河南省商丘市虞城县商外实验学校2023-2024学年八年级（下）第一次月考数学试卷（B卷）

这是一份河南省商丘市虞城县商外实验学校2023-2024学年八年级（下）第一次月考数学试卷（B卷），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．2B．
C．D．
2．（3分）判断下列几组数中，一定是勾股数的是（ ）
A．1，，B．8，15，17C．7，14，15D．，，1
3．（3分）在△ABC中，三边长满足b2﹣a2＝c2，则互余的一对角是（ ）
A．∠A与∠BB．∠C与∠AC．∠B与∠CD．∠A、∠B、∠C
4．（3分）已知x、y为实数，且+3（y﹣2）2＝0，则x﹣y的值为（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
5．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13B．26C．47D．94
6．（3分）在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为（ ）
A．24B．24πC．D．
7．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD＝14，则BC的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（3分）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB＝5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A．26B．13+C．13D．2
二、填空题（每题3分，共21分）
9．（3分）直角三角形的两条直角边长分别为cm、cm，则这个直角三角形的面积为 cm2．
10．（3分）已知y＝+﹣3，则2xy的值为 ．
11．（3分）如果＝1﹣2a，则a的取值范围是 ．
12．（3分）已知x+＝2，则x﹣＝ ．
13．（3分）如图，已知∠MAN＝60°，AB＝6，依据尺规作图的痕迹可求出AD的长为 ．
14．（3分）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为 ．
15．（3分）如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB＝8，且△ABF的面积为24，则EC的长为 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）计算：
（1）÷+×+
（2）（+）（﹣）﹣（+1）2．
17．（8分）已知a＝，求的值．
18．（10分）已知a，b，c满足|a﹣2|++（c﹣）2＝0，求：
（1）a，b，c的值．
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？
19．（7分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
20．（10分）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求证：∠A+∠C＝180°．
21．（10分）疫情防控过程中，很多志愿者走进社区参加活动．如图所示，小冬老师从A处出发，要到A地北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B处，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C处，求A，C两地的距离．（结果取整数，参考数据：）
22．（10分）如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP＝160米，∠NPQ＝30°，假使拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是5米/秒，那么学校受到的影响的时间为多少秒？
23．（12分）观察下列运算：
①由（+1）（﹣1）＝1，得＝﹣1；
②由（+）（﹣）＝1，得＝﹣；
③由（+）（﹣）＝1，得＝﹣；
…
（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来： ；
（2）利用（1）中你发现的规律计算：（+++…++）×（+1）．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．2B．
C．D．
【解答】解：A、2是最简二次根式，故本选项正确；
B、＝，故本选项错误；
C、＝，故本选项错误；
D、＝|x|•，故本选项错误．
故选：A．
2．（3分）判断下列几组数中，一定是勾股数的是（ ）
A．1，，B．8，15，17C．7，14，15D．，，1
【解答】解：A、不是，因为和不是正整数；
B、是，因为82+152＝172，且8、15、17是正整数；
C、不是，因为72+142≠152；
D、不是，因为与不是正整数．
故选：B．
3．（3分）在△ABC中，三边长满足b2﹣a2＝c2，则互余的一对角是（ ）
A．∠A与∠BB．∠C与∠AC．∠B与∠CD．∠A、∠B、∠C
【解答】解：∵b2﹣a2＝c2，
∴b2＝a2+c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
∴∠C与∠A互余．
故选：B．
4．（3分）已知x、y为实数，且+3（y﹣2）2＝0，则x﹣y的值为（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
【解答】解：由题意得，x+1＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣1，y＝2，
所以，x﹣y＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：D．
5．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13B．26C．47D．94
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，
即S3＝9+25+4+9＝47．
故选：C．
6．（3分）在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为（ ）
A．24B．24πC．D．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
AB＝＝＝10，
S阴影＝π（）2+π（）2+×6×8﹣π（）2
＝+8π+24﹣
＝24．
故选：A．
7．（3分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD＝14，则BC的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝14，
∴∠A＝∠ABD＝15°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，
在Rt△BCD中，BC＝BD＝×14＝7．
故选：D．
8．（3分）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB＝5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A．26B．13+C．13D．2
【解答】解：如图，
