱形的判定、三角形的面积计算，熟记四条边相等的四边形是菱形是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵圆A半径为1，圆P半径为3，圆A与圆P内切，
∴圆A含在圆P内，即PA=3−1=2，
∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示：
∴当到P′位置时，圆P与圆B圆心距离PB最大，为 12+42= 17，
∵ 17