江苏省苏州市昆山市秀峰中学2023-2024学年七年级下学期第二次月考数学试卷

这是一份江苏省苏州市昆山市秀峰中学2023-2024学年七年级下学期第二次月考数学试卷，共22页。

1．（3分）化简m2•（﹣m）3的结果是（ ）
A．m5B．﹣m5C．m6D．﹣m6
2．（3分）“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（ ）
A．4×10﹣11B．4×10﹣10C．4×10﹣9D．0.4×10﹣9
3．（3分）若不等式（a﹣2）x＜a﹣2的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0B．a＞2C．a≠2D．a＜2
4．（3分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEC的是（ ）
A．∠ECB＝∠DCAB．BC＝ECC．∠A＝∠DD．AC＝DC
5．（3分）已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有x升，薄酒有y升，根据题意列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）将一副直角三角板作如图所示摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，AB∥CD，则下列结论不正确的是（ ）
A．GE∥MPB．∠BEF＝75°C．∠EFN＝145°D．∠AEG＝∠PMN
8．（3分）如图，已知线段AB＝30米，射线AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于B，M点从B点向M运动，每秒走1米，N点从B点向D运动，每秒走4米，M、N同时从B出发，若射线AC上有一点P，使得△PAM和△MBN全等，则线段AP的长度为（ ）米．
A．6或60B．60C．24或60D．6
二.填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）已知x2﹣mx+16是完全平方式，则m的值是 ．
10．（3分）用“如果…那么…”形式将命题“对顶角相等”可以改写成 ．
11．（3分）计算＝ ．
12．（3分）若2x﹣y＝3，xy＝3，则4x2+y2＝ ．
13．（3分）如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝ cm．
14．（3分）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝321°，O是五边形内部一点，连结OC，OD，若，则∠COD的度数为 °．
15．（3分）若关于x的不等式组有解，且关于x的方程kx＝2（x﹣2）﹣（3x+2）有非负整数解，则符合条件的所有整数k的和为 ．
16．（3分）如图，在同一平面内，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，连接AD，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为CD延长线上一点，连接AF，∠BAF＝∠EDF，下列结论：①∠BAD＝∠ADF；②AF∥ED；③∠ADC＝2∠F；④∠CED+∠ADC＝90°；⑤若∠ADE＝∠BAD，则∠AFD+∠BED＝160°，正确的有 ．
三.解答题（共11小题，共82分）
17．（6分）计算：
（1）（﹣）﹣2﹣（3.14﹣π）0+|﹣3|；
（2）（x+y）2﹣x（2y﹣x）．
18．（6分）分解因式：
（1）3a（x﹣y）﹣3b（x﹣y）；
（2）﹣m3+6m2﹣9m．
19．（6分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
20．（6分）先化简再求值；（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2，其中a＝﹣，b＝﹣2．
21．（6分）解不等式组，并写出满足条件的正整数解．
22．（8分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，OA＝OD，AC∥FD，BF＝CE，AD交BE于点O．求证：AB∥DE．
23．（8分）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：
＝
＝
＝（x+10）（x﹣1）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法及平方差公式把多项式x2﹣7x+12进行分解因式；
（2）用多项式的配方法将x2+6x﹣9化成a（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
24．（8分）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，下表是近两个月的销售情况：
（1）求A，B两种材质的围棋每套的售价；
（2）若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5760元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？
（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1030元的目标？请说明理由．
25．（8分）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；
（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求k的取值范围；
（3）若k≤1，设m＝2x﹣3y，且m为正整数，求m的值．
26．（10分）如图所示，BD、CE是△ABC高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．
（1）判断：∠1 ∠2（用“＞”、“＜”、“＝”填空）；
（2）探究：PA与AQ之间的关系；
（3）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，试探究PA与AQ之间的关系，请画出图形并直接写出结论．
27．（10分）在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝ 度；
（2）设直线BE与直线AM的交点为O．
①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；