小虫爬行的最短路程＝AP+PC＝+＝+13．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共21分）
9．（3分）直角三角形的两条直角边长分别为cm、cm，则这个直角三角形的面积为 cm2．
【解答】解：S＝××＝（cm）．
故答案为：．
10．（3分）已知y＝+﹣3，则2xy的值为 ﹣15 ．
【解答】解：根据题意得，2x﹣5≥0且5﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
所以，x＝，
y＝﹣3，
所以，2xy＝2××（﹣3）＝﹣15．
故答案为：﹣15．
11．（3分）如果＝1﹣2a，则a的取值范围是 a≤ ．
【解答】解：∵＝|2a﹣1|，
∴|2a﹣1|＝1﹣2a，
∴2a﹣1≤0，
∴a≤．
故答案为a≤．
12．（3分）已知x+＝2，则x﹣＝ ±2 ．
【解答】解：∵x+＝2，
∴（x+）2＝8，
∴（x﹣）2+4＝8，
∴（x﹣）2＝4，
∴x﹣＝±2．
故答案为±2．
13．（3分）如图，已知∠MAN＝60°，AB＝6，依据尺规作图的痕迹可求出AD的长为 ．
【解答】解：依据尺规作图痕迹，可知该图是以A为圆心作圆弧BC交AM、AN交于B、C，然后分别以B、C圆心，相同半径作圆弧相交于一点，连接两圆弧交点和点A交BC于D，故AD所在直线为∠MAN的角平分线．
∴BD＝DC，
∴AD⊥BC（垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧．）
∴在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，AB＝6
∴BD＝3，
∴．
故答案为：．
14．（3分）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为 7 ．
【解答】解：如图，
∵a、b、c都为正方形，
∴BC＝BF，∠CBF＝90°，AC2＝3，DF2＝4，
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ABC和△DFB中
，
∴△ABC≌△DFB，
∴AB＝DF，
在△ABC中，BC2＝AC2+AB2＝AC2+DF2＝3+4＝7，
∴b的面积为7．
故答案为7．
15．（3分）如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB＝8，且△ABF的面积为24，则EC的长为 3 ．
【解答】解：∵AB＝8，S△ABF＝24
∴BF＝6．
∵在Rt△ABF中，AF＝＝10，
∴AD＝AF＝BC＝10
∴CF＝10﹣6＝4
设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x．
在Rt△ECF中，EF2＝CF2+CE2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得，x＝3．
∴CE＝3．
故答案为：3．
三、解答题（共75分）
16．（8分）计算：
（1）÷+×+
（2）（+）（﹣）﹣（+1）2．
【解答】解：（1）原式＝++2
＝4++2
＝4+3；
（2）原式＝10﹣7﹣（2+2+1）
＝3﹣3﹣2
＝﹣2．
17．（8分）已知a＝，求的值．
【解答】解：∵a＝，
∴a＝2﹣＜1，
∴原式＝﹣
＝a﹣1﹣
＝a﹣1+
＝2﹣﹣1+2+
＝4﹣1
＝3．
18．（10分）已知a，b，c满足|a﹣2|++（c﹣）2＝0，求：
（1）a，b，c的值．
（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？
【解答】解：（1））∵|a﹣2|++（c﹣）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝；
（2）∵32+（）2＝（2）2，即b2+c2＝a2，
∴以a，b，c为边能构成直角三角形．
19．（7分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：＝24（米）；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），
根据勾股定理得：25＝，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
20．（10分）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求证：∠A+∠C＝180°．
【解答】证明：连接AC．
∵AB＝20，BC＝15，∠B＝90°，
∴由勾股定理，得AC2＝202+152＝625．
又CD＝7，AD＝24，
∴CD2+AD2＝625，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴∠D＝90°．
∴∠A+∠C＝360°﹣180°＝180°．
21．（10分）疫情防控过程中，很多志愿者走进社区参加活动．如图所示，小冬老师从A处出发，要到A地北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B处，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C处，求A，C两地的距离．（结果取整数，参考数据：）
【解答】解：过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D，则∠BCD＝30°，
由题意得：∠ABC＝90°+30°＝120°，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ACB＝30°，
∴AB＝CB＝200m，
在Rt△BDC中，CB＝200m，
∴BD＝CB＝100（m），
∴CD＝BD＝（m），
在Rt△DCA中，∠ACB＝30°，
∴AC＝2CD＝≈346（m），
答：A，C两地的距离约为346m．
22．（10分）如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP＝160米，∠NPQ＝30°，假使拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是5米/秒，那么学校受到的影响的时间为多少秒？
【解答】解：作AH⊥MN于H，如图，
在Rt△APH中，
∵∠HPA＝30°，
∴AH＝AP＝×160＝80，
而80＜100，
∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；
以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB＝AC＝100，
而AH⊥BC，
∴BH＝CH，
在Rt△ABH中，BH＝＝60，
∴BC＝2BH＝120，
∴学校受到的影响的时间＝＝24（秒）．
23．（12分）观察下列运算：
①由（+1）（﹣1）＝1，得＝﹣1；
②由（+）（﹣）＝1，得＝﹣；
③由（+）（﹣）＝1，得＝﹣；
…
（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来： ＝﹣（n≥0） ；
（2）利用（1）中你发现的规律计算：（+++…++）×（+1）．
【解答】解：（1）通过观察，用含n的式子表示为：＝﹣（n≥0），
故答案为：＝﹣（n≥0）；
（2）（+++…++）×（+1）
＝（﹣1+﹣+﹣+...+﹣+﹣）×（+1）
＝（﹣1）×（+1）
＝2018﹣1
＝2017．