高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)第2章一元二次函数、方程和不等式章末测试(提升)(原卷版+解析)

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1．（2022·全国·专题练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
2．（2022·四川成都）下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·安徽·合肥已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为3
B．若，，，则的最小值为5
C．若，，，则xy的最小值为1
D．若，，，则的最小值为
5．（2022·北京·101）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（ ）
A．30B．60C．900D．1800
6．（2022·山西现代双语学校南校）已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．ab的最大值为
C．的最小值为4D．的最小值为
7．（2022·广东深圳·高一期末）设a，bR，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．B．不等式的解集为
C．D．不等式的解集为
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·江西·丰城九中高二阶段练习）如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．当时，或
11．（2022·全国·模拟预测）现将一条长为10的细绳截成两段，分别围成一个正方形以及一个三边长的比例为3:4:5的三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．两个图形的面积之和的最小值为
B．两个图形的面积之积的最大值为
C．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长的取值范围是
D．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长与三角形周长之比的最大值为
12．（2021·江苏·高一专题练习）已知方程及分别各有两个整数根，及，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．，，，
B．
C．
D．
第II卷（非选择题）
三．填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2022·天津河北·二模）已知，，且，则的最大值为___________．
14．（2022·上海·格致中学高一期末）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是___________.
15．（2022·江苏·高一）若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是_______．
16．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）______
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（理））某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．
(1)据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？
(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．
18．（2022·江苏·高一）已知
(1)求二次函数的值域：
(2)当时，若二次函数的值恒大于0，求a的取值范围．
19．（2021·江西·上饶市第一中学）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12.
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式.
20．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高二阶段练习）已知不等式．
(1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，求实数x的取值范围．
21．（2022·江苏）已知函数．
(1)若函数有最大值，求实数a的值；
(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)解关于x的不等式．
22．（2022·浙江）设二次函数．
(1)若，且在上的最大值为，求函数的解析式；
(2)若对任意的实数b，都存在实数，使得不等式成立，求实数c的取值范围．
第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试（提升）
第I卷（选择题）
单选题(每题5分，8题共40分)
1．（2022·全国·专题练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵不等式在R上恒成立，
∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,故选:A.
2．（2022·四川成都）下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A.当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立；故错误；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，当且仅当，即时，等号成立，故正确故选：D
3．（2022·安徽·合肥已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，，则，
即，
∴
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故选：A.
4．（2021·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为3
B．若，，，则的最小值为5
C．若，，，则xy的最小值为1
D．若，，，则的最小值为
【答案】D
【解析】选项A：，当且仅当时可以取等号，
但题设条件中，故函数最小值取不到3，故A错误；
选项B：若，，，
则，当且仅当时不等式可取等号，故B错误；
选项C：当且仅当时取等号，
令，，解得，即，故xy的最大值为1，故C错误；
选项D：，，
，
当且仅当时取等号，
又因为，故时等号成立，
即最小值可取到， 故D正确．
故选：D．
5．（2022·北京·101）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（ ）
A．30B．60C．900D．1800
【答案】B
【解析】， ，，当且仅当，即当时等号成立.所以f（Q）的最小值是60.故选：B.
6．（2022·山西现代双语学校南校）已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．ab的最大值为
C．的最小值为4D．的最小值为
【答案】C
【解析】由题意，不等式的解集为，
可得，且方程的两根为和，
所以，所以，，
所以，所以A正确；
因为，，所以，可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确；
由，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，所以C错误；
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确．
故选：C．
7．（2022·广东深圳·高一期末）设a，bR，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，则，所以，即，故A错误；
因为，所以，则，
所以，即，
∴，，即，故B错误；
∵由，因为，所以，又因为，所以，即，故C错误；
由可得，，故D正确.
故选：D.
8．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．B．不等式的解集为
C．D．不等式的解集为
【答案】B
【解析】因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】，，A错；，
，
成立，即B正确；，
得，当且仅当时取等号，同理，，
当且仅当时取等号，又，
即不同时等于1，，C正确；
当时，，D错.故选：BC
10．（2021·江西·丰城九中高二阶段练习）如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．当时，或
【答案】ABC
【解析】因为二次函数的图象的对称轴为，所以得，故A正确；
当时，，故B正确；
该函数图象与轴有两个交点，则，故C正确；
因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为，所以当时，或，故D错误.故选：ABC.