②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一.选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）化简m2•（﹣m）3的结果是（ ）
A．m5B．﹣m5C．m6D．﹣m6
【解答】解：原式＝﹣m2•m3＝﹣m5．
故选：B．
2．（3分）“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（ ）
A．4×10﹣11B．4×10﹣10C．4×10﹣9D．0.4×10﹣9
【解答】解：0.0000000004＝4×10﹣10．
故选：B．
3．（3分）若不等式（a﹣2）x＜a﹣2的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0B．a＞2C．a≠2D．a＜2
【解答】解：∵x＞1，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2，
故选：D．
4．（3分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEC的是（ ）
A．∠ECB＝∠DCAB．BC＝ECC．∠A＝∠DD．AC＝DC
【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠E，
∴当添加∠ECB＝∠DCA，则∠ACB＝∠DCE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△DEC；
当添加BC＝EC，则可根据“SAS”判断△ABC≌△DEC；
当添加∠A＝∠D，则可根据“ASA”判断△ABC≌△DEC．
故选：D．
5．（3分）已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：解方程组得，
把代入得，
解得．
故选：C．
6．（3分）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有x升，薄酒有y升，根据题意列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵好酒和薄酒一共饮了17升，
∴x+y＝17；
∵好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，且共醉了19位客人，
∴3x+y＝19．
∴根据题意可列方程组．
故选：A．
7．（3分）将一副直角三角板作如图所示摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，AB∥CD，则下列结论不正确的是（ ）
A．GE∥MPB．∠BEF＝75°C．∠EFN＝145°D．∠AEG＝∠PMN
【解答】解：∵∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°，
∴GE∥MP，故A选项不符合题意；
∵∠EFG＝30°，
∴∠EFN＝180°﹣30°＝150°，故C选项符合题意；
过点F作FH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠HFN＝∠MNP＝45°，
∴∠EFH＝150°﹣45°＝105°，
∵FH∥AB，
∴∠BEF＝180°﹣105°＝75°；故B选项不符合题意；
∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，
∴∠AEG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∴∠AEG＝∠PMN＝45°，故D选项不符合题意．
故选：C．
8．（3分）如图，已知线段AB＝30米，射线AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于B，M点从B点向M运动，每秒走1米，N点从B点向D运动，每秒走4米，M、N同时从B出发，若射线AC上有一点P，使得△PAM和△MBN全等，则线段AP的长度为（ ）米．
A．6或60B．60C．24或60D．6
【解答】解：当△AMP≌△BNM时，AM＝BN，即30﹣x＝4x，
解得：x＝6，
∴AP＝BM＝6（米），
当△AMP≌△BMN时，AM＝BM＝AB＝15米，
此时所用时间为15秒，AP＝BN＝15×4＝60（米）；
故选：A．
二.填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）已知x2﹣mx+16是完全平方式，则m的值是 ±8 ．
【解答】解：∵x2﹣mx+16是一个完全平方式，
∴x2﹣mx+16＝（x±4）2，
∴x2﹣mx+16＝x2±8x+16，
∴m＝±8．
故答案为：±8．
10．（3分）用“如果…那么…”形式将命题“对顶角相等”可以改写成 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【解答】解：将命题“对顶角相等”写成“如果，那么”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
11．（3分）计算＝ ﹣2 ．
【解答】解：
＝（﹣）2023×（﹣2）2023×（﹣2）
＝[（﹣）×（﹣2）]2023×（﹣2）
＝12023×（﹣2）
＝1×（﹣2）
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（3分）若2x﹣y＝3，xy＝3，则4x2+y2＝ 21 ．
【解答】解：∵2x﹣y＝3，
∴（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2＝9，
∵xy＝3；
∴y2+4x2＝9+4xy＝9+12＝21；
故答案为：21．
13．（3分）如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝ 13 cm．
【解答】解：∵AE＝BE，DE是AB的垂线，
∴AD＝BD，∠ADE＝∠BDE＝90°，
在△ADF和△BDF中，
，
∴△ADF≌△BDF（SAS），
∴AF＝BF，
∴AC＝AF+CF＝BF+CF，
∵BF＝10cm，CF＝3cm，
∴AC＝13cm，
故答案为：13．
14．（3分）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝321°，O是五边形内部一点，连结OC，OD，若，则∠COD的度数为 107 °．
【解答】解：∵，
∴可设∠BCO＝2α，∠DCO＝α，∠EDO＝2β，∠CDO＝β，
∴∠BCD＝∠BCO+∠DCO＝3α，∠EDC＝∠EDO+∠CDO＝3β，
∵∠A+∠B+∠E+∠BCD+∠EDC＝（5﹣2）×180°，∠A+∠B+∠E＝321°，
