2024年广西桂林市七星区国龙外国语学校中考数学模拟试卷

这是一份2024年广西桂林市七星区国龙外国语学校中考数学模拟试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．（3分）2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A．2.8×10﹣10B．2.8×10﹣8C．2.8×10﹣6D．2.8×10﹣9
3．（3分）下列代数式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．x﹣2024
4．（3分）某小区有6000人，随机调查了1200人，其中500人观看了杭州亚运会的比赛．在该小区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（3分）如图，直线a∥b,直线AB⊥AC，若∠1=50°，则∠2=（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x2﹣x2＝x2B．x2+x3＝x5C．x2•x3＝x6D．（x2）3＝x5
9．（3分）如图，A、B、C是半径为4的⊙O上的三点．如果∠ACB=45°，那么的长为（ ）
A．2πB．3πC．4πD．8π
10．（3分）在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（ ）
A．海里B．海里
C．海里D．4海里
12．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，H是AF的中点．若BC=6，CE=2，则CH的长为（ ）
A．B．C．4D．5
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）要使式子有意义，则字母x的取值范围是 ．
14．（2分）方程x2＝2x的根为 ．
15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（a，﹣2），B（1，﹣2），线段AB平行于x轴，则a＝ ．
16．（2分）我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有x人，可列出方程为： ．
17．（2分）如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在y轴上，连接AC、BC，则S△ABC＝ ．
18．（2分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB=8，AD=6，EF=4，则GH的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2+（3+x）（3﹣x），其中x＝﹣2．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB=BC，D是AB延长线上的一点．
（1）尺规作图：作∠DBE=∠BAC；
（2）在（1）的条件下，证明BE平分∠DBC．
22．（10分）北京时间8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组，A组：0≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82；
九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的所有数据为：72，77，78，79，75；
八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校八年级有学生600人，九年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？
23．（10分）如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM=30°，折射角∠DBN=22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM'=60°，折射角∠ECN'=40.5°．DE∥BC，MN、M′N′为法线．入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M'N'都在同一平面内，点A到直线BC的距离为3米．
（1）求BC的长；（结果保留根号）
（2）如果DE＝8.72米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，sin22°取0.37，cs22°取0.93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cs40.5°取0.76，tan40.5°取0.85）
24．（10分）24．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试为断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若BP＝3，，QP＝4，求QC的长．
25．（10分）综合与实践课上，数学王老师分发给每位同学若干张相同的长方形纸片．王老师取出三张纸片演示操作，依次将纸片沿事先画出的竖直和水平方向的实线裁剪成若干个完全相同的小长方形（如图1）．
【分析问题】
请补全上面表格，并在图2所示的平面直角坐标系中描出表中各对数值所对应的点（n,m），再用平滑曲线连接．根据绘制的图象猜想，裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n序号可能存在
函数关系（填类型）．
【猜想验证】为了验证这一猜想，爱研究的同学从“形”的角度出发，发现裁剪得到的小长方形个数可以用“行数×列数”的方法得到．
（2）请直接写出裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n之间的函数关系式为 ．
【解决问题】某农科研究所有一块矩形的耕地ABCD（如图3），AB=40m,BC=35m,现需要将其分成若干小长方形耕地，进行不同种子的育种实验．按照【问题背景】中的分割方式，爱思考的同学提出以下2个问题．
（3）若将此耕地分成72个完全相同的小长方形耕地，求竖直方向分割用的实线数量；
（4）为了方便科研人员观察并收集实验数据，将竖直和水平方向的实线换成1米宽的小路，若小路的面积之和占此耕地面积的36%，求小长方形耕地的总数量．
26．（10分）综合与实践
在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动．
观察发现
（1）如图1，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想用60米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD，设AB=x米，E是AB边上的动点．连接CE，DE，设△ECD的面积为y平方米，求出y与x之间的函数关系式，并求y的最大值．
探究迁移
（2）工人师傅要在如图2所示的矩形铁皮ABCD上分割出△EFG，用来填充不同材质的产品，已知AB=6，BC=4，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且AE=2CF，CG=2，设CF=x,△EFG的面积为y.
