2023-2024学年四川省成都市蓉城名校高二（下）期末数学试卷（含答案）

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这是一份2023-2024学年四川省成都市蓉城名校高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知n!(n−2)!=Cn3，则n的值为( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
2.已知函数f(x)=x2+sinx，则f(x)在点P(0,0)处的切线的斜率为( )
A. 3B. 2C. 1D. −1
3.已知函数f(x)=−x+1ex,a>b>0，则( )
A. f(a)>f(b)B. f(a)C. f(a)=f(b)D. f(a)，f(b)的大小关系不确定
4.(x+y)(x−y)6的展开式中x4y3的系数是( )
A. 10B. −10C. 5D. −5
5.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列正确的是( )
A. a<0，b>0
B. a<0，c>0
C. a>0，b<0
D. a>0，c<0
6.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)，参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设各项均为正整数的数列{an}满足a1=m,an+1=an2,an为偶数an+5,an为奇数，若a5=4，则m的取值可以为( )
A. 1B. 3C. 6D. 7
7.2024年世界园艺博览会在成都举行，展会期间需要志愿者开展服务活动，其中有5名志愿者全部被安排到3家参展商开展服务活动，每家参展商至少有1名志愿者，则5名志愿者不同的安排方法有( )
A. 90种B. 150种C. 300种D. 540种
8.已知数列{an}的前n项和Sn满足：2Sn=(n+1)an(n∈N∗)，且a1=1，则(a54+1)55被8整除的余数为( )
A. 4B. 6C. 7D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在二项式(1+2x)7的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 奇数项的二项式系数和为64B. 第6项和第7项二项式系数相等
C. 第4项系数为280D. 系数最大的是第6项
10.某班一天上午有5节课，现要安排语文、数学、政治、英语、物理5门课程，下列说法正确的是( )
A. 数学不排在第1节，物理不排在第5节共有96种排法
B. 按语文、数学、英语的前后顺序(不一定相邻)一定共有20种排法
C. 语文和英语必须相邻共有48种排法
D. 数学和物理不相邻共有72种排法
11.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为Pn(n∈N∗).则下列结论正确的是( )
A. P1=0B. P3=736
C. 3Pn+2Pn−1=3(n⩾2)D. P2024>14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量x的方差D(x)=2，则D(3x+1)的值为______．
13.袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为37，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为17，则第一次摸到白球的概率为______．
14.已知函数f(x)=(2x−3)ex−12ax2+ax有两个极值点，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1，a2是a1和a4的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn=2n+2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为正三角形，AB=AA1=2，∠A1AC=∠A1AB，O为BC的中点，A1O=1．
(1)证明：A1O⊥平面ABC；
(2)求平面BAA1与平面CAA1夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
某学校开展社会实践进社区活动，高二某班有B1，B2，B3，B4，B5，B6六名男生和G1，G2，G3，G4四名女生报名参加活动，从中随机一次性抽取5人参加A社区活动，其余5人参加B社区活动．
(1)求参加A社区活动的同学中包含B1且不包含G1的概率；
(2)用X表示参加B社区活动的女生人数，求X的分布列和数学期望．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2lnx+1x−ax,a∈R．
(1)讨论函数g(x)=xf(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，
①求a的取值范围；
②证明：a(x1+x2)2>4．
19.(本小题17分)
已知椭圆D：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，且过点(2,1).过椭圆D上的点A作圆O：x2+y2=2的两条切线，其中一条切线与椭圆D相交于点B，与圆O相切于点C，两条切线与y轴分别交于E，F两点．
(1)求椭圆D的方程；
(2)线段|BC|⋅|CA|是否为定值，若是，请求出|BC|⋅|CA|的值；若不是，请说明理由；
(3)若椭圆上点A(x0,y0)(x0⩾2)，求△AEF面积的取值范围．
答案
1.B
2.C
3.A
4.D
5.D
6.A
7.B
8.C
9.ACD
10.BCD
11.AD
12.18
13.13
14.(4e32,+∞)
15.解：(1)数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1，a2是a1和a4的等比中项．
故a22=a1⋅a4，整理得(a1+d)2=a1(a1+3d)，故(1+d)2=1+3d，解得d=1或0(0舍去)，
故an=1+(n−1)=n．
(2)由(1)得：bn=2n+2n，
所以Sn=(21+22+...+2n)+2(1+2+...+n)=2×(2n−1)2−1+2×n(n+1)2=2n+1−2+n2+n．
16.解：(1)证明：连接AO，A1B，A1C，
在正△ABC中，AB=2，O为BC中点，
AO= 3，又AA1=2，A1O=1，
由勾股定理知A1O⊥AO，又∠A1AC=∠A1AB，
易知△A1AC≅△A1AB，
∴A1C=A1B，又O为AB中点，
A1O⊥BC，AO∩BC=O，
故A 1O⊥平面ABC；
(2)建立如图空间直角坐标系知，

