北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)单元质检卷八　立体几何

这是一份北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)单元质检卷八　立体几何，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.(2021黑龙江大庆中学高三月考)已知直线l,m,n与平面α,β,下列命题正确的是( )
A.若α∥β,l⫋α,n⫋β,则l∥n
B.若α⊥β,l⫋α,则l⊥β
C.若l⊥n,m⊥n,则l∥m
D.若l⊥α,l∥β,则α⊥β
答案:D
解析:A.若α∥β,l⫋α,n⫋β,则l∥n或l与n异面,故A不正确;B.缺少l垂直于α与β的交线这个条件,不能推出l⊥β,故B不正确;C.由垂直关系可知,l∥m或l,m相交,或l与m异面,故C不正确;D.因为l∥β,所以平面β内存在直线m∥l,若l⊥α,则m⊥α,且m⫋β,所以α⊥β,故D正确.
2.(2021云南昭通模拟)已知A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,则|PD|=( )
A.13B.23
C.773D.63
答案:C
解析:设P(x,y,z),则AP=(x-1,y-2,z-1),PB=(-1-x,3-y,4-z).
由AP=2PB,知x=-13,y=83,z=3,即P-13,83,3,所以PD=43,-53,-2,
所以|PD|=(43) 2+(-53) 2+(-2)2=773.
3.(2021广西南宁三中高三月考)某几何体的三视图如图所示,已知图中圆的半径都为1,则此几何体的体积为( )
A.π4B.π2C.3π4D.π
答案:D
解析:由几何体的三视图可知,该几何体为34个球,则该几何体的体积为34×43π×13=π.
4.如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形O'A'B'C',则原平面图形的周长和面积分别为( )
A.2a,24a2
B.8a,22a2
C.a,a2
D.2a,2a2
答案:B
解析:由直观图可得原图形,
∴OA=BC=a,OB=22a,∠BOA=90°,
∴AB=OC=3a,原图形的周长为8a,原图形的面积为S=a·22a=22a2.
5.(2021全国甲,理6)在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,主视图如图所示,则相应的左视图是( )
答案:D
解析:由题意还原该正方体的直观图如图所示,该多面体的三视图中,相应的左视图为D.
6.(2021吉林长春外国语学校月考)如图,在三棱锥S-ABC中,点E,F分别是SA,BC的中点,点G在EF上,且满足EGGF=12,若SA=a,SB=b,SC=c,则SG=( )
A.13a-12b+16c
B.13a+16b+16c
C.16a-13b+12c
D.13a-16b+12c
答案:B
解析:SG=SE+EG=12SA+13EF=12SA+13(ES+SC+CF)=12SA+16AS+13SC+16CB=13SA+13SC+16(CS+SB)=13SA+16SB+16SC=13a+16b+16c.
7.(2021四川资阳适应性考试)冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器,图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体,若圆锥部分的侧面展开图是面积为9π2 cm2的半圆形,则该冰激凌的体积为( )
A.18+938π cm3B.9+1838π cm3
C.9+934π cm3D.9+634π cm3
答案:A
解析:设圆锥的底面半径为r cm,高为h cm,母线长为R cm,根据题意,可得πR22=9π2,2πr=πR,解得R=3,r=32,所以h=R2-r2=332(cm),故该冰激凌的体积V=13πr2h+12×4πr33=18+938π(cm3).
8.(2021海南海口模拟)图1中的机械设备叫作“转子发动机”,其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”,图2是一个曲侧面三棱柱,它的侧棱垂直于底面,底面是“莱洛三角形”,莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心,正三角形的边长为半径画圆弧得到的,如图3.若曲侧面三棱柱的高为10,底面任意两顶点之间的距离为20,则其侧面积为( )
A.100πB.600C.200πD.300π
答案:C
解析:莱洛三角形由三段半径为20,圆心角为π3的圆弧构成,所以该零件底面周长为3×π3×20=20π,故其侧面积为200π.
9.(2021山东烟台高三检测)降雨量是气象部门观测的重要数据,日降雨量是指一天内降落在地面单位面积雨水层的深度(单位:毫米).我国古代就有关于降雨量测量方法的记载,古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:天池盆(圆台形状)盆口直径二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是几寸注:一尺等于十寸,一寸等于103厘米?已知某隧道的积水程度与日降水量的关系如下表所示:
如果某天该隧道的日降水量按照“天池盆测雨”题中数据计算,则该隧道的积水程度为( )
A.一级B.二级C.三级D.四级
答案:C
解析:∵盆深一尺八寸,盆中积水深九寸,∴水刚好积在天池盆的中间处,则积水的水面直径为28+122=20(寸),即半径为10寸,则积水的体积V=13(π×102+π×102×π×62+π×62)×9=588π(立方寸),
∵天池盆口的面积为π×142=196π(平方寸),
∴平地降雨量为588π196π=3(寸),即3×103=10(厘米),即100毫米,则该隧道的积水程度为三级.
