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    2021-2022学年湖北省咸宁市高二(下)期末数学试卷(Word解析版)

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    2021-2022学年湖北省咸宁市高二(下)期末数学试卷(Word解析版)

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    这是一份2021-2022学年湖北省咸宁市高二(下)期末数学试卷(Word解析版),共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2021-2022学年湖北省咸宁市高二(下)期末数学试卷 题号总分得分       一、单选题(本大题共8小题,共40分)已知集合,则(    )A.  B.
    C.  D. (    )A.  B.  C.  D. 一组数据的方差为,则另一组数据的方差为(    )A.  B.  C.  D. 在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足关系式,其中星等为的星的亮度为已知牛郎星的星等是,织女星的星等是,则牛郎星与织女星的亮度的比值为(    )A.  B.  C.  D. 已知是坐标原点,是抛物线的焦点,上一点,且,则的面积为(    )A.  B.  C.  D. 已知,函数的最小正周期为,则下列结论不正确的是(    )A. 上单调递增
    B. 直线图象的一条对称轴
    C. 图象的一个对称中心
    D. 上的最大值为已知是直线上任意一点,过点作两条直线与圆相切,切点分别为的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 方形是中国古代城市建筑最基本的形态,它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则,中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图,用大小相同的竹棍构造一个大正方体个大小相同的小正方体构成,若一只蚂蚁从点出发,沿着竹棍到达点,则蚂蚁选择的不同的最短路径共有(    )
    A.  B.  C.  D.  二、多选题(本大题共4小题,共20分)已知,则(    )A.  B.
    C.  D. 已知向量,则下列结论正确的有(    )A. ,则
    B. ,则
    C. 的最小值为
    D. 的夹角为锐角,则古希腊人十分重视数学与逻辑,闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏,如图,古希腊学者用石头摆出三角形图案,第行有颗石头,第行有颗,以此类推,第行有颗,第行第颗石头记为表示从第行第颗至第行第颗石头的总数,设,则(    )
    A.  B.
    C.  D. 在正方体中,动点满足,其中,且,则(    )A. 对于任意的,都有平面平面
    B. 时,三棱锥的体积为定值
    C. 时,不存在点,使得平面
    D. 时,存在点,使得 三、填空题(本大题共4小题,共20分)已知函数是奇函数,则实数______已知圆锥的母线长为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的底面半径为______,体积为______过点且与曲线相切的直线共有______条.已知分别是椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,且若以点为圆心,为半径的圆与直线相切,则椭圆的离心率为______ 四、解答题(本大题共6小题,共70分)中,上一点.
    边上的中线,求
    的角平分线,求正项数列的前项和为,已知
    是等差数列,求的通项公式.
    是否存在实数,使得是等比数列?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.如图,在梯形中,已知的中点,将沿着翻折至,连接
    证明:
    若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值.
    某单位了为激发党员学习党史的积极性,现利用学习强国中特有的四人赛答题活动进行比赛,活动规则如下:一天内参与四人赛活动,仅前两局比赛可获得积分,第一局获胜分,第二局获胜得分,失败均得分.小张周一到周五每天都参加了两局四人赛活动,已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为,且各局比赛互不影响.
    ,记小张一天中参加四人赛活动的得分为,求的分布列和数学期望;
    设小张在这天的四人赛活动中,恰有天每天得分不低于分的概率为,试问当为何值时,取得最大值?已知双曲线的右焦点为,点的一条渐近线的距离为,过点的直线与相交于两点.当轴时,
    的方程;
    是直线上一点,当三点共线时,判断直线的斜率是否为定值.若是定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.已知函数
    时,,求实数的取值范围;
    证明:
    答案和解析 1.【答案】 【解析】解:由题意可得

    故选:
    先化简,再运算即可求解.
    本题考查集合基本运算,属基础题.
     2.【答案】 【解析】解:
    故选:
    根据已知条件,结合复数模公式,即可求解.
    本题主要考查复数模公式,属于基础题.
     3.【答案】 【解析】解:因为一组数据的方差为,所以另一组数据的方差为
    故选:
    根据方差的性质计算即可.
    本题考查方差的性质,属于基础题.
     4.【答案】 【解析】解:所求为牛郎星的亮度比织女星的亮度,所以牛郎星为,织女星为

