黑龙江省伊春市友好区友好区第三中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题

友好三种2021—2022学年度上学期期中考试

高一数学

一、单选题

1．已知集合，，那么（    ）

A．  B．

C．  D．

2．已知：，：，则是（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．若，，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A．  B．

C．  D．

4．已知，均为正数，且满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

5．关于的不等式的解集为，则（    ）

A． B． C． D．

6．下列函数中，表示同一个函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

7．函数的减区间是（    ）

A．  B．

C．，  D．

8．下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（    ）

A． B． C． D．

9．已知是定义在上的奇函数，且在上的图像如图所示，那么的解集为（    ）

A．  B．

C．  D．

10．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

12．已知函数对任意的，恒成立，则的取值范围（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若命题：，，则命题的否定是______．

14．已知且，则的值为______．

15．若函数的定义域为，则函数的定义域为______．

16．函数在上是减函数，则实数的范围是______．

三、解答题

17．已知集合，求：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

18．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，，且，求的最小值．

19．（1）已知是一次函数，且，求的解析式；

（2）已知函数，求函数的解析式．

20．已知

（1）求；

（2）若，求的值；

（3）若其图像与有三个交点，求的取值范围．

21．已知函数是定义域上的奇函数．

（1）确定的解析式；

（2）用定义证明：在区间上是增函数；

（3）解不等式．

22．已知是偶函数，是奇函数，且，

（1）求和的表达式；

（2）若对于任意的，不等式恒成立，求的最大值．

高一上学期期中考试数学答案

一、单选题

1．【答案】

【分析】直接利用集合的并集运算求解．

【详解】因为集合，，所以．故选：．

2．【答案】

【分析】根据充分条件与必要条件的定义即可判断．

【详解】由：推不出：，故充分性不成立，由：可推出：，故必要性成立，所以是必要不充分条件，故选：．

3．【答案】

【分析】对于，利用不等式的性质判断即可，对于，举例判断

【详解】对于，因为，所以，因为，所以，所以正确，对于，若，时，可得，所以错误，对于，若，，则，所以错误，对于，若，则，所以错误，故选：．

4．【答案】

【分析】直接根据基本不等式即可求出的最大值．

【详解】，，，即，，即．当且仅当且，即，时取等号，的最大值为．故选：．

5．【答案】

【分析】根据不等式的解集求得的值．

【详解】由于等式的解集为，所以，．故选：．

6．【答案】

【分析】根据函数的定义，只有两个函数的定义域和对应法则相同，这两个函数才相同，由此对选项一一判断，即可得到结果．

【详解】对于，函数的定义域为，函数的定义域为，故选项中的函数不是同一函数；对于，函数，故对应法则不相同，故选项中的函数不是同一函数；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，故选项中的函数不是同一函数；对于，这两个函数的定义域和对应法则都相同，故选项为同一函数．故选：．

7．【答案】

8．【答案】

【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可．

【详解】对于，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，，且，则，因为，，且，所以，即，所以在上为增函数，所以正确，对于，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以错误，对于，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以错误，对于，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以错误，故选：．

9．【答案】

【分析】利用图像法解不等式，写出解集即可．

【详解】因为是定义在上的奇函数，所以的图像关于原点对称，作出是定义在上的图像如图所示：

所以的解集为．故选：．

10．【答案】

【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解．

【详解】函数的定义域为，即不等式的解集为

（1）当时，得到，显然不等式的解集为；

（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于，故解集为不可能；

（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；综上，的取值范围为．故选：．

11．【答案】

【分析】通过分类讨论的取值范围，并利用一元二次函数的性质即可求解．

【详解】由题意，不妨设，，

①当时，由一元二次函数的性质可知，在上单调递增，故对于，，这与是函数的最小值矛盾；②当时，，，由一元二次函数的性质可知，在单调递减，故对于，，当时，在时取得最小值，从而当时，满足是函数的最小值；③当时，由一元二次函数性质，在上单调递减，故对于，，当时，在时取得最小值，若使是函数的最小值，只需且，解得，．综上所述，实数的取值范围是．故选：．

12．【答案】

【分析】先根据函数的解析式判断出函数的单调性和奇偶性，即可将不等式变形得到关于的不等式，构造函数，即可列出不等式组解出的取值范围．

【详解】因为函数，，易知函数为上单调递增的奇函数，

所以，即对任意的恒成立，

设，只需即可．解不等式组，解得．故选：．

13．【答案】，

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可．

【详解】由题意，根据全称量词命题的否定的定义有，命题的否定是：，.

故答案为：，.

14．【答案】

【分析】利用换元法求得函数解析式，再根据，即可求出的值.

【详解】解：由题可知，且，令，则，，，解得：．故答案为：．

15．【答案】

【分析】根据抽象函数的定义域，利用替换思想求解即可．

【详解】因为的定义域为，所以，所以，解得，

所以函数的定义域为．故答案为：．

16．【答案】

【分析】转化原函数为，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解．

【详解】函数，定义域为，

又，因为函数在上是减函数，

所以只需在上是减函数，因此，解得.故答案为：．

三、解答题

17．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【分析】（1）先计算，再求补集即可求解；（2）先计算，再求补集即可求解；

（3）先计算，再与进行交集运算即可求解；（4）先计算，再与进行并集运算即可求解；

【详解】因为，，所以；，

（1），所以；

（2），所以；

（3）；

（4）.

18．【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由，利用基本不等式直接求得结果；

（2）根据配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果．

【详解】（1），，（当且仅当，即时取等号），的最小值为；

（2），，（当且仅当，即时取等号），的最小值为．

19．【答案】（1）或；（2）．

【分析】（1）根据给定条件设出函数的解析式，利用待定系数法求解即得；

（2）令，借助换元法即可得解．

【详解】（1）因为是一次函数，则不妨设，

于是得，而，

因此，，解得或，所以函数的解析式为或；

（2）令，则，于是得，则有，

所以函数的解析式为．

20．【答案】（1）（2）（3）

【分析】（1）根据分段函数解析式直接求解；（2）根据函数解析式，分段讨论，解方程即可；

（3）作出函数图象，数形结合即可．

【详解】（1），；

（2）当时，，当时，，解得，综上，；

（3）作出的图象，如图，

由图象可知，当时，与有三个交点．

21．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．

【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，验证即可得答案；（2）根据题意，设，由作差法分析可得结论；（3）根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得原不等式等价于，解可得的取值范围，即可得答案．

【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，即，；

（2）设，则，

又由，则，，，，

，函数在上是增函数；

（3）根据题意，，

解可得：，即不等式的解集为．

22．【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）根据已知的关系式以及函数的奇偶性列出另一个关系式，联立求出函数和的表达式；

（2）先将已知不等式进行化简，然后可以分离参数，利用基本不等式求最值即可求解．

【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，①，

所以，即②，

联立①②，解得：，；

（2）因为，，由对于任意的恒成立，

可得对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，

所以对于任意的恒成立，所以，，

因为，当且仅当即时等号成立，所以，所以的最大值为．