高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题12.1概率、条件概率与全概率公式(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题12.1概率、条件概率与全概率公式(知识点讲解)(原卷版+解析)，共28页。

【核心素养】
1.考查简单排列组合计算及古典概率的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2.结合独立性考查条件概率的计算，凸显数学运算及数学应用的核心素养．
【知识点展示】
（一）古典概型
1. 随机事件的概率
（1）事件的相关概念
（2）频率与概率的关系
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率f n(A)＝eq \f (nA,n)会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
（3）事件的关系与运算
（4）概率的基本性质
= 1 \* GB3 ①任何事件A的概率都在[0,1]内，即0≤P(A)≤1，不可能事件的概率为0，必然事件Ω的概率为1.
= 2 \* GB3 ②如果事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
= 3 \* GB3 ③事件A与它的对立事件eq \x\t(A)的概率满足P(A)＋P(eq \x\t(A))＝1.
= 4 \* GB3 ④结论：
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
3．古典概型的特点
4．古典概型的概率计算公式
P(A)＝eq \f (A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
（二）条件概率
1．条件概率
2．条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；
(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
3．【两点说明】
（1）如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；
（2）已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(\f(nAB,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq \f(PAB,PA).
（三）事件的独立性
1.事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也相互独立．
2.事件的独立性
(1)事件A与B相互独立的充要条件是
P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)．
（3）如果P(A)＞0，A与B独立，则P(B|A)＝P(B)成立．P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(PAPB,PA)＝P(B)．
3.牢记并理解事件中常见词语的含义
(1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B；
(2)A，B都发生的事件为AB；
(3)A，B都不发生的事件为eq \(\x\t(A))eq \(\x\t(B))；
(4)A，B恰有一个发生的事件为Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B；
(5)A，B至多一个发生的事件为Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B∪eq \(\x\t(A))eq \(\x\t(B)).
（四）全概率公式
1．全概率公式
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))；
(2)定理1 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且
P(B)＝eq \(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PBAi)＝eq \(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PAiPB|Ai).
2．贝叶斯公式
(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有
P(A|B)＝eq \f(PAPB|A,PB)
＝eq \f(PAPB|A,PAPB|A＋P\(A,\s\up6(－))PB|\(A,\s\up6(－))).
(2)定理2 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B，有
P(Aj|B)＝eq \f(PAjPB|Aj,PB)＝eq \(\f(PAjPB|Aj,\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PAiPB|Ai)).
【拓展】贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))之间的内在联系．
【常考题型剖析】
题型一：古典概型
例1.（2023·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
例2.（2023·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A．B．C．D．
例3．(2023·全国·高考真题（理））从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
例4．（2023·江苏·高考真题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.
【总结提升】
1.用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题步骤如下：
①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型．
②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数．
③求值，代入公式P(A)求值．
2.稍微复杂的问题，往往在于简单排列组合问题的解答.
题型二：条件概率
例5.（2023·全国·高三专题练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
例6.(2023·全国·高考真题（理））某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45
例7.（2023·全国·高三专题练习）袋子中有7个大小相同的小球，其中4个红球，3个黄球，每次从袋子中随机摸出1个小球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是___________.
例8．(2023·安徽·高三开学考试）现有5同学站成一排拍照毕业留念，在“甲不站最左边，乙不站最右边”的前提下，丙站最左边的概率为_________.
例9.(2023·安徽·高考真题（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①；
②；
③事件与事件相互独立；
④是两两互斥的事件；
⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关
【总结提升】
1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．第3题中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析．
2.求条件概率的两种方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是求条件概率的通法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得.
题型三：全概率公式
例10.（2023·全国·高三专题练习）某市场供应的电子产品中，来自甲厂的占，来自乙厂的占.已知甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，则该产品是合格品的概率为（ ）
A．B．C．D．
例11．【多选题】（2023·全国·高三专题练习）甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有3个红球和2个白球，先从乙盒中任取两球，放入甲盒中，然后从甲盒中任取一球，则最终取到的球是白球的概率为___________.
【规律方法】
1．以上三例分别代表全概率公式及其应用、贝叶斯公式及其应用及全概率公式与贝叶斯公式的综合应用.
