2023-2024学年山西省临汾市部分学校高二（下）质检数学试卷（5月份）（含答案）

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这是一份2023-2024学年山西省临汾市部分学校高二（下）质检数学试卷（5月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x2−4x+3<0}，B={x|y= 4−x2}，则A∩B=( )
A. {x|−2≤x<3}B. {x|11}
2.已知z=(1−i)2，则|z+2iz|=( )
A. 5B. 52C. 4D. 2
3.函数f(x)=x2+lnx−3x的单调递减区间是( )
A. (0,12)B. (12,1)C. (1,+∞)D. (−∞,12)
4.若直线x+y+2=0与圆M：(x−a)2+(y−a)2=8a2(a>0)相切，则圆M的半径为( )
A. 2B. 4C. 2 2D. 8
5.从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则P(B|A)=( )
A. 34B. 56C. 67D. 78
6.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a−b|，则a−2b在b方向上的投影向量为( )
A. 12bB. 2bC. −12bD. −2b
7.已知函数f(x)在R上单调递增，且f(x+1)是奇函数，则满足(x2−4)f(x)>0的x的取值范围是( )
A. (0,1)∪(2,+∞)B. (−∞,0)∪(2,+∞)
C. (−2,1)∪(2,+∞)D. (0,2)
8.已知a>0，设函数f(x)=x2+ax+1,x≤0,ex−ax,x>0,若存在x0，使得f(x0)A. (0,2 2−2)B. (0,2 2−2)∪(1,+∞)
C. (1,+∞)D. (2 2−2,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=2sin(ωx+2π3)(ω>0)，点(−π3,0)，(π6,0)是曲线y=f(x)的两个相邻的对称中心，则( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)在区间[−π4,0]上的最大值为2
C. 直线x=−π12是曲线y=f(x)的一条对称轴
D. f(x)在区间(0,π)上有3个零点
10.设数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1=aan−2a，则下列结论正确的为( )
A. 若a=1，则{an}为等差数列
B. 若a=−1，则S2024=2024
C. 若a=1，则{Snn}是公差为−2的等差数列
D. 若a=−1，则a1a2024的最大值为1
11.已知抛物线C：y=4x2的焦点为F，A，B为C上的两点，过A，B作C的两条切线交于点P，设两条切线的斜率分别为k1，k2，直线AB的斜率为k3，则( )
A. C的准线方程为y=−1
B. k1，k3，k2成等差数列
C. 若P在C的准线上，则k1k2=−1
D. 若P在C的准线上，则|AF|+4|BF|的最小值为916
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(x2−2yx)5的展开式中，xy3的系数是______．
13.已知O为坐标原点，若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支上存在两点A，B，使得∠AOB=60°，则C的离心率的取值范围是______．
14.已知某圆锥内切球的半径为1，则该圆锥侧面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2．
(1)证明：数列{an+1}为等比数列；
(2)在ak与ak+1之间插入k个数，使得这k+2个数组成公差为3k20的等差数列，求k．
16.(本小题15分)
近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势.已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用分层随机抽样的方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据：
(1)请完成上表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？
(2)为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量X为体育运动时长小于1小时的人数，求X的分布列和数学期望，
附：
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，AA1= 2，AB⊥AC，D为A1C1的中点．
(1)证明：BC1⊥CD；
(2)设E为B1C1的中点，P在棱AA1上，满足PE⊥平面DBC，求PD与平面DBC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx+x22−ax．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)已知f(x)有两个极值点．
(ⅰ)求a的取值范围；
(ⅱ)若f(x)的极小值小于ln2−3，求f(x)的极大值的取值范围．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点P(0,1)，且△PF1F2为等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点Q为C上的一个动点，求△PF2Q面积的最大值；
(3)若直线l与C交于A，B两点，且∠PF2A=∠PF2B，证明：直线l过定点．
答案
1.B
2.A
3.B
4.C
5.A
6.D
7.C
8.D
9.ABC
10.ABD
11.BCD
12.−80
13.(2 33,+∞)
14.(3+2 2)π
15.(1)证明：∵an+1=3an+2，
∴an+1+1=3an+3=3(an+1)，即an+1+1an+1=3，
又∵a1+1=3≠0，
∴{an+1}是以3为首项，3为公比的等比数列；
(2)解：由(1)可得an+1=3n，
所以an=3n−1，
所以ak+1−ak=3k+1−3k=(k+1)3k20，
即3−1=2=k+120，
解得k=39．
16.解：(1)某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，
则列联表如下：
零假设H0：学生是否近视与体育运动时长无关，
χ2=50×(8×36−2×4)212×38×10×40=122557≈21.491>10.828，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，没有充分证据推断出H0成立，
因此可以认为H0不成立，即认为学生是否近视与体育运动时长有关；
(2)X的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C43C123=155，P(X=1)=C42C81C123=1255，
P(X=2)=C41C82C123=2855，
P(X=3)=1−P(X=0)−P(X=1)−P(X=2)=1455，
所以X的分布列为：
E(X)=0×155+1×1255+2×2855+3×1455=2．
17.(1)证明：连接AC1，因为CC1CA=DC1CC1，且∠DC1C=ACC1=90°，
所以△ACC1∽△CC1D，AC1⊥CD，
又在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB⊥平面AA1C1C，CD∈平面AA1C1C，
故AB⊥CD，又AB∩AC1=A，AB，AC1⊂平面ABC1，
所以CD⊥平面ABC1，又BC1⊂平面ABC1，故BC 1⊥CD；
解：(2)如图所示，建立空间直角坐标系，