11．（2022·全国·模拟预测）现将一条长为10的细绳截成两段，分别围成一个正方形以及一个三边长的比例为3:4:5的三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．两个图形的面积之和的最小值为
B．两个图形的面积之积的最大值为
C．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长的取值范围是
D．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长与三角形周长之比的最大值为
【答案】AB
【解析】设将长为10的细绳截成两段后的长分别为x，y．将长度为x的细绳围成正方形，其面积为．将长度为y的细绳围成三边长的比例为3:4:5的直角三角形，即三边长分别为，，，其对应的面积为．两个图形的面积之和．
又，所以，当时，S取到最小值，最小值为，故选项A正确；
两个图形的面积之积．由基本不等式得，则，即Z的最大值为，当且仅当时，等号成立，故选项B正确；
令，解得，故选项C错误；
正方形与三角形周长之比为，显然不存在最大值，故选项D错误.
故选：AB．
12．（2021·江苏·高一专题练习）已知方程及分别各有两个整数根，及，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．，，，
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A：由知，与同号．
若，则，这时，
所以，
此时与矛盾，
所以，．
同理可证，故A正确；
对于B：根据题意可知，
，，，解得．
同理，
，
即，故B不正确，D正确；
对于C：由A知，，，，是整数，所以，．
由韦达定理有，
所以，故C正确；故选：ACD．
第II卷（非选择题）
三．填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2022·天津河北·二模）已知，，且，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】因为，，且，
所以
又，当且仅当，即时取等号，
，当且仅当，即时取等号，
所以，则，
即，当且仅当、时取等号；故答案为：
14．（2022·上海·格致中学高一期末）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的实数根，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是
故答案为：
15．（2022·江苏·高一）若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是_______．
【答案】①④⑥
【解析】因为，则，所以，即，故①正确；
由，不等式两边同时乘时，，对于，两边同乘，可得，故，即，则②错误；
因为，所以，则，所以，即，则③错误；
由，不等式边同时乘，得，故④正确；
由，因为，所以，又因为，所以，即，故⑤错误；
由可得，，故⑥正确；
因此，正确结论的序号是①④⑥.
故答案为：①④⑥.
16．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）______
【答案】
【解析】由
，当且仅当时等号成立
故答案为：
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（理））某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．
(1)据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？
(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．
【答案】(1)元
(2)改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件
【解析】(1)设每件定价为元，则，
整理得，要满足条件，每件定价最多为元；
(2)
由题得当时：有解，即：有解．
又，当且仅当时取等号，
即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件
18．（2022·江苏·高一）已知
(1)求二次函数的值域：
(2)当时，若二次函数的值恒大于0，求a的取值范围．
【答案】(1)[0，](2)
【解析】(1)等价于，．解得所以．
∴二次函数，
函数在区间单调递增，所以当时，y取最大值为，
当时，y取最小值为0， 所以二次函数．的值域是[0，]．
(2)由（1）知
∵恒成立．即恒成立．∴恒成立． ．
∵．∴
∵，∴．
当且仅当且时，即时，等号成立，．∴，故a的取值范围为
19．（2021·江西·上饶市第一中学）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12.
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)(2)详见解析.
【解析】(1)因为是二次函数，不等式的解集是，
所以，
又在区间上的最大值是12，
所以，解得，所以；
(2)由（1）知不等式为，
即，
因为，即为，
当时，，所以或，
当时，则；
当时，，所以或，
综上：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集是.
20．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高二阶段练习）已知不等式．
(1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，求实数x的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)当时，不等式为，解得，显然不符合题意；
当时，由已知，得 即 解得,
综上，实数a的取值范围为
(2)原不等式可化为，
设，
由题意，当， 恒成立，
所以 ，即 ,
解得，
所以实数x的取值范围为
21．（2022·江苏）已知函数．
(1)若函数有最大值，求实数a的值；
(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)
(3)分类讨论，答案见解析.
【解析】(1)解：根据题意，函数，，
因为函数有最大值，则有且，解得；
(2)因为不等式恒成立，
当时，恒成立，
当时，必有，解得，综上：，即a的取值范围为；
(3)，即，
变形可得，
时，原不等式为，解得，此时不等式的解集为；
时，，
时，，方程无解，此时不等式的解集为R，
当时，不等式为，此时不等式的解集为，
当时，，方程有两个不等的实根，即，且，
此时不等式的解集为或；
时，，方程有两个不等的实根，即，且，
此时不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为R．
22．（2022·浙江）设二次函数．
(1)若，且在上的最大值为，求函数的解析式；
(2)若对任意的实数b，都存在实数，使得不等式成立，求实数c的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或.
【解析】(1)若，则，
当时
故，解得：，故.
(2)由题意得：存在，使.
设，，则只需 对任意的实数都成立.
1、当=0时，，此时不成立.
2、当时，在递增，故恒成立，故.
3、当时，在递增，故恒成立，故舍去.
4、当时，在上递减，在上递增，
若，则恒成立，故舍去.
若，则恒成立，故舍去.
5、当时，在上递减，故恒成立，故.
综上：或.
【点睛】
关键点点睛：第二问，令，，将问题转化为 对任意的实数都成立，结合分类讨论的方法求参数范围.