专题1.12一元二次方程的应用八大题型专项训练-【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】（原卷版+解析版）

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【例1】（2022·江苏·九年级专题练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
【答案】(1)该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%
(2)没有超过4万件，见解析
【解析】
【分析】
（1）设月平均增长率为x，利用2021年12月的销量=2021年10月的销量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用2022年1月的销量=2021年12月的销量×（1+月平均增长率），即可求出2022年1月“冰墩墩”的销量．
(1)
设月平均增长率为x，
根据题意，得3（1+x）2＝3.63，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1 （不合题意，舍去）．
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
(2)
假设保持相同的月平均增长率，那么2022年1月“冰墩墩”的销量为：3.63×（1+10%）＝3.63×1.1＝3.993（万件）．
3.993＜4
答：2022年1月“冰墩墩”的销量没有超过4万件．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
【变式1..1】（2020·江苏·南京市金陵汇文学校九年级阶段练习）2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
(1)求三、四这两个月销售风的月平均增长率；
(2)为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
【答案】(1)25%
(2)当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元
【解析】
【分析】
（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据题目已知条件列出方程即可求解；
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为400+40y袋，根据题目已知条件得出14-y-8400+40y=1920，解方程即可得出结果．
(1)
解：设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：2561+x2=400，
解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%；
(2)
解：设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为400+40y袋，
依题意，得：14-y-8400+40y=1920，
化简，得：y2+4y-12=0，
解得：y1=2，y2=-6（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目意思正确的列出方程是解题的关键．
【变式1.2】（2022·江苏南通·八年级期末）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册．
(1)求这两年藏书的年平均增长率；
(2)该校期望2022年底藏书量达到8.6万册，按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗?请通过计算说明．
【答案】(1)20%
(2)能实现，见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，解此方程即可解答；
（2）由（1）中的增长率解出2022年的藏书量，再与8.6万册作比较即可解答．
(1)
解：设这两年藏书的年平均增长率为x，
根据题意得，5（1+x）2=7.2
解得x1=0.2，x 2=-2.2（舍去）
答：这两年藏书的年平均增长率为20%；
(2)
7.2×（1+20%）=8.64（万册）
因为8.64>8.6
所以按照（1）中藏书的年平均增长率，该校期望2022年底藏书量达到8.6万册目标能实现．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式1.3】（2022·江苏盐城·一模）3月初某商品价格下跌，每件价格下跌20％，用3000元买到的该商品件数比下跌前多25件．3月下旬该商品开始涨价，经过两次涨价后，该商品价格为每件29.04元．
(1)求3月初该商品下跌后的价格；
(2)若该商品两次涨价率相同，求该商品价格的平均涨价率．
【答案】(1)3月初该商品价格下跌后变为每件24元．
(2)该商品价格的平均涨价率为10％．
【解析】
【分析】
根据题意可知等量关系：下跌后能购买的件数－下跌前能购买的件数等于25，根据等量关系列出方程求解即可；
根据题意可知：初始价格×（1+涨价率）×（1+涨价率）=29.04，根据题意列出方程即可．
(1)
解：3月初该商品价格原价为每件x元．
根据题意，得：3000(1-20％)x-3000x=25，解得x=30．
经检验，x=30是所列方程的解，且符合题意，
则（1－20％）x=24（元）．
答：3月初该商品价格下跌后变为每件24元．
(2)
解：设该商品价格的平均涨价率为y．
根据题意，得：24(1+y)2=29.04，
解得y1=0.1=10％，y2=-2.1（舍去）．
答：该商品价格的平均涨价率为10％．
【点睛】
本题考查用分式方程解决商品销售问题，一元二次方程解决增长率问题，能够根据题意累出等量关系是解决本题的关键．
【知识点2】传播问题
【例2】（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0．
【答案】R0的值为5
【解析】
【分析】
由题意知第二个周期后共有1+R0+1+R0×R0个人感染，可列方程1+R0+1+R0×R0=36，计算求出符合要求的解即可．
【详解】
解：由题意知，在第一个周期后共有1+R0个人感染
第二个周期后共有1+R0+1+R0×R0个人感染
∴可列方程1+R0+1+R0×R0=36
∴1+R02=36
解得R0=5或R0=-7（舍去）
∴新冠病毒的基本传染数R0为5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
【变式2.1】（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级阶段练习）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？
【答案】每轮传染中平均每个人传染了15个人．
【解析】
【分析】
设每轮传染中平均每个人传染了x个人，第一轮后一共携带病毒者有(x+1)人，第二轮每人又传染了x人，第二轮一共携带病毒者有（x +1）x，两轮病毒携带者相加共有256，列方程求解即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
根据题意，得：（x+1）2=256，
直接开平方得x+1=±16，
解得x 1=15，x 2=-17，
经检验都是原方程的根，但x 2=-17＜0不符合实际（舍去），
答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
