2023年上海市中考数学试卷（含解析）

这是一份2023年上海市中考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年上海市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列运算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列函数中，函数值随的增大而减小的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是(    )
 A. 小车的车流量与公车的车流量稳定
B. 小车的车流量的平均数较大
C. 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值
D. 小车与公车车流量的变化趋势相同5.  在四边形中，，下列说法能使四边形为矩形的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知在梯形中，连接，，且，设，下列两个说法：；，则下列说法正确的是(    )A. 正确错误 B. 错误正确 C. 均正确 D. 均错误二、填空题（本大题共12小题，共48分）7.  分解因式：          ．8.  化简：的结果为          ．9.  已知关于的方程，则          ．10.  函数的定义域为          ．11.  已知关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是          ．12.  在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为          ．13.  如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为          ．14.  一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是          ．15.  如图，在中，点，在边，上，，，连接，设向量，，那么用，表示          ．
 16.  垃圾分类，是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集吨，且全市人口约为试点区域人口的倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为          ．
 17.  如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则          ．
 18.  在中，，，，点在边上，点在延长线上，且，如果过点，过点，若与有公共点，那么半径的取值范围是          ．三、解答题（本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分计算：． 20.  本小题分解不等式组：． 21.  本小题分如图，在中，弦的长为，点在延长线上，且，．求的半径；求的正切值．
 22.  本小题分“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．他实际花了多少钱购买会员卡？减价后每升油的单价为元升，原价为元升，求关于的函数解析式不用写出定义域．油的原价是元升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 23.  本小题分如图，在梯形中 ，点，分别在线段，上，且，．求证：；若，求证：．
 24.  本小题分在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线：经过点．求点，的坐标；求，的值；平移抛物线至，点，分别平移至点，，连接，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． 25.  本小题分如图所示，已知在中，，在边上，点为边中点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，连接交于点．如果，求证：四边形为平行四边形；如图所示，连接，如果，，，求边的长；连接，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
 利用同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，二次根式的化简，对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【解答】
 解：、，故A符合题意
B、，故B不符合题意
C、，故C不符合题意
D、，故D不符合题意
故选A．  2.【答案】 【解析】【分析】
如果，那么，原方程变为：，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程．
本题考查了用换元法使分式方程简便，掌握换元后再在方程两边乘最简公分母可以把分式方程转化为整式方程是关键．
【解答】
  解：设，则，
    原方程变为，
     方程两边都乘得．
      即．
    故选D．  3.【答案】 【解析】【分析】
根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．
本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
【解答】
  解：、，，随的增大而增大，不符合题意
   、，，随的增大而减小，符合题意
  、，，在每个象限内，随的增大而减小，不符合题意
    、，，在每个象限内，随的增大而增大，不符合题意
   故选B．  4.【答案】 【解析】【分析】
  根据折线统计图逐项判断即可得．
  本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键．
【解答】
  解：、小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，不符合题意
B、小车的车流量的平均数较大，则此项正确，符合题意
C、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误，不符合题意
D、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；公车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，不符合题意
故选B．  5.【答案】 【解析】【分析】
结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．
本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识
并灵活运用是解题的关键．
【解答】
 解：，，
四边形为平行四边形而非矩形，故A不符合题意；
，，
四边形为平行四边形而非矩形，故B不符合题意；




，
，
四边形为矩形，故C符合题意；




四边形不一定是矩形，故D不符合题意；
  故选C．  6.【答案】 【解析】【分析】
根据已知及结论，作出图形，进而可知当梯形为等腰梯形，即，时，
；，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案．
本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、
勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
【解答】
  解：过作，交延长线于，如图所示：

若梯形为等腰梯形即，，时，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，

，即，
又，
，
在中，，，，则，
，此时正确
过作于，如图所示：

在中，，，，，
在中，，

，，
，此时正确
而题中，梯形是否为等腰梯形，并未确定；梯形是还是，并未确定，
无法保证正确，
故选D．  7.【答案】 【解析】【分析】
  利用平方差公式进行因式分解即可．
 本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【解答】
   解：，
    故答案为．  8.【答案】 【解析】【分析】
 根据同分母分式的减法计算法则解答即可．
本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【解答】
  解：
  故答案为．  9.【答案】 【解析】【分析】
根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可．
本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键．
【解答】
 解：根据题意得，，即，
   ，
  等式两边分别平方，
   解得：， ，符合题意，
   故答案为．
  10.【答案】 【解析】【分析】
  根据分式有意义的条件可进行求解．
 本题主要考查函数及分式有意义的条件，熟练掌握函数的概念及分式有意义的条件是解题的关键．
【解答】
  解：由可知：，

