高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.3椭圆(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.3椭圆(知识点讲解)(原卷版+解析)，共27页。


【核心素养】
1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
一．椭圆的定义及其应用
1.椭圆的概念
(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距．
(2)代数式形式：集合
①若，则集合P为椭圆；
②若，则集合P为线段；
③若，则集合P为空集．
2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，
二．椭圆的标准方程
1. 椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴，；
（2）焦点在轴，.
2．满足条件：
三．椭圆的几何性质
椭圆的标准方程及其几何性质
四．直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆位置关系的判断
(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．
2．直线与椭圆的相交长问题：
（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．
（2）弦中点问题，适用“点差法”.
（3）椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0，y0)是椭圆的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝，
即kAB＝.
【常考题型剖析】
题型一：椭圆的定义及其应用
例1.（2023·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
例2. （2023·全国）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．1B．－1C．D．
例3.（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．9
【规律方法】
1.应用椭圆的定义，可以得到结论：
（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.
2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.
3.椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
题型二：椭圆的标准方程
例4.(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
例5.（2023·全国高考真题（文））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ）
A.B.C.D.
例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：
(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．
(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ．
(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组．
(4)求解，得方程．
2．(1)方程与有相同的离心率．
(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
题型三：椭圆的几何性质
例7.(2023·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
例9.(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例10.(2023·四川成都·高三期末（理））已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．
【总结提升】
1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a，b，c；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.
2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：
(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为等．
(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．
(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．
(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.
3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．
4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题.
题型四：直线与椭圆的位置关系
例11.(2023·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
例12.(2023·北京八中高三阶段练习）已知为椭圆上任意一点，为左､右焦点，为中点.如图所示：若，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线经过且斜率为与椭圆交于两点，求弦长的值.
例13.(2023·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
【规律方法】
一.涉及直线与椭圆的基本题型有：
1.位置关系的判断
2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率．
3.轨迹问题
4.定值、最值及参数范围问题
5.存在性问题
二．常用思想方法和技巧有：
1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.
三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离．
题型五：椭圆与圆的相关问题
例14. （2023·天津·高考真题（文）） 设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.
例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
例16.（2023·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)圆的切线与C相交于A，B两点，P为切点，求的值．
【总结提升】
从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.
条件
图形
标准方程
范围
对称性
曲线关于轴、原点对称
曲线关于轴、原点对称
顶点
长轴顶点 ,短轴顶点
长轴顶点 ,轴顶点
焦点
焦距
离心率
，其中
通径
过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为
专题9.3 椭圆（知识点讲解）
【知识框架】

【核心素养】
1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
一．椭圆的定义及其应用
1.椭圆的概念
(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距．
(2)代数式形式：集合
①若，则集合P为椭圆；
②若，则集合P为线段；
③若，则集合P为空集．
2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，
二．椭圆的标准方程
1. 椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴，；
（2）焦点在轴，.
2．满足条件：
三．椭圆的几何性质
椭圆的标准方程及其几何性质
四．直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆位置关系的判断
(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．
2．直线与椭圆的相交长问题：
（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．
（2）弦中点问题，适用“点差法”.
（3）椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0，y0)是椭圆的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝，
即kAB＝.
【常考题型剖析】
题型一：椭圆的定义及其应用
例1.（2023·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
答案：C
分析：
本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】
由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
例2. （2023·全国）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．1B．－1C．D．
答案：A
分析：
设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.
【详解】
设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，
如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，
此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．
例3.（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．9
答案：A
分析：由已知可得，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.
【详解】因为，
所以，
又
记，则，
②2-①整理得：，所以
故选：A
【规律方法】
1.应用椭圆的定义，可以得到结论：
（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.
2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.
3.椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
题型二：椭圆的标准方程
例4.(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
例5.（2023·全国高考真题（文））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ）
A.B.C.D.
答案：B
【解析】
法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
分析：设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案.
【详解】设椭圆方程为，
设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，
则需，
，
即，，，
则，所以选项AC满足.
故选：AC.
【总结提升】
1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：
(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．
(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ．
(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组．
(4)求解，得方程．
2．(1)方程与有相同的离心率．
(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
题型三：椭圆的几何性质
例7.(2023·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】解：，
设，则，
则，
故，
又，则，
所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用椭圆的离心率可得，分析可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式即可求即解
【详解】因为椭圆的离心率，所以.