∴321°+3α+3β＝540°，
∴α+β＝73°，
∵∠COD+∠DCO+∠CDO＝180°，
∴∠COD+α+β＝180°，
∴∠COD＝180°﹣（α+β）＝180°﹣73°＝107°．
故答案为：107．
15．（3分）若关于x的不等式组有解，且关于x的方程kx＝2（x﹣2）﹣（3x+2）有非负整数解，则符合条件的所有整数k的和为 ﹣5 ．
【解答】解：，
解①得：x≥4k+1，
解②得：x＜5k+5，
关于x的不等式组有解，
∴5k+5＞4k+1，
∴k＞﹣4，
解关于x的方程kx＝2（x﹣2）﹣（3x+2）得，x＝﹣，
因为关于x的方程kx＝2（x﹣2）﹣（3x+2）有非负整数解，
当k＝﹣3时，x＝3
当k＝﹣2时，x＝6，
∴﹣2﹣3＝﹣5；
故答案为：﹣5．
16．（3分）如图，在同一平面内，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，连接AD，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为CD延长线上一点，连接AF，∠BAF＝∠EDF，下列结论：①∠BAD＝∠ADF；②AF∥ED；③∠ADC＝2∠F；④∠CED+∠ADC＝90°；⑤若∠ADE＝∠BAD，则∠AFD+∠BED＝160°，正确的有 ①②③④ ．
【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADF，
故①正确，符合题意；
∵∠BAF＝∠EDF，∠BAD＝∠ADF，
∴∠EDA＝∠DAF，
∴AF∥ED，
故②正确，符合题意；
∵AF∥ED，
∴∠CDE＝∠F，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F，
∵∠EDA＝∠DAF，
∴∠F＝∠DAF，
∴∠ADC＝∠F+∠DAF＝2∠F，
故③正确，符合题意；
∵DC⊥BC，
∴∠CED+∠CDE＝90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADC，
∴∠CED+∠ADC＝90°，
故④正确，符合题意；
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠BAD+∠CDA＝180°，
∵∠ADE＝∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝∠BAD，
∴∠BAD+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝108°，
∴∠ADC＝72°，
∵∠ADC＝2∠F＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠F＝36°，
∴∠BED＝360°﹣90°﹣108°﹣36°＝126°，
∴∠AFD+∠BED＝162°，
故⑤错误，不符合题意；
故答案为：①②③④．
三.解答题（共11小题，共82分）
17．（6分）计算：
（1）（﹣）﹣2﹣（3.14﹣π）0+|﹣3|；
（2）（x+y）2﹣x（2y﹣x）．
【解答】解：（1）原式＝4﹣1+3
＝6；
（2）原式＝x2+2xy+y2﹣2xy+x2
＝2x2+y2．
18．（6分）分解因式：
（1）3a（x﹣y）﹣3b（x﹣y）；
（2）﹣m3+6m2﹣9m．
【解答】解：（1）原式＝3（x﹣y）（a﹣b）；
（2）原式＝﹣m（m2﹣6m+9）
＝﹣m（m﹣3）2．
19．（6分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
由②，可得：y＝3x﹣7③，
③代入①，可得：4x﹣3（3x﹣7）＝6，
解得x＝3，
把x＝3代入③，解得y＝2，
∴原方程组的解是．
（2）原方程组可化为：，
①+②，可得6x＝18，
解得x＝3，
把x＝3代入①，解得y＝，
∴原方程组的解是．
20．（6分）先化简再求值；（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2，其中a＝﹣，b＝﹣2．
【解答】解：原式＝9a2+6ab+b2﹣（9a2﹣b2）﹣6b2
＝9a2+6ab+b2﹣9a2+b2﹣6b2
＝6ab﹣4b2，
当a＝﹣，b＝﹣2时，原式＝6×（﹣）×（﹣2）﹣4×（﹣2）2＝4﹣16＝﹣12．
21．（6分）解不等式组，并写出满足条件的正整数解．
【解答】解：解不等式1﹣x＜2（x+3），得：x＞﹣1，
解不等式≥x+，得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
则不等式组的正整数解为1，2．
22．（8分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，OA＝OD，AC∥FD，BF＝CE，AD交BE于点O．求证：AB∥DE．
【解答】证明：∵AC∥FD，
∴∠CAO＝∠FDO，
在△ACO与△DFO中，
，
∴△ACO≌△DFO（ASA）；
∴OF＝OC，
∵BF＝CE，
∴BO＝EO，
在△ABO与△DEO中，
，
∴△ABO≌△DEO（SAS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE．
23．（8分）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：
＝
＝
＝（x+10）（x﹣1）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法及平方差公式把多项式x2﹣7x+12进行分解因式；
（2）用多项式的配方法将x2+6x﹣9化成a（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝x2﹣7x+﹣+12＝（x﹣）2﹣＝（x﹣+）（x﹣﹣）＝（x﹣3）（x﹣4）；
（2）x2+6x﹣9＝x2+6x+9﹣18＝（x+3）2﹣18≥﹣18，即多项式的最小值为﹣18；
（3）x2+y2﹣4x+2y+6＝（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1＞0，
则x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
24．（8分）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，下表是近两个月的销售情况：
（1）求A，B两种材质的围棋每套的售价；
（2）若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5760元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？
