黑龙江省伊春市铁力市马永顺中学2021-2022学年高三上学期期末考试数学（理科）试卷

这是一份黑龙江省伊春市铁力市马永顺中学2021-2022学年高三上学期期末考试数学（理科）试卷，共16页。
1．（5分）已知集合A＝{x|lgx＞0}，B＝{x|x2﹣4≤0}，则A∩B＝（ ）
A．（1，2）B．（1，2]C．（0，2]D．（1，+∞）
2．（5分）复数z1＝1+i，z2＝i，其中i为虚数单位，则的虚部为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
3．（5分）已知函数，则f（﹣4）＝（ ）
A．3B．C．﹣8D．2
4．（5分）直线x＝2被圆（x﹣a）2+y2＝4所截弦长等于，则a的值为（ ）
A．﹣1或﹣3B．或C．1或3D．
5．（5分）已知向量，的夹角为45°，且||＝1，||＝3，则|2﹣|＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）若tanθ＝，则cs2θ＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（5分）已知{an}是各项都为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若S4＝6，S8＝18，则S12＝（ ）
A．24B．30C．42D．48
9．（5分）将曲线y＝sin2x向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到曲线y＝cs（2x+），则tanφ＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
10．（5分）已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝2，PA＝2，E为BC的中点，则异面直线AE与PD所成的角为（ ）
A．B．C．D．π
11．（5分）函数f（x）＝lnx2﹣x的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
12．（5分）已知函数f（x）＝sinx﹣ax，当x∈（0，1）时，f（x）＞0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，sin1]B．（﹣∞，cs1）
C．（﹣1，sin1）D．（﹣∞，﹣sin1）
二、填空题（5分×4＝20）
13．（5分）曲线y＝lnx在点（1，0）处的切线方程为 ．
14．（5分）当取得最小值时，x＝ ．
15．（5分）在三棱锥B﹣ACD中，BA，BC，BD两两垂直，BC＝2，BD＝4，三棱锥B﹣ACD的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
16．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2上顶点为A．在x轴负半轴上有一点B，满足，且，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题（17-21每题12分，22题10分）
17．（12分）在△ABC中，角A，B、C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若a＝2，且cs（B﹣C）＝2sinBsinC﹣csC，求△ABC的面积．
18．（12分）在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1＝2，8a2+2a4＝a6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）如图，在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面VCD为正三角形，侧面VCD⊥底面ABCD，P为VD的中点．
（1）求证：AD⊥平面VCD；
（2）求二面角P﹣AB﹣C的正弦值．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F（1，0），且点（1，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线x＝4于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．
21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx+ax2﹣bx（a，b∈R）．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝2x+1，求实数a，b的值；
（2）若a＝0，且f（x）+4≤0在区间（0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若b＝4，且0≤a＜1，讨论函数f（x）的单调性．
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（m＞0，n＞0，α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．
（1）求a，m，n的值；
（2）已知点P的直角坐标为（0，1），l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．
参考答案与试题解析
一.选择题（5分×12＝60）
1．（5分）已知集合A＝{x|lgx＞0}，B＝{x|x2﹣4≤0}，则A∩B＝（ ）
A．（1，2）B．（1，2]C．（0，2]D．（1，+∞）
【解答】解：∵集合A＝{x|lgx＞0}＝{x|x＞1}，
B＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．
故选：B．
2．（5分）复数z1＝1+i，z2＝i，其中i为虚数单位，则的虚部为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
【解答】解：∵复数z1＝1+i，z2＝i，
∴＝1﹣i，
∴＝＝﹣1﹣i，
其虚部为﹣1．
故选：B．
3．（5分）已知函数，则f（﹣4）＝（ ）
A．3B．C．﹣8D．2
【解答】解：因为函数，
则f（﹣4）＝lg24＝2；
故选：D．
4．（5分）直线x＝2被圆（x﹣a）2+y2＝4所截弦长等于，则a的值为（ ）
A．﹣1或﹣3B．或C．1或3D．
【解答】解：由圆（x﹣a）2+y2＝4，得到圆心坐标为（a，0），半径r＝2，