【点睛】
本题考查一元二次方程解应用题，掌握一元二次方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系第一轮后一共携带病毒者有(x+1)人，第二轮一共携带病毒者有（x +1）x，两轮相加=256列方程是解题关键．
【变式2.2】（2020·江苏宿迁·九年级阶段练习）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【答案】（1）每轮传染中平均每个人传染了12个人；（2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【解析】
【分析】
（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有169人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+12），即可求出结论．
【详解】
解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2.3】（2011·江苏南通·九年级期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
【答案】每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台．
【解析】
【分析】
根据题意可直接设每轮传染x台，从而列出两轮后共计传染数量为1+x2台，建立一元二次方程求解即可，求出每轮传染数之后即可判断三轮传染之后的总数，即可得出结论．
【详解】
设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑．
根据题意可列：1+x+x1+x=81，
解得：x1=8，x2=-10（舍去）．
∴3轮感染后，被感染得电脑为：81+81×8=729>700．
答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意准确列出一元二次方程是解题关键．
【知识点3】营销问题
【例3】（2022·江苏·九年级）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
(1)解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为________；
方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：________．
(2)请你选择一种方法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)(60﹣x﹣40)(100+10x)＝2240，(x﹣40)[100+10(60﹣x)]＝2240
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由（1）可结合一元二次方程的解法进行求解即可．
(1)
解：方法1：设每千克特产应降价x元．根据题意，得
(60﹣x﹣40)(100+10x)＝2240．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
(x﹣40)[100+10(60﹣x)]＝2240，
故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；
(2)
方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得x1＝4，x2＝6．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6，
60﹣6＝54元，
答：每千克特产应定价54元．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240
解得x1＝54，x2＝56．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54，
答：每千克特产应定价54元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
【变式3.1】（2021·江苏扬州·九年级期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元．
(1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）
(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
(3)平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．
【答案】(1)每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元
(2)每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元
(3)平均每天盈利不能达到2000元，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出所求代数式即可；
（2）根据每件盈利×每天销售量=每天盈利列出方程求解即可；
（3）根据单件利润×销售量=总利润列出方程求解即可作出判断．
(1)
解：由题意，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元；
(2)
解：由题意，（40-x）（20+2x）=1200，
整理，得：x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
∵适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，
∴x=20，
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元．
(3)
解：平均每天盈利不能达到2000元，理由为：
由（40-x）（20+2x）=2000，整理，得：x2-30x+600=0，
∵△=（-30）2-4×1×600=-1500＜0，
∴所列方程无实数根，
故平均每天盈利不能达到2000元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
【变式3.2】（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以80元/千克收购了这种土特产2000千克，若立即销往外地，每千克可以获利20元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过60天，在贮藏过程中平均每天损耗5千克．
(1)若商家将这批土特产贮藏x天后一次性出售，请完成下列表格：
(2)将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润50000元？
【答案】(1)100；（100+0.4x）；（2000-5x）
(2)50
【解析】
【分析】
（1）根据题意，若立即出售，则每千克土特产售价=每千克土特产进价+每千克土特产利润，可得立即出售的售价；由该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，可得x天后出售，每千克土特产售价为：（100+0.4x）元．同理可得，x天后出售，可供出售的土特产的质量为（2000-5x）千克．
