2023-2024学年河南省部分重点高中（金科未来）高二（下）质检数学试卷（5月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年河南省部分重点高中（金科未来）高二（下）质检数学试卷（5月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−4x+30，设函数f(x)=x2+ax+1,x≤0,ex−ax,x>0,若存在x0，使得f(x0)0)，点(−π3,0)，(π6,0)是曲线y=f(x)的两个相邻的对称中心，则( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)在区间[−π4,0]上的最大值为2
C. 直线x=−π12是曲线y=f(x)的一条对称轴
D. f(x)在区间(0,π)上有3个零点
10.设数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1=aan−2a，则下列结论正确的为( )
A. 若a=1，则{an}为等差数列
B. 若a=−1，则S2024=2024
C. 若a=1，则{Snn}是公差为−2的等差数列
D. 若a=−1，则a1a2024的最大值为1
11.已知抛物线C：y=4x2的焦点为F，A，B为C上的两点，过A，B作C的两条切线交于点P，设两条切线的斜率分别为k1，k2，直线AB的斜率为k3，则( )
A. C的准线方程为y=−1
B. k1，k3，k2成等差数列
C. 若P在C的准线上，则k1k2=−1
D. 若P在C的准线上，则|AF|+4|BF|的最小值为916
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(x2−2yx)5的展开式中，xy3的系数是______．
13.已知O为坐标原点，若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支上存在两点A，B，使得∠AOB=60°，则C的离心率的取值范围是______．
14.已知某圆锥内切球的半径为1，则该圆锥侧面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2．
(1)证明：数列{an+1}为等比数列；
(2)在ak与ak+1之间插入k个数，使得这k+2个数组成公差为3k20的等差数列，求k．
16.(本小题15分)
近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势.已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用分层随机抽样的方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据：
(1)请完成上表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？
(2)为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量X为体育运动时长小于1小时的人数，求X的分布列和数学期望，
附：
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，AA1= 2，AB⊥AC，D为A1C1的中点．
(1)证明：BC1⊥CD；
(2)设E为B1C1的中点，P在棱AA1上，满足PE⊥平面DBC，求PD与平面DBC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx+x22−ax．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)已知f(x)有两个极值点．
(ⅰ)求a的取值范围；
(ⅱ)若f(x)的极小值小于ln2−3，求f(x)的极大值的取值范围．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点P(0,1)，且△PF1F2为等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点Q为C上的一个动点，求△PF2Q面积的最大值；
(3)若直线l与C交于A，B两点，且∠PF2A=∠PF2B，证明：直线l过定点．
答案
1.B
2.A
3.B
4.C
5.A
6.D
7.C
8.D
9.ABC
10.ABD
11.BCD
12.−80
13.(2 33,+∞)
14.(3+2 2)π
15.(1)证明：∵an+1=3an+2，
∴an+1+1=3an+3=3(an+1)，即an+1+1an+1=3，
又∵a1+1=3≠0，
∴{an+1}是以3为首项，3为公比的等比数列；
(2)解：由(1)可得an+1=3n，
所以an=3n−1，
所以ak+1−ak=3k+1−3k=(k+1)3k20，
即3−1=2=k+120，
解得k=39．
16.解：(1)某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，
则列联表如下：
零假设H0：学生是否近视与体育运动时长无关，
χ2=50×(8×36−2×4)212×38×10×40=122557≈21.491>10.828，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，没有充分证据推断出H0成立，
因此可以认为H0不成立，即认为学生是否近视与体育运动时长有关；
(2)X的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C43C123=155，P(X=1)=C42C81C123=1255，
P(X=2)=C41C82C123=2855，
P(X=3)=1−P(X=0)−P(X=1)−P(X=2)=1455，
所以X的分布列为：
E(X)=0×155+1×1255+2×2855+3×1455=2．
17.(1)证明：连接AC1，因为CC1CA=DC1CC1，且∠DC1C=ACC1=90°，
所以△ACC1∽△CC1D，AC1⊥CD，
又在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB⊥平面AA1C1C，CD∈平面AA1C1C，
故AB⊥CD，又AB∩AC1=A，AB，AC1⊂平面ABC1，
所以CD⊥平面ABC1，又BC1⊂平面ABC1，故BC ​1⊥CD；
解：(2)如图所示，建立空间直角坐标系，

B(2,0,0)，E(1,1, 2)，C(0,2,0)，
B(2,0,0)，E(1,1, 2)，C(0,2,0)，D(0,1, 2)，BC=(−2,2,0)，CD=(0,−1, 2)，
设P(0,0,a)，PE=(1,1, 2−a)，
则由PE⋅BC=0,PE⋅CD=0,PE⋅CD=0，得−2+2+0=0，−1+ 2( 2−a)=0，
解得，a= 22，
所以平面DBC的一个法向量为PE=(1,1, 22)，
设PD与平面DBC所成角为θ，PD=(0,1, 22)，
则sinθ=|PD⋅PE||PD||PE|=32 3 2× 5 2= 155，
所以PD与平面DBC所成角的正弦值为 155．
18.解：(1)当a=1时，f(x)=lnx+x22−x，f′(x)=1x+x−1，
所以f(1)=−12，f′(1)=1，
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−(−12)=x−1，即y=x−32；
(2)(ⅰ)由题意可得，f′(x)=1x+x−a(x>0)，
因为f(x)有两个极值点，
所以f′(x)=1x+x−a=0有两个不同的零点，
即1x+x=a有两个不同的正实数根，
因为1x+x≥2，当且仅当x=1x，即x=1时取等号，
所以a>2；
(ⅱ)由(ⅰ)可知，1x+x=a有两个不同的正实数根x1，x2，不妨设0