黑龙江省伊春市铁力市马永顺中学2021-2022学年高三上学期期末考试数学（文科）

这是一份黑龙江省伊春市铁力市马永顺中学2021-2022学年高三上学期期末考试数学（文科），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：（每小题5分，共12小题，共60分）
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|﹣x＜﹣3}，则A∩B＝（ ）
A．{5}B．{1，2}C．{3，4，5}D．{4，5}
2．（5分）复数z＝上的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标是（ ）
A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）
4．（5分）已知点A（﹣1，1），B（3，y），向量，若，则y的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．（5分）程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）
A．65B．176C．183D．184
6．（5分）设f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝ex+1，则当x＜0时，f（x）＝（ ）
A．e﹣x﹣1B．﹣e﹣x﹣1C．e﹣x+1D．﹣e﹣x+1
7．（5分）设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
8．（5分）将曲线y＝sin2x向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到的曲线关于直线对称，则φ的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝4，S10＝10，则S15＝（ ）
A．16B．19C．20D．25
10．（5分）设a＝lg5，b＝20.1，c＝lg32，则（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
11．（5分）已知点（a，b）（a＞0，b＞0）在函数y＝﹣x+1的图象上，则的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
12．（5分）双曲线C：的两条渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、填空题：（每小题5分，共4小题，共20分）
13．（5分）设x，y满足则则z＝x﹣3y的最小值是 ．
14．（5分）函数f（x）＝lnx+x2的图象在点（1，f（1））处切线方程为 ．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acsB＝0，则B＝ ．
16．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，MN分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于 ．
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共6小题，共70分）.
17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝﹣5，
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
18．（12分）在△ABC中，角A，B、C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若a＝2，且cs（B﹣C）＝2sinBsinC﹣csC，求△ABC的面积．
19．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别AB，VA的中点．
（Ⅰ）求证：VB∥平面MOC；
（Ⅱ）求三棱锥V﹣ABC的体积．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，
（1）试求椭圆M的方程；
（2）若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点，点为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问：k1+k2是否为定值？请证明你的结论．
21．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的非负半轴重合，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ﹣）＝，曲线C的参数方程为：为参数）．
（1）写出直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
参考答案与试题解析
一、单选题：（每小题5分，共12小题，共60分）
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|﹣x＜﹣3}，则A∩B＝（ ）
A．{5}B．{1，2}C．{3，4，5}D．{4，5}
【解答】解：∵A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＞3}，
∴A∩B＝{4，5}．
故选：D．
2．（5分）复数z＝上的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵＝，
∴复数上的虚部为．
故选：A．
3．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标是（ ）
A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）
【解答】解：抛物线y＝2x2，化为x2＝，
它的焦点坐标为：（0，）．
故选：C．
4．（5分）已知点A（﹣1，1），B（3，y），向量，若，则y的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：根据题意，点A（﹣1，1），B（3，y），则＝（4，y﹣1），
若，则有4×2＝y﹣1，解可得y＝9，
故选：D．
5．（5分）程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）
A．65B．176C．183D．184
【解答】解：设第一个孩子分配到a1斤棉花，
则由题意得：7＝996，
解得a1＝65，
∴第八个孩子分得斤数为a8＝65+7×17＝184．
故选：D．
6．（5分）设f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝ex+1，则当x＜0时，f（x）＝（ ）
A．e﹣x﹣1B．﹣e﹣x﹣1C．e﹣x+1D．﹣e﹣x+1
【解答】解：根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，
则f（﹣x）＝e﹣x+1，
又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x﹣1，
故选：B．
7．（5分）设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【解答】解：A．若m∥n，n⊂α，则 m∥α或m⊂α，因此不正确；
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或为异面直线，因此正确；
C．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n不一定垂直，因此不正确；
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β，因此正确．
故选：D．
8．（5分）将曲线y＝sin2x向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到的曲线关于直线对称，则φ的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：将曲线y＝sin2x向左平移φ（φ＞0）个单位长度，
得y＝sin2（x+φ）＝sin（2x+2φ）的图象；
该图象对应的曲线关于直线对称，
则2×+2φ＝kπ+，k∈Z；
解得φ＝+，k∈Z；
又φ＞0，所以φ的最小值为．
故选：C．
9．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝4，S10＝10，则S15＝（ ）
A．16B．19C．20D．25
【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，
∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等比数列，
∵S5＝4，S10﹣S5＝10﹣4＝6，
∴S15﹣S10＝6×＝9，
所以S15＝S10+S15﹣S10＝19，
故选：B．
10．（5分）设a＝lg5，b＝20.1，c＝lg32，则（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【解答】解：∵a＝lg5＜lg51＝0，
b＝20.1＞20＝1，
0＜c＝lg32＜lg33＝1，
∴a＜c＜b，
故选：A．
11．（5分）已知点（a，b）（a＞0，b＞0）在函数y＝﹣x+1的图象上，则的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：∵点（a，b）（a＞0，b＞0）在函数y＝﹣x+1的图象上，∴a+b＝1，
∴＝，当且仅当＝，即b＝2a＝时成立，
故选：D．
12．（5分）双曲线C：的两条渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y＝±x，即 x±y＝0．
根据圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，
可得，1＝，∴＝，
，可得e＝．
故此双曲线的离心率为：．
故选：A．
二、填空题：（每小题5分，共4小题，共20分）
13．（5分）设x，y满足则则z＝x﹣3y的最小值是 ﹣4 ．
【解答】解：作出不等式组 对应的平面区域如图：
由z＝x﹣3y得y＝x﹣z，
平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z经过点C时，
直线y＝x﹣z的截距最大，此时z最小，
⇒⇒C（2，2）
此时z＝2﹣3×2＝﹣4，
故答案为：﹣4．
14．（5分）函数f（x）＝lnx+x2的图象在点（1，f（1））处切线方程为 3x﹣y﹣2＝0 ．
【解答】解：由f（x）＝lnx+x2，得f′（x）＝+2x，
则f′（1）＝3，又f（1）＝1，则切线方程为y﹣1＝3（x﹣1），
即3x﹣y﹣2＝0．
故答案为：3x﹣y﹣2＝0．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acsB＝0，则B＝ ．
【解答】解：∵bsinA+acsB＝0，
∴由正弦定理可得：sinAsinB+sinAcsB＝0，
∵A∈（0，π），sinA＞0，
∴可得：sinB+csB＝0，可得：tanB＝﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B＝．
故答案为：．
16．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，MN分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于 ．
【解答】解：如图，以A为原点，在平面ABC处以过点A垂直于AC的直线为x轴，
以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意知A（0，0，0），M（，1，1），C（0，2，0），N（，，2），
∴＝（，1，1），＝（，﹣，2），
设直线AM与CN所成角的大小为θ，
则csθ＝|cs＜，＞|＝．
故答案为：．
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共6小题，共70分）.