∴圆心到直线x＝2的距离d＝＝|a﹣2|，又因为直线被圆截得的弦长为2，
∴（）2+（a﹣2）2＝22，
整理得：a2﹣4a+3＝0，
解得：a＝1或a＝3，
则a的值为1或3．
故选：C．
5．（5分）已知向量，的夹角为45°，且||＝1，||＝3，则|2﹣|＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，|2﹣|2＝（2﹣）2＝42﹣4•+2，
又由||＝1，||＝3且向量，的夹角为45°，
则|2﹣|2＝（2﹣）2＝42﹣4•+2＝4+18﹣4×1×3×＝10，
则|2﹣|＝，
故选：A．
6．（5分）若tanθ＝，则cs2θ＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵tanθ＝，
∴cs2θ＝2cs2θ﹣1＝﹣1＝﹣1＝．
故选：D．
7．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，m⊥l，利用面面垂直的性质可得m⊥β；
由α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，m⊥β，利用面面垂直的性质可得m⊥l．
∴α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的充要条件．
故选：C．
8．（5分）已知{an}是各项都为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若S4＝6，S8＝18，则S12＝（ ）
A．24B．30C．42D．48
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，S4、（S8﹣S4）、（S12﹣S8）成等比数列，
若S4＝6，S8＝18，即6、12、（S12﹣18）为等比数列，
则有6×（S12﹣18）＝122＝144，
解可得：S12＝42；
故选：C．
9．（5分）将曲线y＝sin2x向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到曲线y＝cs（2x+），则tanφ＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：将曲线y＝sin2x向左平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y＝sin（2x+2φ）的图象；
又已知得到曲线y＝cs（2x+）＝sin（2x+）的图象，∴2φ＝+2kπ，k∈Z，
∴φ＝kπ+，则tanφ＝tan＝﹣tan＝﹣，
故选：B．
10．（5分）已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝2，PA＝2，E为BC的中点，则异面直线AE与PD所成的角为（ ）
A．B．C．D．π
【解答】解：根据题意，借助于长方体，且E，F为相应的棱的中点，则易得PD∥EF，
所以∠AEF即为异面直线AE与PD所成的角或补角，
根据题意可得，EF＝＝＝，
AE＝＝，AF＝＝，
所以△AEF为等边三角形，．
故选：C．
11．（5分）函数f（x）＝lnx2﹣x的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：令f（x）＝0，则2ln|x|＝x，即，
易知，函数y＝ln|x|与函数的图象仅在第三象限有一个交点即f（x）＝0仅有一个负根，
观察选项可知，只有选项B符合题意．
故选：B．
12．（5分）已知函数f（x）＝sinx﹣ax，当x∈（0，1）时，f（x）＞0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，sin1]B．（﹣∞，cs1）
C．（﹣1，sin1）D．（﹣∞，﹣sin1）
【解答】解：∵f（x）＝sinx﹣ax，且当x∈（0，1）时，f（x）＞0恒成立，
即当x∈（0，1）时，sinx﹣ax＞0恒成立⇔a＜（0＜x＜1）恒成立．
令g（x）＝（0＜x＜1），
则g′（x）＝（0＜x＜1），
令m（x）＝xcsx﹣sinx（0＜x＜1），则m′（x）＝csx﹣xsinx﹣csx＝﹣xsinx＜0，
∴m（x）在（0，1）上单调递减，
∴m（x）＜m（0）＝0，
∴g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，
∴g（x）＞g（1）＝sin1，
∴a≤sin1，
故选：A．
二、填空题（5分×4＝20）
13．（5分）曲线y＝lnx在点（1，0）处的切线方程为 y＝x﹣1 ．
【解答】解：∵y＝lnx，∴，
∴函数y＝lnx在x＝1处的切线斜率为1，
又∵切点坐标为（1，0），
∴切线方程为y＝x﹣1．
故答案为：y＝x﹣1．
14．（5分）当取得最小值时，x＝ 4 ．
【解答】解：因为，
当且仅当，即x＝4时，等号成立．
故答案为：4
15．（5分）在三棱锥B﹣ACD中，BA，BC，BD两两垂直，BC＝2，BD＝4，三棱锥B﹣ACD的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为 29π ．
【解答】解：三棱锥B﹣ACD的侧面积S＝S△ABD+S△ABC+S△BCD＝（AB•BD+AB•BC+BC•CD）＝（4AB+2AB+2×4）＝13，
解得：AB＝3，
将此三棱锥放在长方体中可得，三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个，且长方体的外接球的直径2R等于长方体的对角线的长度，
所以（2R）2＝AB2+BC2+BD2＝32+22+42＝29，即4R2＝29，
所以外接球的表面积S表＝4πR2＝29π，
故答案为：29π．
16．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2上顶点为A．在x轴负半轴上有一点B，满足，且，则椭圆的离心率为 ．
【解答】解：由题意，根据，可知点B坐标为（﹣3c，0），
∵A（0，b），F2（c，0），
∴＝（﹣3c，﹣b），＝（c，﹣b），
∴•＝﹣3c2+b2＝﹣3c2+a2﹣c2＝a2﹣4c2＝0，
解得＝，即e＝＝．
故答案为：．
三、解答题（17-21每题12分，22题10分）
17．（12分）在△ABC中，角A，B、C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若a＝2，且cs（B﹣C）＝2sinBsinC﹣csC，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵，