（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1030元的目标？请说明理由．
【解答】解：（1）设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元；
（2）设采购m套A种材质的围棋，则采购（30﹣m）套B种材质的围棋，
根据题意得：210m+180（30﹣m）≤5760，
解得：m≤12，
∴m的最大值为12．
答：A种材质的围棋最多能采购12套；
（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋不能实现利润为1030元的目标，理由如下：
假设在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1030元的目标，
根据题意得：（250﹣210）m+（210﹣180）（30﹣m）＝1030，
解得：m＝13，
又∵m≤12，
∴m＝13不符合题意，舍去，
∴在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋不能实现利润为1030元的目标．
25．（8分）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；
（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求k的取值范围；
（3）若k≤1，设m＝2x﹣3y，且m为正整数，求m的值．
【解答】解：（1），
①+②得，4x＝2k﹣1，解得x＝；
②﹣①得2y＝3﹣4k，解得y＝，
∴二元一次方程组的解为；
（2）∵方程组的解x、y满足x+y＞5，
∴+＞5，
2k﹣1+2（3﹣4k）＞20，
2k﹣1+6﹣8k＞20，
﹣6k＞15，
k＜﹣；
（3）m＝2×﹣3×＝7k﹣5，
∴k＝≤1，
解得m≤2，
∵m是正整数，
∴m的值是1，2．
26．（10分）如图所示，BD、CE是△ABC高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．
（1）判断：∠1 ＝ ∠2（用“＞”、“＜”、“＝”填空）；
（2）探究：PA与AQ之间的关系；
（3）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，试探究PA与AQ之间的关系，请画出图形并直接写出结论．
【解答】解：（1）设CE、BD交于F，
∵BD、CE是△ABC高，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，
∵∠BFE＝∠CFD，
∴∠1＝180°﹣∠BEF﹣∠BFE＝90°﹣∠BFE，∠2＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD＝90°﹣∠CDF，
∴∠1＝∠2；
故答案为：＝；
（2）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ，
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
而∠DAP+∠P＝90°，
∴∠DAP+∠QAC＝90°，
即∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP；
即AP＝AQ，AP⊥AQ；
（3）上述结论成立，理由如下：
如图所示：
∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°，
∵∠CAE＝∠DAB，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
∵∠PDA＝90°，
∴∠P+∠PAD＝90°，
∴∠QAC+∠PAD＝90°，
∴∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP，
即AP＝AQ，AP⊥AQ．
27．（10分）在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD ＝ BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝ 30 度；
（2）设直线BE与直线AM的交点为O．
①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；
②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ADC和△BEC中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵线段AM为BC边上的中线
∴∠CAM＝∠BAC，
∴∠CAM＝30°．
故答案为：＝，30；
（2）①AD＝BE，
理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠DCB，∠BCE＝∠DCE+∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE．
②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，
理由如下：
当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，
又∠ABC＝60°，
∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，
∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线
∴AM平分∠BAC，即，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．
当点D在线段AM的延长线上时，如图2，
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°
∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE
∴∠ACD＝∠BCE
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
同理可得：∠BAM＝30°，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．销售时段
销售数量
销售收入
A种材质
B种材质
第一个月
3套
5套
1800元
第二个月
4套
10套
3100元
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