17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝﹣5，
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
∵前n项和Sn满足S3＝0，S5＝﹣5，∴，
解得a1＝1，d＝﹣1．
∴an＝1﹣（n﹣1）＝2﹣n．
（2）＝＝，
∴数列{}的前n项和＝
＝
＝．
18．（12分）在△ABC中，角A，B、C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若a＝2，且cs（B﹣C）＝2sinBsinC﹣csC，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵，
∴由正弦定理，可得sinA＝，可得tanA＝，
∵A∈（0，π），
∴A＝．
（2）∵cs（B﹣C）＝2sinBsinC﹣csC，
∴csBcsC+sinBsinC＝2sinBsinC﹣csC，可得csBcsC＝sinBsinC﹣csC，
∴csC＝sinBsinC﹣csBcsC＝﹣cs（B+C）＝csA，
∵A，C∈（0，π），A＝，a＝2，
∴C＝A＝，B＝π﹣A﹣C＝，c＝a＝2，
∴△ABC的面积S＝acsinB＝×2×2×＝．
19．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别AB，VA的中点．
（Ⅰ）求证：VB∥平面MOC；
（Ⅱ）求三棱锥V﹣ABC的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB．
又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
所以VB∥平面MOC．…（4分）
解：（Ⅱ）因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．
又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB．
在等腰直角三角形ACB中，，所以AB＝2，OC＝1．
所以等边三角形VAB的面积．
又因为OC⊥平面VAB，
所以三棱锥C﹣VAB的体积V＝＝．
又因为三棱锥V﹣ABC的体积与三棱锥C﹣VAB的体积相等，
所以三棱锥V﹣ABC的体积为．…（12分）
20．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，
（1）试求椭圆M的方程；
（2）若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点，点为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问：k1+k2是否为定值？请证明你的结论．
【解答】解：∵椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，
∴a＝2，c＝1，b＝，
∴椭圆M的方程为．
（2）设直线l的方程为：，C（x1，y1），D（x2，y2），
联立直线l的方程与椭圆方程，得：
①代入②，得：，
化简，得：x2+bx+b2﹣3＝0，③
当Δ＞0时，即b2﹣4（b2﹣3）＞0，
即|b|＜2时，直线l与椭圆有两交点，
由韦达定理，得：，
∴＝，
＝，
∴k1+k2＝+
＝
＝＝0，
∴k1+k2为定值．
21．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）f′（x）＝6x2﹣2ax＝6x（x﹣）．
令f′（x）＝6x（x﹣）＝0，解得x＝0，或．
①a＝0时，f′（x）＝6x2≥0，函数f（x）在R上单调递增．
②a＞0时，函数f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减．
③a＜0时，函数f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，在（，0）上单调递减．
（2）由（1）可得：
①a≤0时，函数f（x）在[0，1]上单调递增．则f（0）＝b＝﹣1，f（1）＝2﹣a+b＝1，解得b＝﹣1，a＝0，满足条件．
②a＞0时，函数f（x）在[0，]上单调递减．
≥1，即a≥3时，函数f（x）在[0，1]上单调递减．则f（0）＝b＝1，f（1）＝2﹣a+b＝﹣1，解得b＝1，a＝4，满足条件．
③0＜＜1，即0＜a＜3时，函数f（x）在[0，）上单调递减，在（，1]上单调递增．则最小值f（）＝﹣a×+b＝﹣1，
化为：﹣+b＝﹣1．而f（0）＝b，f（1）＝2﹣a+b，∴最大值为b或2﹣a+b．
若：﹣+b＝﹣1，b＝1，解得a＝3＞3，矛盾，舍去．
若：﹣+b＝﹣1，2﹣a+b＝1，解得a＝±3，或0，矛盾，舍去．
综上可得：存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1．
a，b的所有值为：，或．
22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的非负半轴重合，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ﹣）＝，曲线C的参数方程为：为参数）．
（1）写出直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，
∴ρ（sinθ﹣csθ）＝，
∴，
∴x﹣y+1＝0．
（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．
得
（x﹣2）2+y2＝4，
它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，
圆心到直线的距离为：
d＝，
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值＝．