  故答案为．  11.【答案】 【解析】【分析】
 根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【解答】
  解：关于的一元二次方程没有实数根，
，
 解得：；
  故答案为．  12.【答案】 【解析】【分析】
  根据简单事件的概率公式计算即可得．
  本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
【解答】
  解：因为在不透明的盒子中，总共有个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相
同，所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为，
故答案为．  13.【答案】 【解析】【分析】
根据正边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．
本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
【解答】
解：根据正边形的中心角的度数为，
则，
故这个正多边形的边数为，
故答案为．  14.【答案】答案不唯一 【解析】【分析】
  根据二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定
 ，对称轴，，从而确定答案．
  本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与轴的交点确定系数的正负是解题的
关键．
【解答】
  解：二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，
抛物线开口向下，即，
二次函数的顶点在轴正半轴上，
，即，，
二次函数的解析式可以是答案不唯一．  15.【答案】 【解析】【分析】
 先根据向量的减法可得，再根据相似三角形的判定可得∽，根据相似三
角形的性质可得，由此即可得．
本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键．
【解答】
  解：向量，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为．  16.【答案】吨 【解析】【分析】
   由题意易得试点区域的垃圾收集总量为吨，然后问题可求解．
   本题主要考查扇形统计图，熟练掌握扇形统计图是解题的关键．
【解答】
  解：试点区域可回收垃圾占比：，
          试点区域可回收垃圾总量：吨
     市可收集的干垃圾总量为吨
   故答案为吨．  17.【答案】 【解析】【分析】
 如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可．
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
【解答】
 解：如图，

根据题意可得：，，
是的角平分线，
，
，，
，
则在中，，
，
解得：
故答案为  18.【答案】 【解析】【分析】
先画出图形，连接，利用勾股定理可得，，从而可得，再根据与有公共点可得一个关于的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得．
本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．
【解答】
解：由题意画出图形如下：连接，

过点，且，
的半径为，
过点，它的半径为，且，
，
，，
，，
在边上，点在延长线上，
即，
，
与有公共点，
，即，
不等式可化为，
解方程得：或，
画出函数的大致图象如下：

由函数图象可知，当时，，
即不等式的解集为，
同理可得：不等式的解集为或，
则不等式组的解集为，
又，
半径的取值范围是，
故答案为．  19.【答案】解：原式
． 【解析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次
根式的运算是解题的关键．
 20.【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为． 【解析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
 21.【答案】解：如图，延长，交于点，连接，

由圆周角定理得：，
弦的长为，且，
，
解得，
的半径为．
如图，过点作于点，

的半径为，
，
，
，
，
，即，
解得，
，，
的正切值为． 【解析】延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得
  过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，利用勾股定理可得，则根据正切的定义求解即可．
本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
 22.【答案】解：由题意知，元，
    答：实际花了元购买会员卡
由题意知，，整理得，
关于的函数解析式为
当，则，
，
优惠后油的单价比原价便宜元． 【解析】根据，计算求解即可
由题意知，，整理求解即可
当，则，根据优惠后油的单价比原价便宜元，计算求解即可．
本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式．
 23.【答案】证明：，
，
在和中，
，

证明：，
，
，即，
在和中，，
∽，
，
由已证：，
，
 【解析】先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，
然后根据全等的三角形的性质即可得证
先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判
定可得∽，然后根据相似三角形的性质即可得证．
本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与
性质是解题关键．
 24.【答案】解：直线与轴交于点，轴交于点，
当时，得，
，
当时，，解得，
所以，
设，
则可设抛物线的解析式为：，
抛物线经过点，
将代入得：，
，
，
即，
将代入，
整理得：，
所以，
如图：

轴，点在轴上，
设，，
点，分别平移至点，，
点，点向下平移的距离相同，
，
解得：，
由知，
，
抛物线的函数解析式为：，
将代入可得：，
抛物线的函数解析式为：或． 【解析】根据题意，分别将，代入直线即可求得
设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，
进而可得到抛物线解析式为，即可求得，；
根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即可求得，，然后得到抛物线解析式为：，将代入可得，即可得到答案．
本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出和的值．
 25.【答案】证明：


，

，
是的中点，，
是的中位线，
，即，
四边形是平行四边形
解：，，点边中点，
设，，则
由可得
，
，
又
∽，

即，
，
在中，，
，

解得：或舍去

解：当时，点与点重合，舍去
当时，如图所示，延长交于点，

点是的中点，，
，
设，

∽，
，
设，，

∽，
，
，
，
连接交于点，

，
∽
，
，，，
在与中，，，
，
又，
∽，
，
，
，
，，
． 【解析】根据等边对等角得出，，等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，即可得证；
设，，则，由可得，则，等量代换得出，进而证明∽，得出，在中，，则，解方程即可求解
是以为腰的等腰三角形，分为当时，当时，证明∽，得出，设，，根据，得出∽，可得，，连接交于点，证明∽，在与中，，，得出，可得∽，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明∽是解题的关键．