2022-2023学年四川省成都市蓉城名校高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省成都市蓉城名校高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  成都大运会某志愿者服务小队由四川大学名学生和电子科技大学名学生组成，现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取名学生进行应急知识检测，则从四川大学学生中抽取的人数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设，，则“”是“”的(    )

A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  已知等边三角形的边长为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知函数在点处的切线方程为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知正实数，，满足，则下列不等式中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，满足约束条件则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  在三棱锥中，底面，，，，若三棱锥外接球的表面积为，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，，的离心率分别为，，且在第一象限相交于点，则下列说法中错误的是(    )
若，则；
若，则的值为；
的面积；
若，则当时，取得最小值．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若复数满足，则 ______ ．

14.  函数的单调递减区间为______ ．

15.  已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行，则所有可能取的值之和为______ ．

16.  已知和是函数的两个不相等的零点，则的范围是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
设，是函数的两个极值点，且．
求的值；
求在区间上的值域．

18.  本小题分
第届世界大学生夏季运动会将于年月日月日在成都市举行，全民运动成为新风尚某体育用品店统计了年月份运动器材销量单位：千套与售价单位：元的情况，如表所示：

请建立关于的线性回归方程精确到，并估计当该器材的售价为元时销量为多少千套？
为了解顾客对器材的使用满意度情况，该店拟从名男顾客和名女顾客中随机抽取人进行调研回访，求选中的两位顾客为男女各人的概率．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，若，．
证明：平面平面；
若，分别是，的中点，动点在线段上移动，设为直线与平面所成角，求的取值范围．

20.  本小题分
已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为，上顶点为，的面积为，离心率．
求椭圆的方程；
若斜率为的直线与圆相切，且与椭圆相交于，两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围．

21.  本小题分
已知函数，，．
当时，证明：时，恒成立；
若在处的切线与垂直，求函数在区间上的值域；
令，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．

22.  本小题分
在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数，直线的参数方程为为参数．
以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
若点，直线与圆相交于，两点，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
可根据分式不等式的解法求出集合，根据对数函数的定义域求出集合，然后进行交集的运算即可．
本题考查了分式不等式的解法，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：都大运会某志愿者服务小队由四川大学名学生和电子科技大学名学生组成，
则四川大学和电子科技大学学生人数之比为：：，
现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取名学生进行应急知识检测，
故从四川大学学生中抽取的人数为．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由可得，
或，“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
可得，由此可判断．
本题考查充分必要条件，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解法一：．
解法二：等边三角形的边长为，
．
故选：．
由平面向量的线性运算和数量积运算计算可得．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
又，函数在点处的切线方程为，
函数在点处的切线方程为，
的值为．
故选：．
利用导数求出函数在点处的切线方程，结合已知可得的值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于，，当且仅当时取等号，选项A正确，
对于，，
，即，当且仅当时取等号，选项B正确，
对于，，，
则，
，选项C正确，
对于，，
则，当且仅当时取等号，选项D错误．
故选：．
用基本不等式逐项进行验证即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：作出可行域如下图阴影部分所示，

表示到原点距离的平方，
由图象可知，的最大值为．
故选：．
作出可行域，结合图象即可得到答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
故选：．
由已知函数解析式先求出，进而可求．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，函数图象关于轴对称，即函数为偶函数，排除、，
选项C：由可得，
当或时，，函数单调递增，当或时，，函数单调递减，
易得函数的极小值点为和，与图象不符，排除．
故选：．
由已知结合函数的奇偶性及极值点检验选项即可判断．
本题主要考查了由函数图象检验函数的解析式，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：依题意，有两个不相等的实数解，
即，的图象有两个交点，
易知是以为圆心，为半径的上半圆除去点、原点，
是过定点的直线，