因为，所以，
所以椭圆的蒙日圆的半径为.
因为，所以为蒙日圆的直径，
所以，所以.
因为，当时，等号成立，
所以面积的最大值为：.
由面积的最大值为36，得，得，进而有，，
故椭圆的长轴长为.
故选：B
例9.(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.
详解：根据题意，可知，因为，
所以，即，
所以椭圆的离心率为，故选C.
例10.(2023·四川成都·高三期末（理））已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．
答案：
分析：根据题意可得，且，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可
【详解】由题意，因为线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．
故半径,即 ，且.
又离心率，
因为，结合题意有，
设，则，易得对勾函数在上单调递增，
故在上单调递增，
故，即
故答案为：
【总结提升】
1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a，b，c；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.
2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：
(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为等．
(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．
(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．
(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.
3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．
4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题.
题型四：直线与椭圆的位置关系
例11.(2023·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
答案：
分析：设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，利用点差法可得答案.
【详解】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，
设中点坐标为，则，
所以，两式相减可得，
，即，
由于在椭圆内部，由得，
所以时，即直线与椭圆相切，
此时由解得或，
所以，
所求得轨迹方程为．
故答案为：．
例12.(2023·北京八中高三阶段练习）已知为椭圆上任意一点，为左､右焦点，为中点.如图所示：若，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线经过且斜率为与椭圆交于两点，求弦长的值.
答案：(1)
(2)
分析：（1）由题意可得结合求得a，继而求得b，即可得椭圆方程；
（2）写出直线l的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长.
（1）
由题意知，为中点，O为的中点，故,
又 ，故，即，
所以 ，
又因为，故，所以 ，
故椭圆的标准方程为 ；
（2）
由直线经过且斜率为可知直线方程为，即，
联立，消去y可得 ，解得 ，
则两点不妨取为，
故.
例13.(2023·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；
（2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程.
（1）解：，离心率为.
（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，由，①，，由可得，②由可得，③联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．
【规律方法】
一.涉及直线与椭圆的基本题型有：
1.位置关系的判断
2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率．
3.轨迹问题
4.定值、最值及参数范围问题
5.存在性问题
二．常用思想方法和技巧有：
1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.
三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离．
题型五：椭圆与圆的相关问题
例14. （2023·天津·高考真题（文）） 设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.
答案：（I）；（II）.
分析：（I）根据题意得到，结合椭圆中的关系，得到，化简得出，从而求得其离心率；
（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得，从而得到椭圆的方程.
【详解】（I）解：设椭圆的半焦距为，由已知有，
又由，消去得，解得，
所以，椭圆的离心率为.
（II）解：由（I）知，，故椭圆方程为，
由题意，，则直线的方程为，
点的坐标满足，消去并化简，得到，
解得，
代入到的方程，解得，
因为点在轴的上方，所以，
由圆心在直线上，可设，因为，
且由（I）知，故，解得，
因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，
又由圆与相切，得，解得，
所以椭圆的方程为：.
【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.
例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）过点的直线方程为，
则原点到直线的距离，
由，得，解得离心率.
（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.
依题意，圆心是线段的中点，且.
易知，不与轴垂直.
设其直线方程为，代入（1）得
.
设，则，.
由，得，解得.
从而.
于是.
由，得，解得.
故椭圆的方程为.
例16.（2023·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)圆的切线与C相交于A，B两点，P为切点，求的值．
答案：(1)
(2)
分析：（1）结合椭圆的定义求得，由此求得的方程.
（2）当直线斜率不存在时，求得，从而求得；当直线斜率存在时，设出直线的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得，由此判断出，结合相似三角形求得.
（1）
为，所以点的轨迹曲线是以，为焦点的椭圆．
设其方程为，
则，，解得，，
所以曲线的方程为．
（2）
当直线AB的斜率不存在时，，此时，则．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，
由直线AB与圆相切可得，化简得．
联立得，．
设，，
则，，
所以
，
所以，所以为直角三角形．
由，可得，
所以，所以．
综上，．
【总结提升】
从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.条件
图形
标准方程
范围
对称性
曲线关于轴、原点对称
曲线关于轴、原点对称
顶点
长轴顶点 ,短轴顶点
长轴顶点 ,轴顶点
焦点
焦距
离心率
，其中
通径
过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为