2．利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)；
第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；
第三步：代入P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求解．
3.贝叶斯公式实质上是条件概率公式P(Bi|A)＝eq \f(PBiA,PA)，P(BiA)＝P(Bi)·P(A|Bi)，全概率公式P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)的综合应用．
4..若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
【提醒】
1.全概率公式P(B)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)在解题中体现了化整为零的转化化归思想．
2．贝叶斯概率公式反映了条件概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，全概率公式P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)及乘法公式P(AB)＝P(B)P(A|B)之间的关系．
即P(Bj|A)＝eq \f(PBjA,PA)＝eq \f(PBjPA|Bj,PA)＝eq \f(PBjPA|Bj,\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PBiPA|Bi).
题型四 独立性与条件概率的关系
例13.【多选题】(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）盒中装有大小相同的5个小球（编号为1至5），其中黑球3个，白球2个.每次取一球（取后放回），则（ ）
A．每次取到1号球的概率为
B．每次取到黑球的概率为
C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件
D．“每次取到3号球”与“每次取到4号球”是对立事件
例14. 【多选题】（2023·全国·高三专题练习）甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ）
A．事件与事件相互独立B．
C．D．
例15.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．事件B与事件相互独立D．，，两两互斥
例16.(2023·浙江嘉兴·高三阶段练习）树人中学进行篮球定点投篮测试，规则为：每人投篮三次，先在A处投一次三分球，投进得3分，未投进得0分，然后在B处投两次两分球，每投进一次得2分，未投进得0分，测试者累计得分高于3分即通过测试．甲同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每轮在A处和B处各投10次，根据统计该同学各轮三分球和两分球的投进次数如下图表：
若以五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率，则该同学通过测试的概率是___________．
例17.（2023·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
【规律方法】
1.判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)．
（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
3.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
4．求复杂事件的概率一般可分三步进行
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
5.计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．
题型五 概率与统计综合问题
例18.（2023·全国·高考真题（文））某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
例19.（陕西·高考真题（文））假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率
例20．(2023·重庆八中高三阶段练习）女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在比赛中，每一个回合，赢球的一方可得1分，并获得下一球的发球权，输球的一方不得分.现有甲乙两队进行排球比赛.
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
(2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分均为14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为.求甲队在4个球以内（含4个球）赢得整场比赛的概率.
名称
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等事件
若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
并(和)事件
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅且A∪B＝U
(U为全集)
定义
一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件概率
表示
P(A|B)
计算
公式
P(A|B)＝eq \f(PA∩B,PB)
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
专题12.1 概率、条件概率与全概率公式（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.考查简单排列组合计算及古典概率的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2.结合独立性考查条件概率的计算，凸显数学运算及数学应用的核心素养．
【知识点展示】
（一）古典概型
1. 随机事件的概率
（1）事件的相关概念
（2）频率与概率的关系
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率f n(A)＝eq \f (nA,n)会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
（3）事件的关系与运算
（4）概率的基本性质
= 1 \* GB3 ①任何事件A的概率都在[0,1]内，即0≤P(A)≤1，不可能事件的概率为0，必然事件Ω的概率为1.
= 2 \* GB3 ②如果事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
= 3 \* GB3 ③事件A与它的对立事件eq \x\t(A)的概率满足P(A)＋P(eq \x\t(A))＝1.
= 4 \* GB3 ④结论：
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
3．古典概型的特点
4．古典概型的概率计算公式
P(A)＝eq \f (A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
（二）条件概率
1．条件概率
2．条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；
(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
3．【两点说明】
（1）如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；
（2）已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(\f(nAB,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq \f(PAB,PA).
（三）事件的独立性
1.事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也相互独立．
2.事件的独立性
(1)事件A与B相互独立的充要条件是
P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)．
（3）如果P(A)＞0，A与B独立，则P(B|A)＝P(B)成立．P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(PAPB,PA)＝P(B)．
3.牢记并理解事件中常见词语的含义
(1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B；
(2)A，B都发生的事件为AB；
(3)A，B都不发生的事件为eq \(\x\t(A))eq \(\x\t(B))；
(4)A，B恰有一个发生的事件为Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B；
(5)A，B至多一个发生的事件为Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B∪eq \(\x\t(A))eq \(\x\t(B)).
（四）全概率公式
1．全概率公式
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))；
(2)定理1 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且
P(B)＝eq \(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PBAi)＝eq \(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PAiPB|Ai).
2．贝叶斯公式
(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有
P(A|B)＝eq \f(PAPB|A,PB)
＝eq \f(PAPB|A,PAPB|A＋P\(A,\s\up6(－))PB|\(A,\s\up6(－))).
(2)定理2 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B，有
P(Aj|B)＝eq \f(PAjPB|Aj,PB)＝eq \(\f(PAjPB|Aj,\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PAiPB|Ai)).