    故选:
    根据题目中给出的星等与亮度的关系带入数据,转换为对数运算.
    本题考查对数函数图象与性质的综合应用与对材料的理解能力,属于中档题.
     5.【答案】 【解析】解:是抛物线的焦点,上一点,且
    ,解得
    的面积为
    故选:
    根据已知条件,结合上一点,以及抛物线的定义,即可求解.
    本题主要考查抛物线的定义,属于基础题.
     6.【答案】 【解析】解:
    的最小正周期为,得
    所以
    对于,令,得A正确;
    对于,令,则不正确;
    对于,令,得,可知图象的一个对称中心,C正确;
    对于,当时,的最大值为D正确.
    故选:
    化简得,利用正弦函数的图象与性质对四个选项逐一分析可得答案.
    题考查三角函数中的恒等变换应用及正弦函数的性质,考查运算求解能力,属于中档题.
     7.【答案】 【解析】解:已知是直线上任意一点,过点作两条直线与圆相切,切点分别为
    是以为圆心,为半径的圆,
    由题可知,当最小时,的值最小,
    取得最小值时,最大,最小,
    到直线的距离
    故当时,最大,且最大值为
    此时,则
    故选:
    根据直线与圆相切的几何性质可知,当取得最小值时,最大,的值最小,当时,取得最小值,进而可求此时
    本题考查了直线与圆相切的几何性质,属于中档题.
     8.【答案】 【解析】解:由题意可知,从最少需要步完成,其中有步是横向的,步是纵向的,步是竖向的.
    则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种.
    故选:
    分析可知从最少需要步完成,其中有步是横向的,步是纵向的,步是竖向的,利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可得结果.
    本题主要考查分步和分类计数原理,属于基础题.
     9.【答案】 【解析】解:根据题意,依次分析选项:
    对于,因为,即,所以A正确.
    对于,取B错误;
    对于,即C正确.
    对于,取D错误;
    故选:
    根据题意,依次分析选项是否正确,即可得答案.
    本题考查不等式的性质,涉及基本不等式的应用,属于基础题.
     10.【答案】 【解析】解:对于:若,则,解得不正确.
    对于:若,则,解得B正确.
    对于:因为
    所以,所以,故C正确.
    对于:若的夹角为锐角,则解得,故D不正确.
    故选:
    对于:利用列方程解出,即可判断;对于:利用列方程解出,即可判断;
    对于:求出,利用函数求最小值;对于:利用的夹角为锐角,列不等式组即可解得.
    本题考查了平面向量的平行与垂直关系,向量夹角的范围以及数量积的计算,属于基础题.
     11.【答案】 【解析】解:根据题意,三角形图案中,第行有颗石头,
    ,则
    依次分析选项:
    对于A错误;
    对于,故B正确;
    对于,故D正确;
    对于,故C不正确.
    故选:
    根据题意,可求得的表达式,从而得的表达式,逐项验证即可.
    本题考查数列的应用,涉及归纳推理的应用,属于基础题.
     12.【答案】 【解析】解:对于选项,设正方体的棱长为
    以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,


    设平面的法向量为
    ,取,可得
    因为
    ,设平面的法向量为
    ,取,可得
    因为,即
    对于任意的;,都有平面平面对;
    对于选项,当时,点
    设平面的法向量为
    ,取,可得,且
    所以,点到平面的距离为
    又因为的面积为定值,故三棱锥的体积为定值,对;

    对于选项,当时,
    假设存在点,使得平面,因为平面,则
    ,则可得,与题设条件不符,
    假设不成立,故当时,不存在点,使得平面对;
    对于选项,当时,则

    ,故为锐角,错.
    故选:
    设正方体的棱长为,以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可判断各选项的正误.
    本题考查棱锥的体积及面面垂直,考查学生的运算能力,属于难题.
     13.【答案】 【解析】解:根据题意,函数是奇函数,则有

    必有,即
    故答案为:
    根据题意,由奇函数的定义可得,结合函数的解析式变形分析可得答案.
    本题考查函数奇偶性的性质以及应用,涉及函数解析式的计算,属于基础题.
     14.【答案】  【解析】解:设圆锥的底面半径为,则,解得
    圆锥的高
    体积
    故答案为:
    设圆锥的底面半径为,由圆锥底面周长等于半圆弧长列式求得,进一步求出圆锥的高,再由圆锥的体积公式求解.
    本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥体积的求法,考查运算求解能力,是基础题.
     15.【答案】 【解析】解:设切点的坐标为0
    因为
    故切线方程为:0
    代入上式整理得,解得
    故切线方程为,或
    即过点的曲线的切线共有条.
    故答案为:
    先设出切点,求出导数,然后求出切线方程,再将代入即可得到关于的方程,该方程有几个根,就有几条切线.
    本题考查导数的几何意义与切线方程的求法,属于中档题.
     16.【答案】 【解析】解:如图,过点垂直直线,垂足为,连接

