高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.4数列求和(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.4数列求和(知识点讲解)(原卷版+解析)，共21页。


【核心素养】
1．结合具体问题的计算，考查等差、等比数列的通项公式与前n项和公式，凸显数学运算的核心素养．
2．与实际应用问题、数学文化相结合，考查数列的应用，凸显数学建模的核心素养．
3.考查各种数列的求和，凸显逻辑推理、数学运算及数学应用等核心素养.
【知识点展示】
（一）数列的求和公式
1. 等差数列的前和的求和公式：.
2．等比数列前项和公式
一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.
3. 常见数列前项和
①重要公式：（1）
（2）
（3）
（4）
②等差数列中，；
③等比数列中，.
（二）几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：
①；
②；
③.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
【常考题型剖析】
题型一：公式法求和
例1.（2023·全国高二单元测试）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线．具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为，，，以C为圆心、CB为半径作劣弧交于点；以A为圆心、为半径作劣弧交于点；以B为圆心、为半径作劣弧交于点，依此规律，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线．记劣弧的长，劣弧的长，劣弧的长，…依次为，，，…，则______．
例2．(2023·北京·高考真题（文））已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求和：．
【总结提升】
关键是明确数列类型，正确计算公式所需元素，选用公式加以计算.
题型二：分组求和与并项求和
例3.(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.
例4.(2023·天津·高考真题（文））已知是等比数列，前n项和为，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.
例5．(2023·天津高考真题（文））设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
【总结提升】
分组转化法求和的常见类型
(1)若，且为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{}的前n项和．
(2)通项公式为的数列，其中数列是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.
提醒：注意在含有字母的数列中要对字母进行分类讨论．
题型三：裂项相消法求和
例6．(2023·全国·高考真题（理））等差数列的前项和为，，，则____________．
例7.（2023·全国·高三专题练习）数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和______．
例8. (2023·天津·高考真题（理））设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
【总结提升】
1.裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
题型四：错位相减法求和
例9. （2023·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
例10.(2023·天津·高考真题（文））已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
例11.(2023·浙江·高考真题）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【温馨提醒】
1.使用“错位相减法”的方法步骤：
2.特别提醒：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
3.在历年高考命题中，“错位相减法”为高频考查内容.
题型五：倒序相加法求和
例12．(2023·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ）
A．98B．99C．100D．101
例13．(2023·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．
【总结提升】
注意观察数列（函数）特征：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
专题7.4 数列求和（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1．结合具体问题的计算，考查等差、等比数列的通项公式与前n项和公式，凸显数学运算的核心素养．
2．与实际应用问题、数学文化相结合，考查数列的应用，凸显数学建模的核心素养．
3.考查各种数列的求和，凸显逻辑推理、数学运算及数学应用等核心素养.
【知识点展示】
（一）数列的求和公式
1. 等差数列的前和的求和公式：.
2．等比数列前项和公式
一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.
3. 常见数列前项和
①重要公式：（1）
（2）
（3）
（4）
②等差数列中，；
③等比数列中，.
（二）几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：
①；
②；
③.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
【常考题型剖析】
题型一：公式法求和
例1.（2023·全国高二单元测试）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线．具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为，，，以C为圆心、CB为半径作劣弧交于点；以A为圆心、为半径作劣弧交于点；以B为圆心、为半径作劣弧交于点，依此规律，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线．记劣弧的长，劣弧的长，劣弧的长，…依次为，，，…，则______．
答案：
分析：
根据给定条件，确定这些劣弧的半径从小到大排成一列得等差数列，再利用前n项和公式计算即得.
【详解】
依题意，这些劣弧的半径从小到大排成一列得等差数列，首项为1，公差为1，则第n个劣弧的半径长为n，
因每个劣弧的圆心角均为，于是得第n个劣弧的弧长，
所以．
故答案为：
例2．(2023·北京·高考真题（文））已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求和：．
答案：（1）an=2n−1.（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.
解得d=2.
所以an=2n−1.
（Ⅱ）设等比数列的公比为q.
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.
所以.
从而.
【总结提升】
关键是明确数列类型，正确计算公式所需元素，选用公式加以计算.
题型二：分组求和与并项求和
例3.(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.
答案：330
【解析】
分析：
分别讨论为奇数时，数列的通项公式与为偶数时，数列的通项公式，再利用分组求和法代入求和即可.
【详解】
由题意，当为奇数时，，
所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，
当为偶数时，，
所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，
，
故答案为：330
例4.(2023·天津·高考真题（文））已知是等比数列，前n项和为，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）先由，解得，分别代入，得，；（Ⅱ）先根据等差中项得，再利用分组求和法求和：.
试题解析：（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以.
（Ⅱ）解：由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列.
设数列的前项和为，则
例5．(2023·天津高考真题（文））设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
答案：(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.
【解析】
（I）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．
因为，可得，故．所以，．
设等差数列的公差为．由，可得．
由，可得从而，故，所以，．
（II）由（I），有
由,
可得，
整理得解得（舍），或．所以n的值为4．
【总结提升】
分组转化法求和的常见类型
(1)若，且为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{}的前n项和．
(2)通项公式为的数列，其中数列是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.
提醒：注意在含有字母的数列中要对字母进行分类讨论．
题型三：裂项相消法求和
例6．(2023·全国·高考真题（理））等差数列的前项和为，，，则____________．
答案：
【解析】
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ，
数列的前n项和，
裂项可得，
所以．
例7.（2023·全国·高三专题练习）数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和______．
答案：
【解析】
分析：
先根据等差中项可得，再利用和的关系可得，进而求得，所以，利用裂项相消求和即可.
【详解】
由对于任意的，总有，，成等差数列可得：
，
当时可得，
所以，
所以，
所以，
由数列的各项均为正数，
所以，
又时，所以，
所以，
，
.
故答案为：.
例8. (2023·天津·高考真题（理））设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
答案：(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.
【解析】
【详解】
分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得
（II）（i）由（I），有，则.
（ii）因为，裂项求和可得.
详解：（I）设等比数列的公比为q.由
可得.因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得
由，可得
从而 故
所以数列的通项公式为，
数列的通项公式为
（II）（i）由（I），有，
故.
（ii）因为，
所以.
【总结提升】
1.裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
题型四：错位相减法求和
例9. （2023·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
分析：
(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.
【详解】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
例10.(2023·天津·高考真题（文））已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
答案：（Ⅰ）. .（Ⅱ）.
【解析】
【详解】
试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.
由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有
，
，
上述两式相减，得
.
得.
所以，数列的前项和为.
例11.(2023·浙江·高考真题）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
分析：
分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列前n项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求.
【详解】
详解：（Ⅰ）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
（Ⅱ）设，数列前n项和为.
由解得.
由（Ⅰ）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
【温馨提醒】
1.使用“错位相减法”的方法步骤：
2.特别提醒：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
3.在历年高考命题中，“错位相减法”为高频考查内容.
题型五：倒序相加法求和
例12．(2023·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ）
A．98B．99C．100D．101
答案：C
【解析】
分析：
观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.
【详解】
由已知，数列通项，所以，
所以，
所以.
故选：C.
例13．(2023·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．
答案：##
【解析】
分析：
根据可求，从而可求.易验证，故可采用倒序相加法求题设式子的值．
【详解】
∵①，
∴当时，②，
①－②得，∴；
当时，，∴，此时仍然成立，
∴．
∴当n=1时，；
当时，，
当n=1时，上式也成立，故．
由于，
设
则，
∴．
故答案为：．
【总结提升】
注意观察数列（函数）特征：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．