【拓展】贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))之间的内在联系．
【常考题型剖析】
题型一：古典概型
例1.（2023·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
答案：C
分析：利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
例2.（2023·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.
【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，
其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.
故选：B
例3．(2023·全国·高考真题（理））从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
答案：.
分析：根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
故答案为：．
例4．（2023·江苏·高考真题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.
答案：.
分析：先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.
【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.
若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，
若选出的2名学生都是女生，有种情况，
所以所求的概率为.
【总结提升】
1.用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题步骤如下：
①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型．
②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数．
③求值，代入公式P(A)求值．
2.稍微复杂的问题，往往在于简单排列组合问题的解答.
题型二：条件概率
例5.（2023·全国·高三专题练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：利用条件概率的公式算出，也利用条件概率公式算出最终答案
【详解】因为，且，所以
，所以，
故选：D.
例6.(2023·全国·高考真题（理））某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45
答案：A
【详解】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.
例7.（2023·全国·高三专题练习）袋子中有7个大小相同的小球，其中4个红球，3个黄球，每次从袋子中随机摸出1个小球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是___________.
答案：##0.5
分析：利用条件概率的公式计算即可.
【详解】记事件第1次摸到红球，事件第2次摸到红球，
第1次摸到红球的事件种数，
在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的事件种数，
则.
故答案为：.
例8．(2023·安徽·高三开学考试）现有5同学站成一排拍照毕业留念，在“甲不站最左边，乙不站最右边”的前提下，丙站最左边的概率为_________.
答案：
分析：设“甲不站最左边，乙不站最右边”为事件，丙站最左边事件，则，，进而根据条件概率求解即可.
【详解】解：设“甲不站最左边，乙不站最右边”为事件，丙站最左边事件，
则5同学站成一排，共有中可能，事件发生的情况有：种，
事件发生的情况分两种可能：
第一种，当甲站在最右边时，有种；
第二种，当甲不站在最左边，也不站在最右边时，有种，
事件发生的情况有：
所以，，
所以在“甲不站最左边，乙不站最右边”的前提下，丙站最左边的概率为.
故答案为：
例9.(2023·安徽·高考真题（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①；
②；
③事件与事件相互独立；
④是两两互斥的事件；
⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关
答案：②④
分析：根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出事件发生的条件下B事件发生的概率，即可判断②；然后由，判断①和⑤；再比较的大小即可判断③.
【详解】由题意可知事件不可能同时发生，则是两两互斥的事件，则④正确；
由题意得，故②正确；
,①⑤错；
因为，所以事件B与事件A1不独立，③错；综上选②④
故答案为：②④
【总结提升】
1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．第3题中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析．
2.求条件概率的两种方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是求条件概率的通法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得.
题型三：全概率公式
例10.（2023·全国·高三专题练习）某市场供应的电子产品中，来自甲厂的占，来自乙厂的占.已知甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，则该产品是合格品的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用全概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】设、分别表示为买到的产品来自甲厂、来自乙厂，表示买到的产品是合格品，
则，，，，
所以.
故选：C.
例11．【多选题】（2023·全国·高三专题练习）甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A．B．C．D．
答案：ACD
分析：根据古典概型求概率公式得到，由全概率公式计算，由条件概率计算BD选项中的概率.
【详解】因为甲罐中有2个红球、2个黑球，所以，故选项A正确；
因为，所以选项C正确；
因为，，所以，故选项D正确；
因为，所以选项B错误；
故选：ACD
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有3个红球和2个白球，先从乙盒中任取两球，放入甲盒中，然后从甲盒中任取一球，则最终取到的球是白球的概率为___________.
答案：#.
分析：设分别为从乙盒中任取两球是两红､两白､一红一白的两两互斥事件，事件是最终取到的球是白球，结合全概率公式，即可求解.
【详解】设分别为从乙盒中任取两球是两红､两白､一红一白的两两互斥事件，
事件是最终取到的球是白球，
由全概率公式得.
故答案为：
【规律方法】
1．以上三例分别代表全概率公式及其应用、贝叶斯公式及其应用及全概率公式与贝叶斯公式的综合应用.
