河南省郑州市第一中学2024届高三下学期高考考前全真模拟考试数学试题（Word版附答案）

这是一份河南省郑州市第一中学2024届高三下学期高考考前全真模拟考试数学试题（Word版附答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是−1,3，则z的共轭复数z=（ ）
A．1+3iB．1−3iC．−1+3iD．−1−3i
2．若xy≠0，则“x+y=0”是“xy+yx=−2”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知sinα−β=13,csαsinβ=16，则cs2α+2β=（ ）
A．79B．19C．−19D．−79
4．若fx=x+aln2x−12x+1为偶函数，则a=（ ）
A．−1B．0C．12D．1
5．对三组数据进行统计，获得以下散点图。关于其相关系数依次是r1,r2,r3，则它们的大小关系是（ ）

A．r1>r3>r2B．r1>r2>r3C．r2>r1>r3D．r3>r1>r2
6．已知函数fx=aex−lnx在区间1,2上单调递增，则a的最小值为（ ）
A．e2B．eC．e​−1D．e​−2
7．已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0，过实轴所在直线上任意一点Nt,0的弦的端点A,B与点Gm,0的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA=∠NGB，则m的值为（ ）
A．a​2tB．ta2C．t2D．at2
8．已知y=fx+1+1为奇函数，则f−2+f−1+f0+f1+f2+f3+f4=（ ）
A．−14B．14C．−7D．7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中，错误的为 .
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥.
10．已知M={afa=0},N={βgβ=0}，若存在α∈M,β∈N，使得α−βA．2e,4eB．1e,3e2C．3e2,4e2D．1e​2,2e​2
11．已知函数fx=xcsx−sinx，下列结论中正确的是（ ）
A．函数fx在x=π2时，取得极小值−1
B．对于∀x∈[0,π],fx≤0恒成立
C．若0D．若对于∀x∈0,π2，不等式a第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设a>0,b>0，记M为1a,b,a+3b三个数中最大的数，则M的最小值 .
13．已知双曲线C:x​2a​2−y​2b​2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1,F2. 点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B,F2A=−23F2B，则C的离心率为 .
14．如图，在三棱锥P−ABC中，点O为AB的中点，点P在平面ABC内的射影恰为OB的中点E，已知AB=2PO=2，点C到OP的距离为3，则当∠ACB最大时，直线PC与平面PAB所成角的大小为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD=1.
（1）若∠ADC=π3，求tanB；
（2）若b​2+c​2=8，求b,c.
16．已知函数fx=ae​x+a−x.
（1）讨论fx的单调性；
（2）证明：当a>0时，fx>2lna+32.
17．如图，三棱锥A−BCD中，DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60​∘，E为BC中点.
（1）证明BC⊥DA;
（2）点F满足EF=DA，求二面角D−AB−F的正弦值.
18．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，PB∣APB∣A与PB∣APB∣A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
（ⅰ）证明：R=PA|BPA|B⋅PA|BPA|B；
（ⅱ）用该数据，给出PA∣B,PA∣B的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值.
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d.
19．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λλ>0,λ≠1，λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上. 已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x​2+y​2=4，定点分别为椭圆C:x​2a​2+y​2b​2=1a>b>0的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e=12.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过右焦点F斜率为kk>0的直线l与椭圆C相交于B,D（点B在x轴上方），点S,T是椭圆C上异于B,D的两点，SF平分∠BSD,TF平分∠BTD.
（ⅰ）求BSDS的取值范围；
（ⅱ）将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为81π8，求直线l的方程.
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
90
10
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【参考答案】
2024届高三考前全真模拟考试
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D 2．C 3．B 4．B 5．A 6．C 7．A 8．C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．ABC 10．BC 11．BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2
13．355
14．π3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15．（1） 【解答】解：D为BC中点，S△ABC=3，
则S△ACD=32，
过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：
△ADE中，DE=12,AE=32,S△ACD=12⋅32CD=32，解得CD=2,
∴BD=2,BE=52，
故tanB=AEBE=3252=35；
（2） 法一：AD=12AB+AC，
AD​2=14c​2+b​2+2bccsA，
AD=1,b​2+c​2=8，
则1=148+2bccsA，
∴bccsA=−2①，
S△ABC=12bcsinA=3，即bcsinA=23②，
由①②解得tanA=−3，∴A=2π3,
∴bc=4，又b​2+c​2=8,
∴b=c=2.
法二，设∠ADC=α,
csα=1+a24−b22⋅1⋅a2，
csπ−α=a2+1−c22⋅1⋅c2，
两式化简整理可得，2+a​22−b​2−c​2=0,
b​2+c​2=8,
则a=23，
△ABC面积为3，D为BC的中点，
则S△ACD=12×1×3×sinα=32，解得sinα=1，即α=π2，
故b=c=2.
16．（1） 【解答】解：fx=ae​x+a−x,
则f​′x=ae​x−1,
①当a≤0时，f​′x<0恒成立，fx在R上单调递减，
②当a>0时，令f​′x=0得，x=ln1a,
当x∈−∞,ln1a时，f​′x<0,fx单调递减；当x∈ln1a,+∞时，f​′x>0,fx单调递增，
综上所述，当a≤0时，fx在R上单调递减；当a>0时，fx在−∞,ln1a上单调递减，在ln1a,+∞上单调递增.