①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
②求y的最大值．
（3）如图3，在（2）的条件下，且点F位于△EFG的面积最大时的位置，H是CG上的一点，连接FH，当四边形EFHG的面积为时，求GH的长．
2024年广西桂林市七星区国龙外国语学校中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（12小题，每小题3分，共36分）
1．【答案】C
【解答】解：∵，
故选：C．
2．【答案】B
【解答】解：0.000000028＝2.2×10﹣8．
故选：B．
3．【答案】C
【解答】解：A、是单项式，不符合题意；
B、是多项式，不符合题意；
C、是分式；
D、x﹣2024是多项式，不符合题意，
故选：C．
4．【答案】C
【解答】解：∵随机调查了1200人，其中500人观看了杭州亚运会的比赛，
∴该小区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是＝，
故选：C．
5．【答案】D
【解答】解：从上面看，可得选项D的图形．
故选：D．
6．【答案】B
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+c＝2有两个相等的实数根，
∴Δ＝42﹣6c＝0，
∴c＝4，
故选：B．
7．【答案】B
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠4＝50°，
∵直线AB⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°．
∴∠6＝40°．
故选：B．
8．【答案】A
【解答】解：A、2x2﹣x2＝x2，故A符合题意；
B、x2与x4不属于同类项，不能合并；
C、x2•x3＝x7，故C不符合题意；
D、（x2）3＝x2，故D不符合题意；
故选：A．
9．【答案】A
【解答】解：如图，连接OA．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝4，
∴的长是：．
故选：A．
10．【答案】D
【解答】解：∵一次函数y＝﹣kx+k＝﹣k（x﹣1），
∴直线经过点（1，3），A；
B、由一次函数的图象经过第一、三，反比例函数的图象在一，矛盾；
D、由一次函数的图象经过第一、三，反比例函数的图象在二，一致；
故选：D．
11．【答案】A
【解答】解：如图，作BD⊥OC于D．作AE⊥OB于E．
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，AB＝4，
∴AE＝BE＝AB＝4．
在直角△AOE中，∵∠AEO＝90°，
∴OE＝＝＝6，
∴OB＝OE+BE＝4+4．
在直角△BOD中，∵∠ODB＝90°，
∴BD＝OB＝2．
故选：A．
12．【答案】A
【解答】解：连接AC，CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴∠ACD＝∠FCD＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∵BC＝6，CE＝2，
∴AC＝＝6，
∴AF＝＝4，
∵H是中点，
∴CH＝AF＝2，
故选：A．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：x﹣2≥0
∴x≥5
故答案为：x≥2
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2＝2x，
x3﹣2x＝0，
x（x﹣8）＝0，
x＝0，或x﹣2＝0，
x1＝3，x2＝2，
故答案为：x4＝0，x2＝7．
15．【答案】﹣1或3．
【解答】解：∵线段AB平行于x轴，且AB＝2，
∴点A在点B的左边或右边2个单位长度．
又∵点B坐标为（6，﹣2），﹣2），
∴a＝8﹣2＝﹣1或a＝4+2＝3，
即a的值为﹣8或3．
故答案为：﹣1或3．
16．【答案】9x﹣11＝6x+16．
【解答】解：若设有x人，则鸡的价钱是（9x﹣11）文钱或（6x+16）文钱，
根据题意得：2x﹣11＝6x+16，
故答案为：9x﹣11＝2x+16．
17．【答案】5．
【解答】解：如图，连接OA，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，垂足为B，
∴S△AOB＝|k|＝，
又∵OC∥AB，
∴S△ABC＝S△AOB＝5，
故答案为：5．
18．【答案】8．
【解答】解：连接AC、AP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，
∴AC＝，
∵P是线段EF的中点，
∴AP＝EF＝2，
∵PG⊥BC，PH⊥CD，
∴∠PGC＝∠PHC＝90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∴GH＝CP，
当A、P、C三点共线时，
∴GH的最小值是8，
故答案为：8．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．【答案】﹣2．
【解答】解：
＝8×÷（﹣2）
＝5÷（﹣2）
＝﹣2．
20．【答案】2x+10，6．
【解答】解：原 式＝（x2+2x+7）+9﹣x2
＝7x+10，
当x＝﹣2时，
原式＝2×（﹣2）+10
＝6．
21．【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【解答】（1）解：如图，∠DBE即为所求．
（2）证明：∵∠DBE＝∠BAC，
∴BE∥AC，
∴∠EBC＝∠ACB，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴∠DBE＝∠EBC，