2．利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)；
第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；
第三步：代入P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求解．
3.贝叶斯公式实质上是条件概率公式P(Bi|A)＝eq \f(PBiA,PA)，P(BiA)＝P(Bi)·P(A|Bi)，全概率公式P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)的综合应用．
4..若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
【提醒】
1.全概率公式P(B)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)在解题中体现了化整为零的转化化归思想．
2．贝叶斯概率公式反映了条件概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，全概率公式P(A)＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)及乘法公式P(AB)＝P(B)P(A|B)之间的关系．
即P(Bj|A)＝eq \f(PBjA,PA)＝eq \f(PBjPA|Bj,PA)＝eq \f(PBjPA|Bj,\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))PBiPA|Bi).
题型四 独立性与条件概率的关系
例13.【多选题】(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）盒中装有大小相同的5个小球（编号为1至5），其中黑球3个，白球2个.每次取一球（取后放回），则（ ）
A．每次取到1号球的概率为
B．每次取到黑球的概率为
C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件
D．“每次取到3号球”与“每次取到4号球”是对立事件
答案：AC
分析：通过计算得出每次取到1号球的概率判断A；通过计算得出每次取到黑球的概率判断B；根据独立事件的定义判断C；通过计算得出次取到3，4号球的概率及对立事件的定义判断D.
【详解】解：对于A，每次取到1号球的概率为，故正确；
对于B，每次取到黑球的概率为，故错误；
对于C，“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”相互之间没有影响，所以“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件，故正确；
对于D，每次取到3号球的概率为，每次取到4号球的概率为，它们互斥事件，而不是对立事件，故错误.
故选：AC.
例14. 【多选题】（2023·全国·高三专题练习）甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ）
A．事件与事件相互独立B．
C．D．
答案：BD
分析：由全概率公式可计算得到D正确；根据贝叶斯公式可知B正确；根据可知C错误；由可知A错误.
【详解】由题意知：，，，，，，
，D正确；
，B正确；
，C错误；
，，
，事件与事件不相互独立，A错误.
故选：BD.
例15.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．事件B与事件相互独立D．，，两两互斥
答案：AD
分析：根据互斥事件的定义判断D，再根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算即可判断其他选项．
【详解】因为事件，和任意两个都不能同时发生，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，，，，故A正确；
，，
，因为，，所以，所以与不是相互独立事件，故B，C不正确．
故选：AD．
例16.(2023·浙江嘉兴·高三阶段练习）树人中学进行篮球定点投篮测试，规则为：每人投篮三次，先在A处投一次三分球，投进得3分，未投进得0分，然后在B处投两次两分球，每投进一次得2分，未投进得0分，测试者累计得分高于3分即通过测试．甲同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每轮在A处和B处各投10次，根据统计该同学各轮三分球和两分球的投进次数如下图表：
若以五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率，则该同学通过测试的概率是___________．
答案：##
分析：分别求出甲同学两分球投篮命中的概率和甲同学三分球投篮命中的概率，设甲同学累计得分为，则，由此能求出甲同学通过测试的概率．
【详解】解：依题意甲同学两分球投篮命中的概率为：，
甲同学三分球投篮命中的概率为：，
设甲同学累计得分为，
则
，
甲同学通过测试的概率为．
故答案为：
例17.（2023·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
答案：
分析：根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.
【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.
故答案为：；.
【规律方法】
1.判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)．
（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
3.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
4．求复杂事件的概率一般可分三步进行
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
5.计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．
题型五 概率与统计综合问题
例18.（2023·全国·高考真题（文））某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
答案：（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.
分析：（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；
（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，
所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；
乙分厂加工件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．
例19.（陕西·高考真题（文））假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率
答案：（1）；（2）.
【详解】
点评：此题主要考查随机事件，随机事件的概率，用频率估计概率，考察数据处理能力和运算能力.
例20．(2023·重庆八中高三阶段练习）女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在比赛中，每一个回合，赢球的一方可得1分，并获得下一球的发球权，输球的一方不得分.现有甲乙两队进行排球比赛.
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
(2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分均为14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为.求甲队在4个球以内（含4个球）赢得整场比赛的概率.
答案：(1)
(2)
分析：（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；
（2）先根据比赛规则确定x的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.
（1）
甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为.
（2）
设甲队x个球后赢得比赛，根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为
两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，
打第二个球甲发球甲得分，此时概率为；
两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，
打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，
或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，
打第四个球甲发球甲得分，此时概率为.
故所求概率为：
名称
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等事件
若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
并(和)事件
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅且A∪B＝U
(U为全集)
定义
一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件概率
表示
P(A|B)
计算
公式
P(A|B)＝eq \f(PA∩B,PB)
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21