2020-2021学年山西省临汾市高二（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山西省临汾市高二（下）期中考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合M=0,1,2，N=x|x<2，则M∪N=( )
A.x|x≤2B.x|x<2C.0,1D.0

2. 已知复数z=1+2i2+i，则|z|=( )
A.5B.25C.5D.1

3. 若双曲线x2−y2m2=1m>0的离心率为4，则m=( )
A.3B.15C.4D.17

4. 乘客小王下午要到南宁火车站乘坐车次为D3570的动车，该动车在16:22准时到达，16:41准时出发．小王上午已在网上购买该车次的火车票，但由于临时有事，他只可能在16:20到16:50中的一个时刻到达该动车的站台，则小王能赶上这个车次的动车的概率为( )
A.35B.1930C.710D.45

5. 已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是( )
A.2πB.4πC.8πD.12π

6. 在等比数列an中，a2a6+a5a11=16，则a3a9的最大值是（ ）
A.4B.8C.16D.32

7. 已知实数x，y满足x+y=2，则下列结论的证明更适合用反证法的是( )
A.证明xy≤1B.证明x2+y2≥2
C.证明x，y中至少有一个不大于1D.证明x，y可能都是奇数

8. 若函数fx=sinωx−π6的图象关于直线x=π3对称，则fx的最小正周期( )
A.存在最小值，且最小值为π
B.存在最小值，且最小值为2π
C.存在最大值，且最大值为π
D.存在最大值，且最大值为2π

9. 已知F1，F2是椭圆C：x24+y22=1的两个焦点，椭圆C上的两点D，E满足DF1//EF2，DF2⊥EF2，则|DF2||EF2|=( )
A.53B.52C.3D.2

10. 已知变量y与x的一组数据如下表所示，根据数据得到y关于x的回归方程为y=ebx−1 .
若y=e13，则x=( )
A.6B.7C.8D.9

11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则此数列的前37项和为( )

A.1040B.1004C.1024D.1014

12. 设曲线y=x3−kx在x=k处切线的斜率为fk，则( )
A.flg52B.flg213C.flg213D.flg94二、填空题

已知向量a→=1,k，b→=−2,14，且a→与b→共线，则k=________.

每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检________家.

已知三棱柱ABC−A1B1C1的顶点都在球O的球面上，且所有棱长都为23，则球O的表面积为________.

已知函数fx为R上的奇函数，且f−x=f2+x，当x∈0,1时，fx=2x+a2x，则f101+f105的值为________.
三、解答题

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，现用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)判断是否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.

如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD．

(1)求证：AC⊥平面PBD；

(2)若PD=2，直线PB与平面ABCD所成的角为45∘，求四棱锥P−ABCD的体积．

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcsA=2c−a．
(1)求角B；

(2)若a=4，b=27，求边BC上的中线AD的长．

已知不等式|2x+1|−|x|≤13x+5的解集为M．
(1)求 M；

(2)设m是M中元素的最大值，正数a，b，c满足a+b+c=m，证明：14a+1+14b+1+14c+1≥97．

已知抛物线C：x2=2pyp>0的焦点为F，点P为抛物线C上一点，点P到F的距离比点P到x轴的距离大1．过点P作抛物线C的切线，设其斜率为k0．
(1)求抛物线C的方程．

(2)直线l：y=kx+b与抛物线C相交于不同的两点A，B（异于点P），若直线AP与直线BP的斜率互为相反数，证明：k+k0=0．

已知函数fx=ax−lnx．
(1)讨论fx的单调性；

(2)证明：当a>1时，fx+ax+1x>3恒成立．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山西省临汾市高二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
并集及其运算
【解析】
暂无
【解答】
解：因为M={0,1,2}， N=x|x<2}，
所以M∪N=x|x≤2.
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】

【解答】
解：因为z=1+2i2+i=(1+2i)(2−i)(2+i)(2−i)=45+35i，
所以|z|=1 .
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
暂无
【解答】
解：因为a2=1，c2=1+m2，
所以e2=c2a2=1+m2=42，
又m>0，所以m=15.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】

