四川省成都市蓉城名校2022-2023学年高二下学期期末联考数学（理）试卷（含答案）

四川省成都市蓉城名校2022-2023学年高二下学期期末联考数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、成都大运会某志愿者服务小队由四川大学25名学生和电子科技大学15名学生组成，现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取16名学生进行应急知识检测，则从四川大学学生中抽取的人数为(   )

A.10 B.6 C.5 D.3

3、设x，，则“”是“”的(   )

A.充分必要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件

4、已知等边三角形ABC的边长为a，则的值为(   )

A. B. C. D.

5、已知函数在点处的切线方程为，则a的值为(   )

A. B. C. D.e

6、已知正实数m，n，满足，则下列不等式中错误的是(   )

A. B. C. D.

7、若x，y满足约束条件则的最大值是(   )

A.5 B.10 C. D.20

8、已知函数则(   )

A.4 B.8 C.16 D.32

9、已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为(   )

A.  B.

C.  D.

10、已知方程有两个不等的实根，则实数m的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

11、在三棱锥中，底面ABC，，，，若三棱锥外接球的表面积为，则(   )

A.1 B. C. D.

12、如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，，的离心率分别为，，且在第一象限相交于点P，则下列说法中错误的是(   )

①若，则；

②若，则的值为1；

③的面积；

④若，则当时，取得最小值2.

A.①② B.②③ C.③④ D.②④

二、填空题

13、若复数满足，则______.

14、函数的单调递减区间为______.

15、已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行，则m所有可能取的值之和为______.

16、已知和是函数的两个不相等的零点，则的范围是______.

三、解答题

17、设，是函数的两个极值点，且.

（1）求m的值；

（2）求在区间上的值域.

18、第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日8月8日在成都市举行，全民运动成为新风尚.某体育用品店统计了2023年15月份运动器材销量y（单位：千套）与售价x（单位：元）的情况，如下表所示：

（1）请建立y关于x的线性回归方程（精确到0.001），并估计当该器材的售价为50元时销量为多少千套？

（2）为了解顾客对器材的使用满意度情况，该店拟从3名男顾客和2名女顾客中随机抽取2人进行调研回访，求选中的两位顾客为男女各1人的概率.

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

19、如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，若，，.

（1）证明：平面平面ABCD；

（2）若E，F分别是QC，QD的中点，动点P在线段EF上移动，设为直线BP与平面ABCD所成角，求的取值范围.

20、已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于M，N两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围.

21、已知函数，，.

（1）当时，证明：时，恒成立；

（2）若在处的切线与垂直，求函数在区间上的值域；

（3）令，若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围.

22、在直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

（2）若点，直线l与圆C相交于A，B两点，求的值.

参考答案

1、答案：A

解析：A：，B：，则，故选：A.

2、答案：A

解析：四川大学和电子科技大学学生人数之比为，则从四川大学学生中抽取的人数为，故选：A.

3、答案：B

解析：由可得，或，“”是“”的充分不必要条件，故选：B.

4、答案：B

解析：，故选：B.

5、答案：C

解析：，，，则切线为，a的值为1，故选：C.

6、答案：D

解析：，A正确，，正确，，，正确，，D错误，故选：D.

7、答案：D

解析：

画出可行域如图，表示到原点距离的平方，则z的最大值为，故选：D.

8、答案：C

解析：，，故选：C.

9、答案：A

解析：由图可知，为偶函数，则排除B、D，C选项的极值点为和1，与图象不符，故选：A.

10、答案：D

解析：

关于x的方程有两个不等的实数解，即PB有两个不相等的实数解，即，的图象有两个交点，是以为圆心，1为半径的上半圆（除去点、原点），而是过定点的直线，由图可知，当直线在AB和AC之间时符合要求，当直线为AB时，，当直线为AC时，由点D到直线AC的距离等于半径可得（正值舍去），实数m的取值范围是，故选：D.

11、答案：C

解析：由已知可得，，，面PAC，是和的公共斜边，PB是三棱锥的外接球直径，由，设，则，则，故选：C.

12、答案：D

解析：①，，，即，，故①正确；②椭圆与双曲线有公共焦点，，，P在第一象限，且，，，即，即，故②错误；③设椭圆的焦距为，，，则，，解得，，，即，，，，，故③正确；④设椭圆的焦距为，则，，解得，，在中，根据余弦定理可得：，整理得，即，，当且仅当时取等号，故④错误，故选：D.

13、答案：

解析：，则，故答案为.

14、答案：

解析：，，则单调递减区间为，故答案为.

15、答案：0

解析：由离心率为可解得，则的渐近线为，则m可能取的值为，和为0，故答案为0.

16、答案：解析：和是函数两个不相等的零点，不妨设，，，两式相减得，令，，，，，，令，，，令，，，，恒成立，在是单调递增，，恒成立，在是单调递增，，恒成立，，，，，故答案为.

17、答案：（1）

（2）

解析：（1），，由，可知，，，解得；

（2），得下表：

在区间上的最大值为，最小值为，在区间上的值域为.

18、答案：（1）11.75

（2）

解析：(1)，，，，则，，y关于x的线性回归方程为：，当；

（2）设男顾客为A、B、C，女顾客为a、b，则可能的组合有：，，，，，，，，，共10种情形，其中一男一女的有6种，故选中的两位顾客为男女各1人的概率为.

19、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）在中，，，，，

为直角三角形且，又底面ABCD是矩形，则，，平面QAD，又平面ABCD，平面平面ABCD；

（2）

在平面ABCD内，取AD中点为O，过点O作，交BC于点T，，，由题意可得平面ABCD，且OT，平面ABCD，则，，直线OQ，OT，OD两两互相垂直，以为坐标原点，OT，OD，OQ所在直线分别为x，y，z轴建如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设，则，，

又，则，，，BP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为

20、答案：（1）

（2）

解析：（1）由题意可知：，可得，，椭圆C的方程为：；

（2）设直线为，由，得，联立，得，显然，设，，则，，，的取值范围为，则，解得，，，，则，的取值范围为.

21、答案：（1）证明见解析

（2）

（3）

解析：（1）当时，，，函数在单调递增，，时，恒成立； 

（2），，，，当，得；在单调递减，在单调递增，，，，，函数在区间上的值域为；

（3）由题意，有两个不同的零点，则a不可能为0，则，设，，设，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，当时，，当时，，要使有两个不等的实数根，则，a的取值范围是.

22、答案：（1）

（2）3

解析：（1）由圆C的参数方程（为参数）得：

，根据，则圆C的极坐标方程为：；

（2）把直线l的参数方程，代入圆C的方程得，设A，B两点对应的参数分别为，，.