    ,所以,则
    所以
    中,由余弦定理知,
    因为
    所以,则,所以
    故答案为:
    根据椭圆定义可,根据圆与相切得,进而根据两个三角形中余弦值相等,即可列出关系式求解关系.
    本题考查了椭圆的离心率的计算,利用余弦定理构造方程是解题关键,属于中档题.
     17.【答案】解:,因为的中点,所以
    中,由余弦定理
    中.由余弦定理
    因为互为补角,所以
    所以,解得,即
    的角平分线,可得
    所以
    中,
    中,
    解得 【解析】的中点,由题意可得,分别在两个三角形中,由余弦定理可得的代数式,再由互为补角,可得这两个角的余弦值为,求出的值;
    由角平分线性质可得比例过程,可得的值,在中,由余弦定理可得的余弦值,在中,由的余弦值及余弦定理,可得的值.
    本题考查余弦定理的应用及角平分线性质的应用,属于中档题.
     18.【答案】解:时,,又,则
    时,,即
    因为是等差数列,设的公差为,所以,解得
    ,故的通项公式为
    假设存在实数,使得是等比数列,
    可知,
    因为是等比数列,所以,即,解得
    此时不符合题意,则假设错误.
    故不存在实数,使得是等比数列. 【解析】时,有,又可得,当时,,即
    从而可得是以为公差的等差数列,从而可得其通项公式;
    可假设存在实数,使得是等比数列,则,进一步利用可求出值,再求出并检验即可.
    本题考查数列的递推公式,等差数列、等比数列的定义,考查学生逻辑推理和运算求解的能力,属于中档题.
     19.【答案】证明:连接,交于点,连接
    因为的中点,所以
    又四边形为梯形,所以四边形为菱形,所以
    因为的中点,所以
    因为平面平面,所以平面
    平面,所以
    解:以点为坐标原点,所在直线分别为轴,作平面,建立如图所示的空间直角坐标系,

    知,
    因为二面角的大小为,所以
    因为的中点,所以
    所以
    B
    所以
    因为平面,所以平面的一个法向量
    与平面所成的角为
     【解析】连接,交于点,连接,易证四边形为菱形,从而知,结合,根据线面垂直的判定定理与性质定理,得证;
    点为坐标原点建立空间直角坐标系,由,知,再由平面几何知识求得,然后写出点的坐标,以及平面的一个法向量,设与平面所成的角为
    ,得解.
    本题考查立体几何综合,熟练掌握线与面垂直的判定定理与性质定理,理解二面角的定义,利用空间向量求线面夹角的方法是解题的关键,考查空间立体感,推理论证能力和运算能力,属于中档题.
     20.【答案】解:由题可知,的可能取值为





    的分布列为:
    设一天得分不低于分为事件



    时,上单调递增,
    时,上单调递减,
    故当时,取得最大值. 【解析】由题可知,的可能取值为,分别求出对应的概率,再结合期望公式,即可求解.
    设一天得分不低于分为事件,则,则,再利用导数研究该函数的单调性,即可求解.
    本题主要考查离散型随机变量分布列的求解,以及利用导数研究函数的单调性,属于中档题.
     21.【答案】解:根据对称性,不妨设到直线的距离为

    轴时,由双曲线的通径为,解得
    的方程为

    当直线的斜率不为时,设直线的方程为
    联立方程组,得
    ,且,得
    由根与系数的关系可得
    三点共线,,整理得

    ,即直线的斜率为定值
    当直线的斜率为时,都在轴上,则直线的斜率为定值
    综上所述,直线的斜率为定值 【解析】不妨设到直线的距离为,由点到直线的距离公式列式求得,再由双曲线的通径长列式求解,则双曲线方程可求;
    当直线的斜率不为时,设直线的方程为,联立直线方程与双曲线方程,化为关于的一元二次方程,由三点共线,得,进一步求解的斜率;当直线的斜率为时,由都在轴上,可得直线的斜率为定值
    本题考查双曲线方程的求法,考查直线与双曲线位置关系的应用,考查运算求解能力,是中档题.
     22.【答案】解:时,等价于
    令函数,则
    ,则单调递减,,不符合题意,
    ,则
    因为函数上单调递增,
    所以
    时,单调递减,,不符合题意,
    ,则单调递增,,符合题意,
    综上所述,实数的取值范围是
    证明:由
    要证,只需证
    即证
    令函数

    时,单调递减;当时,单调递增,
    ,即
    时,单调递增;当时,单调递减.

    因为
    所以,即,从而 【解析】时,等价于,令函数,求导分析单调性,分析的大小,即可得出答案.
    要证,只需证,即证,即可得出答案.
    本题考查导数的综合应用,解题中注意转化思想的应用,属于中档题.
     

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