【解答】
解：根据题意，小王在16:20到16:41中的任意时刻到达站台方可赶上动车，
故所求概率为41−2050−20=710．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
设该圆柱的高为ℎ，底面圆的半径为r，则ℎ=2r,2πr=4π，从而r=1,ℎ=2，故该圆柱的体积是πr2ℎ=2π .
【解答】
解：设该圆柱的高为ℎ，底面圆的半径为r，则ℎ=2r，2πrℎ=4π，
解得r=1，ℎ=2，
故该圆柱的体积是πr2ℎ=2π .
故选A .
6.
【答案】
B
【考点】
等比数列的性质
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由等比数列的性质可得a2a6+a5a11=a42+a82=16，则a3a9=a4a8≤a42+a822=8．
故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
反证法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：xy≤1与x2+y2≥2的证明更适合用综合法；
证明x，y可能都是奇数只要举例说明即可；
“x，y中至少有一个不大于1”的证明更适合用反证法.
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
三角函数的周期性及其求法
正弦函数的对称性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=sinωx−π6的图象关于直线x=π3对称，
所以ωπ3−π6=π2+kπk∈Z，即ω=2+3k(k∈Z)，
故T=2π|ω|≤2π|2−3|=2π，
即fx的最小正周期存在最大值，且最大值为2π．
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义
椭圆中的平面几何问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设|DF2|=x，根据椭圆的定义有|DF1|+|DF2|=2a=4，
所以|DF1|=4−x.
由DF1//EF2，DF2⊥EF2可得DF2⊥DF1，
所以x2+4−x2=2c2=8，解得x=2，
所以|DF1|=|DF2|=2，
则点D与椭圆C的上顶点重合，
所以∠DF2F1=π4，∠EF2F1=π4+π2=3π4.
设|EF2|=y，
则4−y2=y2+8−2y×22×cs3π4，
解得y=23，
故|DF2||EF2|=3.
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
。
【解答】
解：由y=ebx−1，得lny=bx−1，
令z=lny，则z=bx−1，
由题意，x¯=1+2+3+44=2.5，
z¯=2+3+5+64=4，
∵ (x¯,z¯)满足z=bx−1，
∴ 4=b×2.5−1，
解得b=2，
∴ z=2x−1，
∴ y=e2x−1，
令e2x−1=e13，
则2x−1=13，
解得x=7.
故选B.
11.
【答案】
D
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
数列的应用
【解析】