∴由正弦定理，可得sinA＝，可得tanA＝，
∵A∈（0，π），
∴A＝．
（2）∵cs（B﹣C）＝2sinBsinC﹣csC，
∴csBcsC+sinBsinC＝2sinBsinC﹣csC，可得csBcsC＝sinBsinC﹣csC，
∴csC＝sinBsinC﹣csBcsC＝﹣cs（B+C）＝csA，
∵A，C∈（0，π），A＝，a＝2，
∴C＝A＝，B＝π﹣A﹣C＝，c＝a＝2，
∴△ABC的面积S＝acsinB＝×2×2×＝．
18．（12分）在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1＝2，8a2+2a4＝a6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设{an}的公比为q，q＞0，
因为8a2+2a4＝a6，所以，
所以8+2q2＝q4，即q4﹣2q2﹣8＝0，
解得q2＝4，又因为q＞0，所以q＝2．
因为a1＝2，所以，n∈N*．
（2）由（1）知．
则＝（21+22+23+…+2n）+（2+4+6+…2n）
＝＝2n+1+n2+n﹣2．
所以数列{bn}的前n项和为．
19．（12分）如图，在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面VCD为正三角形，侧面VCD⊥底面ABCD，P为VD的中点．
（1）求证：AD⊥平面VCD；
（2）求二面角P﹣AB﹣C的正弦值．
【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥CD，
∵侧面VCD⊥底面ABCD，侧面VCD∩底面ABCD＝CD，
∴由面面垂直的性质定理，得AD⊥平面VCD；
（2）解：设AB＝2，CD的中点为O，连接VO，
AB的中点为E，则OE⊥CD，VO⊥CD．由面面垂直的性质定理知VO⊥平面ABCD，
又OE⊂平面ABCD，故VO⊥OE．
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
∵侧面VCD为正三角形，∴，
则，D（0，﹣1，0），A（2，﹣1，0），B（2，1，0），
∵P为VD的中点，∴，
∴，，
设平面PAB的法向量，
则，即，得，
平面ABCD的法向量可取，
于是，
所以，二面角P﹣AB﹣C的正弦值为．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F（1，0），且点（1，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线x＝4于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．
【解答】解：（1）不妨设椭圆的方程为+＝1，a＞b＞0，
由题意可得，解得a2＝4，b2＝3，
故椭圆的方程+＝1，
证明：（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x＝my+1，
由方程组，消去x整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0
∵Δ＝36m2+36（3m2+4）＞0
∴y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，
∵直线BM的方程可表示为y＝（x﹣2），
将此方程与直线x＝4成立，可求得点Q的坐标为（4，），
∴＝（x2+2，y2），＝（6，），
∵6y2﹣（x2+2）＝＝
＝＝＝0，
∴∥，
∵向量和有公共点A，
∴A，N，Q三点在同一条直线上．
21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx+ax2﹣bx（a，b∈R）．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝2x+1，求实数a，b的值；
（2）若a＝0，且f（x）+4≤0在区间（0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若b＝4，且0≤a＜1，讨论函数f（x）的单调性．
【解答】解：（1）由题意，得，
则，解得．
（2）当a＝0时，f（x）＝2lnx﹣bx，f（x）+4≤0在区间（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立，
设，则，
令g'（x）＞0，可得，g（x）单调递增；
令g'（x）＜0，可得，g（x）单调递减；
所以，即b≥2e，故b∈[2e，+∞）．
（3）当b＝4时，f（x）＝2lnx+ax2﹣4x，
则，
令t（x）＝ax2﹣2x+1（0≤a＜1，x＞0），
1°当a＝0时，t（x）＝﹣2x+1，
所以，在内t（x）＞0，∴f'（x）＞0，∴f（x）单调递增，
在内t（x）＜0，∴f'（x）＜0，∴f（x）单调递减．
2°当0＜a＜1时，Δ＝4﹣4a＞0，
令t（x）＝0，解得或，
所以，在和内，t（x）＞0，∴f'（x）＞0，
∴f（x）单调递增；
在内，t（x）＜0，∴f'（x）＜0，
∴f（x）单调递减．
综上，当a＝0时，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；
当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间为和，
单调递减区间为．
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（m＞0，n＞0，α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．
（1）求a，m，n的值；
（2）已知点P的直角坐标为（0，1），l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．
【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．转换为ρ2＝8ρsinθ，
则x2+y2＝8y，
即x2+（y﹣4）2＝16．
因为m＞0，n＞0，
所以a＝m＝n＝4．
（2）将直线l的参数方程为（t为参数），
代入x2+（y﹣4）2＝16，
得．
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则，t1t2＝﹣7＜0．
所以．