由图可知，当直线在和之间时符合要求，
当直线为时，，
当直线为时，由点到直线的距离等于半径可得正值舍去，
实数的取值范围是．
故选：．
将问题转化为，的图象有两个交点，作出两个函数的图象，结合图象即可得出答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：底面，底面，
，又，，
面，是和的公共斜边，
是三棱锥的外接球直径，由，
设，则，
则，．
故选：．
由已知可得是三棱锥的外接球直径，可得，设，进而可得，进而可求．
本题考查空间几何体的外接球问题，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由椭圆的性质可得，由双曲线的性质可得，
，，，
即，，故正确；
椭圆与双曲线有公共焦点，，
，在第一象限，且，，
，
即，即，故错误；
设椭圆的焦距为，，，则，，
解得，，
，即，，
，，
，故正确；
设椭圆的焦距为，由在椭圆上可得，由在双曲线上可得，
解得，，
在中，根据余弦定理可得：，
整理得，即，
，
当且仅当时取等号，故错误．
故选：．
利用双曲线与椭圆的几何性质，结合每项的条件计算可判断其正确性．
本题考查椭圆与双曲线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：复数满足，
则，
故，，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
令，
则单调递减区间为．
故答案为：．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由离心率为，可得，
则：的渐近线为，
则可能取的值为，和为．
故答案为：．
由双曲线的离心率可求得，进而可得渐近线方程，可求的值．
本题考查双曲线的性质，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：和是函数两个不相等的零点，
不妨设，，，
两式相减得，
令，，
，
解得，，
，
令，，，
令，，
恒成立，
在是单调递增，
，
恒成立，
在是单调递增，，恒成立，
，
．
故答案为：．
由和是函数两个不相等的零点，不妨设，，，两式相减得，令，分别解出，，都用表示，通过转化、构造函数，利用导数研究函数的单调性与极值即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、换元法、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

17.【答案】解：，
，
，是函数的两个极值点，
，是方程的两个实数根，
，，
，解得．
，
列表如下：

在区间上的最大值为，最小值为，
在区间上的值域为． 

【解析】利用导数的运算法则可得，根据，是函数的两个极值点，利用根与系数的关系及已知，即可得出．
利用导数研究函数的单调性与极值及区间函数值即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：，，
，，
则，
，
关于的线性回归方程为：．
当时，．
估计当该器材的售价为元时销量为千套；
设男顾客为、、，女顾客为、，则可能的组合有：
，，，，，，，，，共种情形．
其中一男一女的有，，，，，共种情形．
故选中的两位顾客为男女各人的概率为． 

【解析】由已知求解与的值，可得关于的线性回归方程，取求解值得结论；
利用枚举法列出从名男顾客和名女顾客中随机抽取人的所有情形，得到男女顾客各一人的情形，再由古典概型的概率公式求解．
本题考查线性回归方程与随机事件的概率，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】证明：在中，，，
为直角三角形且，
又底面是矩形，则，
，且均含于面内，平面，
又平面，平面平面；
解：在平面内，取中点为，过点作，交于点，
，，
由题意可得平面，且，平面，
则，，直线，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
设，
则，
又，
则，
，
与平面所成角的正弦值的取值范围为． 

【解析】由，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面；
根据题意得到直线，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，结合题意设，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式得到，然后利用二次函数的图象和性质即可求解．
本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可知：，可得，，
椭圆的方程为：；
设直线的方程为，，，
由，得，
联立，得，
恒成立，
则，
所以，
，
的取值范围为，
则，解得，
，
，
，
则，
的取值范围为．
 

【解析】根据题意求出，，，即可得解；
设直线的方程为，，，根据直线与圆相切求出，的关系，联立方程，利用韦达定理求出，，再根据的取值范围求出的范围，从而可得出答案．
本题考查直线与椭圆的综合问题，属于中档题．
 

21.【答案】解：证明：已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
所以函数在单调递增，
此时，
故时，恒成立；
已知，函数定义域为，
可得，
若在处的切线与垂直，
此时，
解得，
所以，
当时，
解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，，
因为，
所以函数在区间上的值域为；
因为有两个不同的零点，则不可能为，
而，函数定义域为，
此时，
整理得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
又，
所以当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
所以，
当时，，当时，，
要使有两个不等的实数根，
则，
解得，
故的取值范围是． 

【解析】由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求证；
对函数进行求导，得到，根据在处的切线与垂直，列出等式求出的值，代入导函数中得到函数的单调性，结合端点值即可得到值域范围；
因为有两个不同的零点，则不可能为，整理得，构造函数，构造函数，对函数进行求导，利用导数的几何意义反推出函数的单调性和最值，进而即可求证．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及不等式恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
 

22.【答案】解：由圆的参数方程为参数得：
，
根据，
则圆的极坐标方程为：，即．
把直线的参数方程代入圆的方程，
得，
设，两点对应的参数分别为，，． 

【解析】把参数方程化为普通方程，然后利用极坐标与直角坐标的互化，化简求解即可．
利用参数的几何意义，转化求解即可．
本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，考查最值思想以及计算能力，是中档题．