B(2,0,0)，E(1,1, 2)，C(0,2,0)，
B(2,0,0)，E(1,1, 2)，C(0,2,0)，D(0,1, 2)，BC=(−2,2,0)，CD=(0,−1, 2)，
设P(0,0,a)，PE=(1,1, 2−a)，
则由PE⋅BC=0,PE⋅CD=0,PE⋅CD=0，得−2+2+0=0，−1+ 2( 2−a)=0，
解得，a= 22，
所以平面DBC的一个法向量为PE=(1,1, 22)，
设PD与平面DBC所成角为θ，PD=(0,1, 22)，
则sinθ=|PD⋅PE||PD||PE|=32 3 2× 5 2= 155，
所以PD与平面DBC所成角的正弦值为 155．
18.解：(1)当a=1时，f(x)=lnx+x22−x，f′(x)=1x+x−1，
所以f(1)=−12，f′(1)=1，
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−(−12)=x−1，即y=x−32；
(2)(ⅰ)由题意可得，f′(x)=1x+x−a(x>0)，
因为f(x)有两个极值点，
所以f′(x)=1x+x−a=0有两个不同的零点，
即1x+x=a有两个不同的正实数根，
因为1x+x≥2，当且仅当x=1x，即x=1时取等号，
所以a>2；
(ⅱ)由(ⅰ)可知，1x+x=a有两个不同的正实数根x1，x2，不妨设0则f(x)在区间(0,x1)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在(x2,+∞)上单调递增，
所以x2为f(x)的极小值点，
则f(x2)=lnx2+x222−ax2=lnx2−x222−1，
设g(x)=lnx−x22−1，则g′(x)=1x−x=1−x2x，
所以当x>1时，g(x)单调递减，
依题意，g(x2)=lnx−x22−12，
所以0所以f(x1)所以f(x)的极大值的取值范围是(−∞,−ln2−98)．
19.解：(1)设椭圆C的焦距为2c，
因为椭圆C的离心率为12，点P(0,1)，且△PF1F2为等腰直角三角形，
所以c=1ca=12a2=b2+c2，
解得a=2，b= 3，c=1，
则椭圆C的标准方程为x24+y23=1；
(2)易知F2(1,0)，直线PF2的斜率为−1，且|PF2|= 2，
设直线PF2的方程为y=−x+m，
联立y=−x+mx24+y23=1，消去y并整理得7x2−8mx+4m2−12=0，
令Δ=64m2−4×7×(4m2−12)=0，
解得m2=7，
当m= 7时，直线y=−x+ 7与直线PF2：y=−x+1的距离为 7−1 2，
所以△PF2Q的面积为12× 2× 7−1 2= 7−12，
当m=− 7时，直线y=−x− 7与直线PF2：y=−x+1的距离为 7+1 2，
所以△PF2Q的面积为12× 2× 7+1 2= 7+12，
因为 7+12> 7−12，
所以△PF2Q面积的最大值为 7+12；
(3)证明：易知直线l的斜率存在，
设直线l得方程为y=kx+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
易知cs∠PF2A=cs∠PF2B，
即F2P⋅F2A|F2P|⋅|F2A|=F2P⋅F2B|F2P|⋅|F2B|，
因为点A在椭圆C上，
所以x124+y123=1，
即y12=3−34x12，
所以|F2A|= (x1−1)2+y12= (x1−1)2+3−3x124=2−x12，
同理得|F2B|=2−x22，
又F2P=(−1,1),F2A=(x1−1,y1)，F2B=(x2−1,y2)，|PF2|= 2，
此时1−x1+y12−x12=1−x2+y22−x22，
即1−x1+kx1+t2−x12=1−x2+kx2+t2−x22，
整理得(4k+t−3)(x1−x2)=0，
易知x1−x2≠0，
所以4k+t−3=0，
解得t=3−4k，
所以直线l得方程为y=kx+3−4k=k(x−4)+3．
故直线l过定点(4,3)．体育运动时长小于1小时
体育运动时长大于或等于1小时
合计
近视
4
无近视
2
合计
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.82
体育运动时长小于1小时
体育运动时长大于或等于1小时
合计
近视
8
4
12
无近视
2
36
38
合计
10
40
50
X
0
1
2
3
P
155
1255
2855
1455

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