【解答】
解：没有去掉“1”之前，第1行的和为20，第2行的和为21，第3行的和为22，
以此类推，
即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则前n项和为Sn=1−2n1−2=2n−1，
每一行的个数为1，2，3，4．⋯，
可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则前n项总个数为Tn=n(n+1)2，
当n=10时，T10=55，
去掉两端$``1"$，可得55−19=36，
则去掉两端“1”后此数列前36项和为S10−19=210−1−19=1004，
所以第37项为第11行去掉“1”后的第一个数，
第一个数为10，
所以该数列的前37项和为1004+10=1014.
故选D.
12.
【答案】
A
【考点】
对数值大小的比较
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
暂无
【解答】
解：y′=3x2−k，依题意可得fk=3k2−k=3k−162−112，
因为lg213=−lg23<−1，1>lg94=lg32>lg52>16，
所以|lg213−16|>|lg94−16|>|lg52−16|，
从而flg52故选A.
二、填空题
【答案】
−7
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→=1,k，b→=−2,14，且a→与b→共线，
∴ 1×14=−2k，
解得k=−7.
故答案为：−7.
【答案】
20
【考点】
分层抽样方法
【解析】
暂无
【解答】
解：粮食加工品店需要被抽检10020+100+15×27=20家.
故答案为：20.
【答案】
28π
【考点】
球的表面积和体积
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，
设三棱柱的两个底面三角形的中心分别为O1，O2，
则球心O为O1O2的中点，而三棱柱的底面△ABC的中心O2到顶点A的距离为2，
设球O的半径为R，由勾股定理可得OA2=OO22+O2A2，
即R2=2322+22=7，故球O的表面积为4πR2=28π.
故答案为：28π.
【答案】
3
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的周期性
函数的求值
【解析】
暂无
【解答】
解：因为fx为R上的奇函数，
所以f0=1+a=0，所以a=−1，
所以fx=2x−12x0≤x≤1，
则f1=32.
又因为fx为奇函数，
所以f−x=f2+x=−fx，
则fx+4=fx，
所以fx的周期为4，
所以f101+f105=2f1=32×2=3.
故答案为：3.
三、解答题
【答案】
解：(1)调查的500名老年人中有80位需要志愿者提供帮助，
因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为：
80500×100%=16%.
(2)K2=500×45×265−35×155280×300×200×420≈10.479，
因为10.479>6.635，
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
【考点】
用样本的数字特征估计总体的数字特征
独立性检验的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)调查的500名老年人中有80位需要志愿者提供帮助，
因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为：
80500×100%=16%.
(2)K2=500×45×265−35×155280×300×200×420≈10.479，
因为10.479>6.635，
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
【答案】
(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC.
又PD∩BD=D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
故AC⊥平面PBD；
(2)解：因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，
于是∠PBD=45∘，
因此BD=PD=2.
又AB=AD=2，
所以菱形ABCD的面积为S=AB⋅AD⋅sin60∘=23，
故四棱锥P−ABCD的体积V=13S⋅PD=433.
【考点】
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC.
又PD∩BD=D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
故AC⊥平面PBD；
(2)解：因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，
于是∠PBD=45∘，
因此BD=PD=2.
又AB=AD=2，
所以菱形ABCD的面积为S=AB⋅AD⋅sin60∘=23，
故四棱锥P−ABCD的体积V=13S⋅PD=433.
【答案】
解：(1)因为2bcsA=2c−a，
所以2b×b2+c2−a22bc=2c−a，
即a2+c2−b2=ac．
由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=12．
因为0所以B=π3．
(2)由(1)可知B=π3．
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，
则28=16+c2−4c，
解得c=6(负值舍去)．
在△ABD中，AB=6，BD=12BC=2，∠ABD=π3，
由余弦定理得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcs∠ABD
=36+4−2×6×2×12=28，
所以AD=27．
【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为2bcsA=2c−a，