10.(2021四川自贡三模)已知四面体P-ABC中,∠PAC=∠PBC=∠ABC=90°,且AB=2.若四面体P-ABC的外接球体积为36π,则当该四面体的体积最大时,BC=( )
A.2B.4C.6D.8
答案:B
解析:如图,
由∠PAC=∠PBC=∠ABC=90°,得PA⊥AC,PB⊥BC,AB⊥BC,又PB∩AB=B,
∴BC⊥平面PAB,则BC⊥PA,又AC∩BC=C,∴PA⊥平面ABC.取PC中点O,可得OA=OB=OP=OC,则O为四面体P-ABC的外接球的球心,设外接球的半径为R,由外接球体积为36π,得43πR3=36π,即R=3.
∴PC=2R=6.又AB=2,设PA=a,BC=b,则PA2+AC2=PA2+AB2+BC2=36,即a2+b2=32.
∴VP-ABC=13·12·2b·a=13ab≤13·a2+b22=163.当且仅当a=b=4时,等号成立.
11.(2021浙江绍兴高三期末)如图,在矩形ABCD中,BC=1,AB=x,BD和AC交于点O,将△BAD沿直线BD翻折,下列说法中错误的是( )
A.存在x,在翻折过程中存在某个位置,使得AB⊥OC
B.存在x,在翻折过程中存在某个位置,使得AC⊥BD
C.存在x,在翻折过程中存在某个位置,使得AB⊥平面ACD
D.存在x,在翻折过程中存在某个位置,使得AC⊥平面ABD
答案:D
解析:当AB=x=1时,矩形ABCD为正方形,则AC⊥BD,将△BAD沿直线BD翻折,若使得平面ABD⊥平面BCD时,由OC⊥BD,OC⫋平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以OC⊥平面ABD,又AB⫋平面ABD,所以AB⊥OC,故选项A正确.又OC⊥BD,OA⊥BD,且OA∩OC=O,所以BD⊥平面OAC,又AC⫋平面OAC,所以AC⊥BD,故选项B正确.对于选项C,在矩形ABCD中,AB⊥AD,AC=1+x2,所以将△BAD沿直线BD翻折时,总有AB⊥AD,取x=12,当将△BAD沿直线BD翻折到AC=32时,有AB2+AC2=BC2,即AB⊥AC,且AC∩AD=A,则此时满足AB⊥平面ACD,故C正确.对于选项D,若AC⊥平面ABD,又AO⫋平面ABD,则AC⊥AO,所以在△AOC中,OC为斜边,这与OC=OA相矛盾,故D错误.
12.(2021河南新乡二模)正四面体ABCD的棱长为1,点P是该正四面体内切球球面上的动点,当PA·PD取得最小值时,点P到AD的距离为( )
A.32-612B.6-312
C.22-312D.24
答案:A
解析:因为四面体ABCD是棱长为1的正四面体,所以其体积为13×12×1×1×32×63=212.设正四面体ABCD内切球的半径为r,则4×13×12×1×1×32×r=212,得r=612.
如图,取AD的中点为E,
则PA·PD=(PE+EA)·(PE+ED)=PE2+PE·(EA+ED)+EA·ED=PE2−14.
显然,当PE的长度最小时,PA·PD取得最小值.
设正四面体的内切球的球心为O,可求得OA=OD=64.
因为球心O到点E的距离d=OA2-AE2=(64) 2-(12) 2=24,所以球O上的点P到点E的最小距离为d-r=24−612=32-612,即当PA·PD取得最小值时,点P到AD的距离为32-612.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2021山东济南二模)已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍,则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为 .
答案:60°
解析:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,圆锥的母线与其底面所成的角为θ,则πrl=2πr2,
∴rl=12,∴cs θ=12.又θ∈[0°,90°],∴θ=60°.
14.(2021广东韶关能力测试)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与B1C所成角的正切值为2,则该长方体的体积为 .
答案:4或83
解析:如图,设AA1=a(a>0),则A(0,0,0),C1(2,2,a),B1(2,0,a),C(2,2,0),
所以AC1=(2,2,a),B1C=(0,2,-a),由AC1与B1C所成角的正切值为2,
可知AC1与B1C所成角的余弦值为11+22=15=55,
则55=AC1·B1C|AC1||B1C|=4-a28+a2·4+a2,
所以a2=1或a2=12,即a=1或a=23,
所以长方体的体积为2×2×1=4或2×2×23=83.
15.某工厂现将一棱长为3的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件,则该圆柱体体积的最大值为 .
答案:2π27
解析:圆柱体体积最大时,圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心O',圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N在侧面的中线AM上.
∵正四面体棱长为3,∴BM=32,O'M=12,BO'=1,
∴AO'=2,设圆柱的底面半径为r,高为h,则0