（2）设这批土特产贮藏x天后一次性出售最终可获得总利润50000元，根据总利润=总销售金额-总成本，列出相应方程，解方程，最后根据这批土特产的贮藏时间不宜超过60天，得到贮藏天数．
(1)
解：∵该店以80元/千克收购了这种土特产，
又∵若立即销往外地，每千克可以获利20元，
∴收购土特产后立即出售，每千克土特产售价为：80+20=100（元）．
∵该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，
∴若x天后出售，每千克土特产售价为：（100+0.4x）元．
∵在贮藏过程中平均每天损耗5千克，该店一共收购了2000千克土特产，
∴若x天后出售，可供出售的土特产质量为：（2000-5x）千克．
(2)
解：设这批土特产贮藏x天后一次性出售最终可获得总利润50000元，
由（1）可得，100+0.4x2000-5x-80×2000=50000，
化简得，x2-150x+5000=0，
解得，x1=50，x2=100，
∵这批土特产的贮藏时间不宜超过60天，
∴x=100不符合题意，应舍去，
∴x=50，
答：设这批土特产贮藏50天后一次性出售最终可获得总利润50000元．
【点睛】
本题考查了销售问题中相关量的关系以及运用一元二次方程解决相关销售问题，正确理解总利润的表示方法是解题的关键．注意本题第二问在解出方程后，还需要联系题设条件舍去不符合题意的方程的根．
【变式3.3】（2022·江苏无锡·八年级期末）某网店第一次用17500元购进一批医用外科口罩，很快销售一空，第二次又用40000元购进该医用外科口罩，但这次每盒的进价比第一次进价多5元，购进数量则是第一次的2倍．
(1)第一次每盒医用外科口罩的进价是多少元？
(2)该网店发现：每盒售价为60元时，每星期可卖300盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．该网店某星期销售该款口罩获得了6480元的毛利润，该款口罩每盒成本为第二次的进价，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？[毛利润=（售价-进价）×销售量]
【答案】(1)35
(2)540盒或360盒
【解析】
【分析】
（1）设第一次每盒医用外科口罩进价x元，则第二次进价（x+5）元，根据题意列分式方程即可求解；
（2）设降价y元，根据题意列一元二次方程，解方程即可求解．
(1)
解：设第一次每盒医用外科口罩进价x元，则第二次进价（x+5）元
17500x×2=40000x+5
解得：x=35
经检验，x=35是所列方程的解，且符合题意
答：第一次每盒医用外科口罩的进价是35元．
(2)
解：第二次成本价为40元
设降价y元
(60-y-40)(300+30y)=6480
解得：y1＝8，y2＝2
则销售量为：300+30×8＝540（盒），或300+30×2＝360（盒）．
答：销售该款口罩540盒或360盒时该网店某星期获得了6480元的利润．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【知识点4】面积问题
【例4】（2022·江苏泰州·中考真题）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？
【答案】4
【解析】
【分析】
根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．
【详解】
解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
答：道路的宽应为4米．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．
【变式4.1】（2022·江苏徐州·九年级期末）如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．
【答案】剪去的正方形的边长为1
【解析】
【分析】
根据题意设出未知数，根据矩形铁皮的长与宽，以及底面面积列出三组等式解方程组即可．
【详解】
设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为62﹣x＝（3﹣x）cm，
依题意得：（5﹣2x）（3﹣x）＝6，
整理得：2x2﹣11x+9＝0，
解得：x1＝1，x2＝92，
当x＝1时，5﹣2x＝3，3﹣x＝2，符合题意；
当x＝92时，5﹣2x＝﹣4＜0，不合题意，舍去．
答：剪去的正方形的边长为1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，三元方程组解法，关键在于设多个未知数，利用代数表示列出方程．
【变式4.2】（2022·江苏南京·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．
(1)求小路的宽度．
(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】(1)小路的宽度是2m；
(2)每次降价的百分率为20%
【解析】
【分析】
（1）设小路的宽度为xm，根据总面积为480列方程求解即可；
（2）设每次降价的百分率为y，根据等量关系列方程50（1－y）2=32解方程即可求解．
(1)
解：设小路的宽度为xm，根据题意，
得：（20+2x）（16+2x）=480，
整理得： x2+18x－40＝0，
解得：x1=2，x2=－20（舍去），
答：小路的宽度为2m；
(2)
解：设每次降价的百分率为y，根据题意，
得：50（1－y）2=32，
解得：y1＝0.2，y2＝1.8（舍去），
答：每次降价的百分率为20%．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．
【变式4.3】（2021·江苏徐州·九年级期中）一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮
(1)如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，请求出切去的正方形的边长
(2)由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料．若折出的是底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同），设裁剪下的小正方形边长为ycm，则根据题意可列方程为 ；
【答案】(1)3cm
(2)302-y12-2y=104
【解析】
【分析】
（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30-2x）cm，宽为（12-2x）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可；
（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长为302-ycm，宽为（12-2y）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程．
【小题1】
解：设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30-2x）cm，宽为（12-2x）cm的矩形，
依题意，得：（30-2x）（12-2x）=144．
解得：x=3或x=18（舍），
∴切去的正方形的边长为3cm；
【小题2】
设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长为302-ycm，宽为（12-2y）cm的矩形，
依题意，得：302-y12-2y=104．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【知识点5】动态几何问题
