四川省成都市蓉城名校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份四川省成都市蓉城名校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知，则n的值为( )
A.9B.8C.7D.6
2．已知函数，则在点处的切线的斜率为( )
A.3B.2C.1D.
3．已知函数，，则( )
A.B.
C.D.，的大小关系不确定
4．的展开式中的系数是( )
A.10B.C.5D.
5．已知函数的图象如图所示，则下列正确的是( )
A.，B.，
C.，D.，
6．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”），参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设各项均为正整数的数列满足，，若，则m的取值可以为( )
A.1B.3C.6D.7
7．2024年世界园艺博览会在成都举行，展会期间需要志愿者开展服务活动，其中有5名志愿者全部被安排到3家参展商开展服务活动，每家参展商至少有1名志愿者，则5名志愿者不同的安排方法有( )
A.90种B.150种C.300种D.540种
8．已知数列的前n项和满足：，且，则被8整除的余数为( )
A.4B.6C.7D.5
二、多项选择题
9．在二项式的展开式中，下列说法正确的是( )
A.奇数项的二项式系数和为64B.第6项和第7项二项式系数相等
C.第4项系数为280D.系数最大的是第6项
10．某班一天上午有5节课，现要安排语文､数学､政治､英语､物理5门课程，下列说法正确的是( )
A.数学不排在第1节，物理不排在第5节共有96种排法
B.按语文､数学､英语的前后顺序（不一定相邻）一定共有20种排法
C.语文和英语必须相邻共有48种排法
D.数学和物理不相邻共有72种排法
11．甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．设随机变量x的方差，则的值为_________.
13．袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为，则第一次摸到白球的概率为_________.
14．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为_________.
四、解答题
15．已知数列是公差不为0的等差数列，，是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前n项和.
16．如图，三棱柱中，为正三角形，，，O为的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．某学校开展社会实践进社区活动，高二某班有，，，，，六名男生和，，，四名女生报名参加活动，从中随机一次性抽取5人参加A社区活动，其余5人参加B社区活动.
（1）求参加A社区活动的同学中包含且不包含的概率；
（2）用X表示参加B社区活动的女生人数，求X的分布列和数学期望.
18．已知函数，.
（1）讨论函数的单调区间：
（2）若函数有两个不同的零点，，
①求a的取值范围，
②证明：.
19．已知椭圆的离心率为，且过点.过椭圆D上的点A作圆的两条切线，其中一条切线与椭圆D相交于点B，与圆O相切于点C，两条切线与y轴分别交于E，F两点.
（1）求椭圆D的方程；
（2）是否为定值，若是，请求出的值；若不是，请说明理由：
（3）若椭圆上点，求面积的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由，
得，所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：，则，
即在点处的切线的斜率为1.
故选：C.
3．答案：A
解析：，
当时，，所以函数在上单调递增，
又因为，所以.
故选：A.
4．答案：D
解析：的通项公式为，
当时，，
当时，，
故展开式中的系数为.
故选：D.
5．答案：D
解析：，
由函数的图象可知，
在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数的图象是开口向上的抛物线，且有两个零点，，，，
所以，所以，
所以ABC错误，D正确.
故选：D.
6．答案：A
解析：若，则或（舍去），则或，
若，则或，
当，则或，
当，则；
若，则，所以或，
综上可得，故符合条件的只有A.
故选：A.
7．答案：B
解析：先将5名志愿者分成3组，再分配到3家参展商，
故不同的安排方式共有种.
故选：B.
8．答案：C
解析：当时，，，
两式相减可得，整理得，即，
则是首项为1的常数列，故，则.
所以，能被56整除一定能被8整除，
变形运用二项式定理展开，可以得到
，
被8整除的余数即末项被8整除的余数，，
则被8整除的余数为7.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：
对于A：由二项式的展开式可得展开式奇数项二项式系数之和为，故A正确；
对于B：由二项式系数的性质，第6项和第7项二项式系数分别为，，不相等，故B错误；
对于C：第4项为，所以第4项的二项式系数为，故C正确；
对于D：二项展开式的通项为，
由，解得，所以，即第6项系数最大，故D正确.
.故选：ACD.
10．答案：BCD
解析：对于A，当物理排第一节时，共有种排法，
当物理不排第一节时，共有种，
所以数学不排在第1节，物理不排在第5节共有种排法，故A错误.
对于B，由题意共有种排法，故B正确；
对于C，由题意共有种排法，故C正确；
对于D，由题意共有种排法，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：设表示经过第n次传球后，球在甲手中，
设n次传球后球在甲手中的概率为，，
则，，
所以，，
，
所以，所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以，
，故C错误；
.
故选：AD.
12．答案：
解析：由题意.
故答案为：.
13．答案：
解析：设事件A为第一次摸到白球，事件B为第二次摸到黑球，
则，，
故.
故答案为：.
14．答案：
解析：函数定义域为R，
又，
令，即，依题意函数与函数有两个交点，
对函数求导得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，结合单调性可以画出函数的大致图象如下：
函数是斜率为a且恒过点的直线，设与相切时直线斜率为，
设切点为，则，，
则切线方程为，
因为切线过点，则，
解得或，
当时，切线方程为，，
当时，切线方程为，，
由图可得当或时，函数与函数有两个交点，
即函数有两个极值点，
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）设数列公差为d，则，，，
又是和的等比中项，所以，
解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得，
所以，
所以，
所以，所以
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接，，，因为为正三角形且，O为的中点，
所以，，又，，所以，则，
又，所以，所以，所以，
又，，平面，所以平面；
（2）由（1）可知平面，，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，取，
设平面的法向量为，则，取，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）分布列见解析，
解析：（1）由题意，所求概率；
（2）由题意X可取0，1，2，3，4，
则，，
，，
，
则X的分布列如下：
所以.
18．答案：（1）答案见详解
（2）①；②见答案详解
解析：（1），定义域为，
当时，，在递增；
当时，，，，，
递增，在递减.
综上所述：当时，递增区间为，无递减区间；
当时，递增区间为，递减区间为.
（2）①有两个不同的零点，，有两个根，即有两个根，
令，则，
则时，，递增；时，，递减，
极大值为，当时，，当时，，
的范围为.
②有两个不同的零点，，，
两式作差得，，要证，及证，
即证：，同除，得到
不妨设，令，则，
则证明，即证，
令，则，
则在上增，且，，.得证.
19．答案：（1）
（2）为定值，理由见解析
（3）
解析：（1）由题意可得，解得，，
所以椭圆D的方程为；
（2）由题意知切线与y轴有交点，直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
联立，消y得，
则，，
又，
当时，，①
因为直线与圆相切，
所以圆心O到直线的距离为，
所以，代入①得，
所以，
当时，则，，
所以，所以直线过椭圆的左或右顶点与上或下顶点，
所以，
在中，，
由射影定理知，
所以为定值2；
（3）由题意直线的斜率存在，
设过点的切线方程为，即，
则圆心O到直线的距离为，
即，
设直线，的斜率分别为，，
则，，
直线的方程为，
令，则，
同理，
，
，
因为在椭圆上，
所以，代入化简得：
，
令，则，
则，
令，，则，
令，，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以，即，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以，
所以面积的取值范围为.
X
0
1
2
3
4
P