（2） 证明：由（1）可知，当a>0时，fxmin=fln1a=a1a+a−ln1a=1+a2+lna,要证fx>2lna+32，只需证1+a2+lna>2lna+32,只需证a2−lna−12>0,
设ga=a2−lna−12,a>0,
则g​′a=2a−1a=2a​2−1a
令g​′a=0得，a=22,
当a∈0,22时，g​′a<0,ga单调递减，当a∈22,+∞时，g​′a>0,ga单调递增，
所以ga≥g22=12−ln22−12=−ln22>0,
即ga>0,
所以a2−lna−12>0得证，
即fx>2lna+32得证.
17．（1） 【解答】证明：连接AE,DE,
∵DB=DC,E为BC中点.
∴DE⊥BC,
又∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60​∘，
∴△ACD与△ABD均为等边三角形，
∴AC=AB,
∴AE⊥BC,AE∩DE=E,
∴BC⊥平面ADE,
∵AD⊂平面ADE,
∴BC⊥DA.
（2） 解：设DA=DB=DC=2,
∴BC=22，
∵DE=AE=2,AD=2,
∴AE​2+DE​2=4=AD​2,
∴AE⊥DE,
又∵AE⊥BC,DE∩BC=E,∴AE⊥平面BCD,
以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
D2,0,0,A0,0,2,B0,2,0,E0,0,0,
∵EF=DA,
∴F−2,0,2，
∴DA=−2,0,2,AB=0,2,−2,AF=−2,0,0,
设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1=x1,y1,z1,n2=x2,y2,z2,
则{−2x1+2z1=02y1−2z1=0，令x1=1，解得y1=z1=1,
{2y2−2z2=0−2x2=0，令y2=1，解得x2=0,x2=1,
故n1=1,1,1,n2=0,1,1,
设二面角D−AB−F的平面角为θ，
则∣csθ∣=∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣=23×2=63，
故sinθ=33,
所以二面角D−AB−F的正弦值为33.
18．（1） 【解答】解：补充列联表为：
计算K2=200×40×90−10×602100×100×50×150=24>6.635,
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2） （ⅰ） 证明：R=PB∣APB∣A:PB∣APB∣A=PB∣APB∣A⋅PB∣APB∣A=PABPAPABPA⋅PABPAPABPA=PAB⋅PABPAB⋅PAB=PABPBPABPB⋅PABPBPABPB=PA∣BPA∣B⋅PA∣BPA∣B；
（ⅱ） 利用调查数据，PA|B=40100=25,PA|B=10100=110,PA|B=1−PA|B=35，PA|B=1−PA|B=910,
所以R=2535×910110=6.
19．（1） 【解答】解：设Mx,y，由题意MFMA=x−c2+y2x−a2+y2=λ（常数），
整理得x2+y2+2x−2aλ2λ2−1x+λ2a2−c2λ2−1=0,
故{2c−2aλ2λ2−1=0λ2a2−c2λ2−1=−4，又ca=12，解得a=22,c=2.
∴b​2=a​2−c​2=6，椭圆C的方程为x​28+y​26=1.
（2） （ⅰ） 由S△SBFS△SDF=12SB⋅SF⋅sin∠BSF12SD⋅SF⋅sin∠DSF=SBSD，又S△SBFS△SDF=∣BF∣∣DF∣，
∴∣BS∣∣DS∣=∣BF∣∣DF∣,（或由角平分线定理得）
令BFDF=λ，则BF=λFD，设Dx0,y0，则有3x0​2+4y0​2=24,
又直线l的斜率k>0，则x0∈−22,2，{xB=2λ+1−λx0yB=−λy0，代入3x​2+4y​2−24=0，得3[21+λ−λx0]2+4λ2y02−24=0,
即λ+15λ−3−2λx0=0，
∵λ>0,∴λ=35−2x0∈13,1.
（ⅱ） 由（ⅰ）知，∣SB∣∣SD∣=∣TB∣∣TD∣=∣BF∣∣DF∣，
由阿波罗尼斯圆定义知，S,T,F在以B,D为定点得阿波罗尼斯圆上，
设该圆圆心为C1，半径为r，与直线l的另一个交点为N，则有∣BF∣∣DF∣=∣NB∣∣ND∣，即∣BF∣∣DF∣=2r−∣BF∣2r+∣DF∣，解得r=11BF−1DF.
又S圆C1=πr2=818π，故r=922,∴1BF−1DF=229，
又|DF∣=x0−22+y02=x0−22+6−34x02=22−12x0，
∴1∣BF∣−1∣DF∣=1λ∣DF∣−1∣DF∣=5−2x0322−12x0−122−12x0=2−2x0322−12x0=229，
解得x0=−22,y0=−6−34x02=−3104，
∴k=−y02−x0=52，
∴直线l的方程为y=52x−102.不够良好
良好
合计
病例组
40
60
100
对照组
10
90
100
合计
50
150
200