【例5】（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
(1)BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
【答案】(1)（12﹣2t）；4t
(2)t＝2或4
【解析】
【分析】
（1）根据速度×时间=路程，列出代数式即可；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．
(1)
根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm．
故答案是：（12﹣2t）；4t．
(2)
如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠B＝90°，即AB⊥BC，
∴AB∥DH，
又∵D是AC的中点，
∴BH=12BC＝12cm，DH是△ABC的中位线，
∴DH=12AB＝6cm，
根据题意，得12×12×24-12×4t×（12﹣2t）-12×（24﹣4t）×6-12×2t×12＝40，
整理，得t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4，
即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
【变式5.1】（2021·江苏苏州·九年级期中）如图，已知AB⊥BC，AB＝12 cm，BC＝8 cm．动点M从点A沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动，同时动点N从点C沿CB方向以1 cm/s的速度也向点B运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止．当△MNB的面积为24 cm2时，求它们运动的时间．
【答案】运动时间为2s
【解析】
【分析】
根据题意可知CN=tcm，AM=2t cm，BN=8-tcm，BM=12-2t cm，根据S△MNB=12BM×BN=12×12-2t×8-t=24计算求出满足题意的解即可．
【详解】
解：根据题意可知CN=tcm，AM=2t cm，
∴BN=8-tcm，BM=12-2t cm，
∵△MNB的面积为24cm2，
∴S△MNB=12BM×BN=12×12-2t×8-t=24，
整理得：t2-14t+24=0，
解得：t1＝2，t2＝12（不合题意，舍去）
∴运动的时间为2s．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于表示出线段BN、BM的长度．
【变式5.2】（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点B开始沿BC向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CA向点A以2cm/s的速度运动，P，Q同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为ts．
（1）下列说法正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
①PQ可以平分△ABC的周长；
②PQ可以平分△ABC的面积．
（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于7cm2？
【答案】（1）②；（2）t＝1．
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理得AB＝10cm，当PQ平分△ABC的周长时，8﹣t+2t＝12，得t＝4＞2（舍），当12×（8﹣t）×2t＝12时，可知t＝2时，PQ可以平分△ABC的面积；
（2）由题意知S△PCQ=12(8-t)×2t＝7，即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵AC=6,点Q以2cm/s的速度运动,则t≤62=3
∵∠C＝90°，
由勾股定理得：AB＝62+82=10(cm)，
当8﹣t+2t＝12时，
∴t＝4＞2（舍），
当12×（8﹣t）×2t＝12时，
解得t＝2或t＝6（舍），
∴t＝2时，PQ可以平分△ABC的面积，
故答案为：②；
（2）①由题意知：CP＝（8﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S△PCQ=12(8-t)×2t=7，
解得：t＝1或7（舍去），
∴当t＝1时，△PCQ的面积等于7cm2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是解题的关键．
【变式5.3】（2021·江苏·连云港市新海初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．
（1）2秒时，△MCN的面积是____________；
（2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2；
（3）试说明△MCN外接圆的半径能否是3cm．
【答案】（1）4cm2（2）1秒或3秒（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用勾股定理计算出AC＝8，然后根据三角形面积公式计算；
（2）设经过x秒，利用三角形面积公式得到12（8−2x）•x＝3，然后解方程即可；
（3）利用圆周角定理得到MN为△MCN外接圆的直径，假设△MCN外接圆的半径为3cm，则MN＝23cm，利用勾股定理得到（8−2t）2＋t2＝（23）2，整理得5t2−32t＋52＝0，然后根据判别式的意义判断方程没有实数解，从而判断△MCN外接圆的半径不能是3cm．
【详解】
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝102-62＝8，
根据题意得，AN＝4，CM＝2，
∴CN＝4，
∴S△CMN＝12×4×2＝4（cm2）；
故答案为：4cm2；
（2）设经过x秒，
根据题意得，12（8−2x）•x＝3，
解得x1＝1，x2＝3；
即经过1秒或3秒，△MCN的面积是3cm2；
（3）不能，理由如下：
∵△MNC为直角三角形，∠C＝90°，
∴MN为△MCN外接圆的直径，
假设△MCN外接圆的半径为3cm，则MN＝23cm，
设M点运动的时间为t秒，则NC＝8−2t，CM＝t，
根据题意得，（8−2t）2＋t2＝（23）2，
整理得5t2−32t＋52＝0，
∵△＝（−32）2−4×5×52＝−16＜0，
∴原方程没有实数解，
∴△MCN外接圆的半径不能是3cm．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点．也考查了圆周角定理和一元二次方程的应用．
【知识点6】图表信息问题
【例6】（2020·江苏苏州·九年级期末）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？
【答案】参加旅游的人数40人.
【解析】
【分析】
首先设有x人参加这次旅游，判定x>30，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可.
【详解】
设有x人参加这次旅游
∵30×800=2400030
依题意得：x800-x-301×10=28000
解得：x1=40，x2=70
当x1=40时，800-x-301×10=700>500，符合题意.
当x2=70时，800=x-301×10=400