所以2b×b2+c2−a22bc=2c−a，
即a2+c2−b2=ac．
由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=12．
因为0所以B=π3．
(2)由(1)可知B=π3．
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，
则28=16+c2−4c，
解得c=6(负值舍去)．
在△ABD中，AB=6，BD=12BC=2，∠ABD=π3，
由余弦定理得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcs∠ABD
=36+4−2×6×2×12=28，
所以AD=27．
【答案】
(1)解：当x<−12时，−2x−1+x≤13x+5，
解得x≥−2，则−2≤x<−12；
当−12≤x<0时，2x+1+x≤13x+5，
解得x≤14，
则−12≤x<0；
当 x≥0时，2x+1−x≤13x+5，
解得 x≤1，则0≤x≤1．
综上所述，M=[−2，1]．
(2)证明：由(1)可知m=1，
因为a+b+c=1，
所以14a+1+14b+1+14c+1
=174a+1+4b+1+4c+1×
14a+1+14b+1+14c+1
=17[1+1+1+4b+14a+1+4a+14b+1+
4c+14a+1+4a+14c+1+4c+14b+1+4b+14c+1]
≥173+2+2+2=97（当且仅当a=b=c=13时取等号）．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：当x<−12时，−2x−1+x≤13x+5，
解得x≥−2，则−2≤x<−12；
当−12≤x<0时，2x+1+x≤13x+5，
解得x≤14，
则−12≤x<0；
当 x≥0时，2x+1−x≤13x+5，
解得 x≤1，则0≤x≤1．
综上所述，M=[−2，1]．
(2)证明：由(1)可知m=1，
因为a+b+c=1，
所以14a+1+14b+1+14c+1
=174a+1+4b+1+4c+1×
14a+1+14b+1+14c+1
=17[1+1+1+4b+14a+1+4a+14b+1+
4c+14a+1+4a+14c+1+4c+14b+1+4b+14c+1]
≥173+2+2+2=97（当且仅当a=b=c=13时取等号）．
【答案】
(1)解：设点Px0,y0，
由点P到F的距离比点P到x轴的距离大1，
可得|PF|=y0+1，
即y0+p2=y0+1，
所以p=2，
即抛物线C的方程为x2=4y．
(2)证明：设Ax1,y1，Bx2,y2，
直线AP的斜率为kAP，直线BP的斜率为kBP，
则kAP=y1−y0x1−x0x1≠x0，kBP=y2−y0x2−x0x2≠x0．
因为直线AP与直线BP的斜率互为相反数，
所以kAP=−kBP，
即y1−y0x1−x0=−y2−y0x2−x．
又点Ax1,y1，Bx2,y2均在抛物线上，
可得x124−x024x1−x0=−x224−x024x2−x0，
化简可得x1+x2=−2x0．
因为x12=4y1，x22=4y2，
所以x12−x22=4y1−y2，
即y1−y2x1−x2=x1+x24，
故k=y1−y2x1−x2=−x02．
因为x2=4y，
所以y=14x2，
所以y′=12x，
则k0=12x0．
故k+k0=0．
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：设点Px0,y0，
由点P到F的距离比点P到x轴的距离大1，
可得|PF|=y0+1，
即y0+p2=y0+1，
所以p=2，
即抛物线C的方程为x2=4y．
(2)证明：设Ax1,y1，Bx2,y2，
直线AP的斜率为kAP，直线BP的斜率为kBP，
则kAP=y1−y0x1−x0x1≠x0，kBP=y2−y0x2−x0x2≠x0．
因为直线AP与直线BP的斜率互为相反数，
所以kAP=−kBP，
即y1−y0x1−x0=−y2−y0x2−x．
又点Ax1,y1，Bx2,y2均在抛物线上，
可得x124−x024x1−x0=−x224−x024x2−x0，
化简可得x1+x2=−2x0．
因为x12=4y1，x22=4y2，
所以x12−x22=4y1−y2，
即y1−y2x1−x2=x1+x24，
故k=y1−y2x1−x2=−x02．
因为x2=4y，
所以y=14x2，
所以y′=12x，
则k0=12x0．
故k+k0=0．
【答案】
(1)解：因为fx=ax−lnxx>0，所以f′x=a−1x=ax−1x．
当a≤0时，f′x<0在区间0,+∞上恒成立．
当a>0时，x∈0,1a时，f′x<0；
x∈1a,+∞时，f′x>0．
综上所述，当a≤0时，fx的单调递减区间为0,+∞；
当a>0时，fx的单调递减区间为0,1a，单调递增区间为1a,+∞．
(2)证明：因为a>1，所以ax+1x=ax+1x≥2a，
当且仅当ax=1x，即x=1a时取等号．
由(1)可知fxmin=f1a=1+lna，
所以fx+ax+1x≥lna+2a+1．
令函数gx=lnx+2x+1x>1，易知gx是定义域内的增函数，
则gx>g1=3 ．
故fx+ax+1x>3．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：因为fx=ax−lnxx>0，所以f′x=a−1x=ax−1x．
当a≤0时，f′x<0在区间0,+∞上恒成立．
当a>0时，x∈0,1a时，f′x<0；
x∈1a,+∞时，f′x>0．
综上所述，当a≤0时，fx的单调递减区间为0,+∞；
当a>0时，fx的单调递减区间为0,1a，单调递增区间为1a,+∞．
(2)证明：因为a>1，所以ax+1x=ax+1x≥2a，
当且仅当ax=1x，即x=1a时取等号．
由(1)可知fxmin=f1a=1+lna，
所以fx+ax+1x≥lna+2a+1．
令函数gx=lnx+2x+1x>1，易知gx是定义域内的增函数，
则gx>g1=3 ．
故fx+ax+1x>3．x
1
2
3
4
y
e2
e3
e5
e6
男
女
需要
45
35
不需要
155
265
PK2≥K0
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828