A( 3,0,0)，B(0,1,0)，C(0,−1,0)，A1(0,0,1)，
设平面BAA1的法向量为m=(x1,y1,z1)，
m⋅BA=(x1,y1,z1)( 3,−1,0)= 3x1−y1=0，
m⋅BA1=(x1,y1,z1)(0,−1,1)=−y1+z1=0，
令x1=1，则y1= 3，z1= 3，
所以m=(1, 3, 3)，
设平面CAA1的法向量为n=(x2,y2,z2)，
n⋅CA1=(x2,y2,z2)(0,1,1)=y2+z2=0，
n⋅CA=(x2,y2,z2)( 3,1,0)= 3x2+y2=0，
令x2=1，则y2=− 3，z2= 3，
所以n=(1,− 3, 3)，
cs=m⋅n|m||n|=17，
设平面BAA1与平面CAA1的夹角为θ，易知θ为锐角，
csθ=|cs|=17，
即平面BAA1与平面CAA1夹角的余弦值为17．
17.解：(1)由题意，所求概率P=C84C105=518；
(2)由题意X可取0，1，2，3，4，
则P(X=0)=C65C105=142，P(X=1)=C64C41C105=521，P(X=2)=C63C42C105=1021，P(X=3)=C62C43C105=521，P(X=4)=C61C44C105=142，
则X的分布列如下：
所以E(X)=0×142+1×521+2×1021+3×521+4×142=2．
18.解：(1)g(x)=2lnx+1−ax2，定义域为(0,+∞)，g′(x)=2x−2ax=2(1−ax2)x，
当a≤0时，g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)递增；
当a>0时，x∈(0, aa)，g′(x)>0，x∈( aa,+∞)，g′(x)<0，
∴g(x)在(0, aa)递增，在( aa,+∞)递减，
综上所述：当a≤0时，递增区间为(0,+∞)，无递减区间；
当a>0时，递增区间为(0, aa)，递减区间为( aa,+∞)．
(2)①∵f(x)有两个不同的零点x1，x2，2lnx+1x−ax=0有两个根，即a=2lnx+1x2有两个根，
令ℎ(x)=2lnx+1x2，则ℎ′(x)=−4lnxx3，
则x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增；x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，
∴ℎ(x)极大值为ℎ(1)=1，当x→+∞时，ℎ(x)→0，当x→0时，ℎ(x)→∞，
∴a的范围为(0,1)．
②∵f(x)若两个不同的零点x1，x2，2lnx1+1=ax122lnx2+1=ax22，
两式作差得2lnx1x2=a(x12−x22)，
∴a=2lnx1x2x12−x22，要证a(x1+x2)2>4，即证2lnx1x2x12−x22(x1+x2)2>4，
即证 2lnx1x2x1−x2(x1+x2)>4，同除x2，得到2lnx1x2x1x2−1(x1x2+1)>，
不妨设0则证明(t+1)t−1⋅2lnt>4，即证lnt−2(t−1)t+1<0，
令φ(x)=lnt−2(t−1)t+1，则φ′(x)=(t−1)2t(t+1)2>0，
则φ(x)在(0,1)上增，且φ(1)=0，∴φ(x)<0，
∴a(x1+x2)2>4，得证．
19.解：(1)∵a2=b2+c2，又ca= 22,4a2+1b2=1，
则a2=6，b2=3，
所以椭圆D的方程为x26+y23=1；
(2)由题意知切线与y轴有交点，lAB的斜率存在，设直线方程为：y=kx+m，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
y=kx+mx26+y23=1，消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−6=0，
x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−61+2k2，
又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2−6k21+2k2，
当x1x2≠0时，y1y2x1x2=m2−6k22m2−6①，
直线与圆相切，圆心到直线的距离d=|m| k2+1= 2，
∴m2=2(k2+1)，代入①得y1y2x1x2=−1，
∴OA⊥OB，
当x1x2=0，易得m2=3，则k2=12，
∴y1y2=0，直线AB过椭圆的上或下顶点与左或右顶点，
∴OA⊥OB，
在Rt△OAB中，AB与圆O相切于点C，
∴OC⊥AB，由射影定理知|OC|2=|BC|⋅|AC|=2，
故|BC|⋅|AC|为定值2；
(3)∵x0⩾2，∴过点A(x0,y0)的切线斜率一定存在，设切线方程为y−y0=k(x−x0)，
圆心到直线的距离为：
d′=|y0−kx0| k2+1= 2，化简得(x02−2)k2−2x0y0k+y02−2=0，
设直线AE，AF的斜率分别为k1，k2，
∴k1+k2=2x0y0x02−2，k1k2=y02−2x02−2，
∵AE：y−y0=k1(x−x0)，x=0，yE=y0−k1x0，同理可得yF=y0−k2x0，
∴|EF|=|yE−yF|=x0|k1−k2|=x0 (k1+k2)2−4k1k2，
∴S△A⁢E⁢F=12x02 (k1+k2)2−4k1k2=12x02 (2x0y0x02−2)2−4⁤y02−2x02−2，
∵A(x0,y0)在椭圆上，∴y02=3−12x02，
代入化简得：S△AEF=12x02 2x02(6−x02)(x02−2)2+2=x02x02−2 x02+2，
令x02−2=t(2⩽t⩽4)，
S△AEF=t+2t t+4,S△AEF2=t3+8t2+20t+16t2，
令f(t)=t3+8t2+20t+16t2，则f′(t)=t3−20t−32t3，
令ℎ(t)=t3−20t−32，则ℎ′(t)=3t2−20(2≤t≤4)，
由ℎ′(t)=0得t= 203，
∴ℎ(t)在[2, 203]上单调递减，在[ 203,4]上单调递增，又ℎ(2)<0，ℎ(4)<0，
∴ℎ(t)<0在[2,4]上恒成立，∴f(t)在[2,4]上单调递减，
∴18⩽f(t)⩽24，即3 2⩽S△AEF⩽2 6，
故△AEF面积的取值范围为[3 2,2 6]． X
0
1
2
3
4
P
142
521
1021
521
142

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