∴BE平分∠DBC．
22．【答案】（1）88，77.5，25；
（2）答案不唯一，比如：八年级更高．理由见解答过程；
（3）估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有380人．
【解答】解：（1）∵被抽取的学生测试得分的所有数据中，88出现3次是出现次数最多的数据，
∴a＝88；
∵C组占比为：＝25%，
∴c＝25；
∵九年级被抽取的学生测试得分A组有：20×15%＝2（个），B组有：20×（100%﹣15%﹣25%﹣30%﹣10%）＝4（个），
∴九年级被抽取的学生测试得分的中位数是第10，第11个数据是C组的77，
∴b＝＝77.8．
故答案为：88，77.5；
（2）答案不唯一，比如：
八年级更高．理由如下：
因为八，九年级成绩的平均数相同，所以八年级的学生对事件的关注与了解程度更高；
（3）∵八年级处于C组的有4个数据，占比，九处于C组的占比25%，
∴估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有20%×900+25%×800＝380（人），
答：估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有380人．
23．【答案】（1）2米；
（2）11.69米．
【解答】解：（1）作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，
则AF∥MN∥M′N′，
∴∠ABM＝∠BAF，∠ACM′＝∠CAF，
∵∠ABM＝30°，∠ACM′＝60°，
∴∠BAF＝30°，∠CAF＝60°，
∵AF＝3米，
∴BF＝AF•tan30°＝3×＝（米）＝3，
∴BC＝CF﹣BF＝8﹣＝7，
即BC的长为2米；
（2）设水池的深为x米，则BN＝CN′＝x米，
由题意可知：∠DBN＝22°，∠ECN′＝40.5°，
∴DN＝BN•tan22°≈0.3x（米），N′E＝CN′•tan40.5°≈0.85x（米），
∵DN+DE＝BC+N′E，
∴3.4x+8.72＝7+0.85x，
解得x≈11.69，
即水池的深约为11.69米．
24．【答案】（1）见解答；
（2）2.9．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：如图，
∵OC＝OB，
∴∠2＝∠B，
∵DQ＝DC，
∴∠1＝∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ＝90°，
∴∠Q+∠B＝90°，
∴∠7+∠2＝90°，
∴∠DCO＝180°﹣∠1﹣∠7＝90°，
∴OC⊥CD，
而OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△BPQ中，BQ＝，
∵∠ACB＝∠QPB＝90°，∠ABC＝∠QPB，
∴△ABC∽△QBP，
∴＝，
∵AB＝AP+BP＝+3＝，
∴＝
∴BC＝6.1，
∴QC＝BQ﹣BC＝5﹣4.1＝2.3．
25．【答案】（1）补全表格见解答过程；绘制图象见解答过程；二次函数；
（2）m＝n（n+1）；
（3）8；
（4）小长方形耕地的总数量72块．
【解答】解：（1）由图例知，当n＝4时
共有20个小长方形；
当n＝5时，如图：
共有30个小长方形；
描点，连线，
猜想：裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n序号可能存在函数关系为二次函数．
∴从“形”的角度出发，裁剪得到的小长方形个数可以用“行数×列数”的方法得到；
故答案为：二次函数；
（2）小长方形个数m与纸片序号n之间的函数关系式为m＝n（n+1），
验证：
由图例知，当n＝1时，
当n＝4时，m＝6＝2×7，
当n＝3时，m＝12＝3×8，
当n＝4时，m＝20＝4×5，
当n＝5时，m＝30＝5×5，
...，
∴m＝n（n+1），
故答案为：m＝n（n+1）；
（3）由题意得，n（n+3）＝72，
∵n为正整数，
∴n＝8（负值已舍去），
∴竖直方向分割用的实线数量为8；
（4）设水平方向有n条道路，竖直方向有（n+8）条道路，
由题意得：40n+35（n+1）﹣n（n+1）＝40×35×36%，
整理得：n3﹣74n+469＝0，
解得：n＝7或n＝67（舍去），
∵n是水平方向小路数量，水平方向耕地数量为2，
∴耕地块数为8×9＝72（块），
∴小长方形耕地的总数量72块．
26．【答案】（1）；y的最大值为112.5；
（2）①y＝﹣x2+2x+4；0＜x＜3；②y的最大值为5；
（3）GH的长为1．
【解答】解：（1）∵AB＝x，
∴，
∴，
即，
∵，
∴当x＝15时，y的最大值为112.5；
（2）①由题可知CF＝x，AB＝8，
∵AE＝2CF，
∴AE＝2x，
∴BE＝2﹣2x，BF＝4﹣x，
∵CG＝8，
∴DG＝4，
∵△EFG的面积＝矩形ABCD的面积﹣梯形AEGD的面积﹣△EBF的面积﹣△CFG的面积，
即，
即y＝﹣x2+4x+4，
∵6﹣3x＞0，x＞0，
∴2＜x＜3；
②∵y＝﹣x2+5x+4＝﹣（x﹣1）7+5，
∵﹣1＜7，且0＜x＜3，
∴当x＝2时，y的最大值为5；
（3）如图4，连接FH，
，
∵在（2）的条件下，且点F位于△EFG的面积最大时的位置时，
∴此时△EFG的面积为8，CF＝1，
∵四边形EFHG的面积＝△EFG的面积+△FGH的面积＝，
∴△FGH的面积＝，
，
∴GH＝1．平均数
众数
中位数
八年级
77
a
80.5
九年级
77
89
b
纸片序号n
1
2
3
4
5
裁剪得到的小长方形个数m
2
6
12
纸片序号n
8
2
3
6
5
裁剪得到的小长方形个数m
2
7
12
20
30