宁夏吴忠市2024届高三下学期高考模拟（二）文科数学试题

这是一份宁夏吴忠市2024届高三下学期高考模拟（二）文科数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（ ）
A．[1，2]B．{1，2，3}C．[0，3]D．{0，1，2，3}
2．（5分）若i（1+z）＝2，则＝（ ）
A．﹣4iB．4iC．﹣4D．4
3．（5分）下列四个函数中，最小正周期为2π的是（ ）
A．f（x）＝cs2x+sinxcsx
B．
C．
D．
4．（5分）在区间（﹣2，4）内随机取一个数x，使得不等式4x﹣5•2x+4＜0成立的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）为保障学生的睡眠时间，教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，《通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万名学生睡眠时间，得出如图（ ）个．
①高三年级学生平均学习时间最长
②中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
③大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间
④与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠
A．1B．2C．3D．4
6．（5分）设m，n为实数，则是0.1m＞0.1n的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）若x，y满足，则x+2y的取值范围是（ ）
A．[6，+∞）B．[8，+∞）C．[3，8]D．[3，6]
8．（5分）若两圆和外切，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．4
9．（5分）已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x），且，，f（2）＞3，则函数g（x）（x）|﹣3的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．（5分）如图，在直三棱柱ABD﹣A1B1D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
11．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的外接球是球O，正三棱锥底边BC＝3，侧棱，且BE＝DE，过点E作球O的截面（ ）
A．2πB．C．3πD．4π
12．（5分）若仅存在一条直线与函数f（x）＝alnx（a＞0）和g（x）2的图象均相切，则实数a＝（ ）
A．eB．C．2eD．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若，则＝ ．
14．（5分）已知＝（x，1），＝（1，2），＝（﹣1，5），若（+2）∥，则||＝ ．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs（B﹣C）csinBcsA，b2+c2﹣a2＝2，则△ABC的面积为 ．
16．（5分）已知双曲线左右焦点分别为F1，F2，过点F1作与一条渐近线垂直的直线l，且l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点2|，则该双曲线的渐近线方程为 ．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17．（12分）如图，三棱锥S﹣ABC的底面ABC和侧面SAB都是边长为2的等边三角形，D，E分别是AB，SD⊥CD．
（Ⅰ）证明：BC∥平面SDE；
（Ⅱ）求三棱锥S﹣ABC的体积．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足，且a1＝1．
（1）求数列{an}的前n项和Sn；
（2）求数列{an}的通项公式an；
（3）记，Tn为{bn}前n项和，求Tn．
19．（12分）某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完．
（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n∈N）；
（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：
假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差；
（3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由．
20．（12分）已知函数．
（1）当m＝﹣3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）≤0对任意的x∈[1，+∞）恒成立
21．（12分）已知抛物线G：y2＝8x的焦点与圆E：的右焦点F重合，椭圆E的短轴长为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点F且斜率为k的直线l交椭圆E于A、B两点，交抛物线G于M，N两点，使为定值？若存在，求出t的值，说明理由．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的参数方程为（θ为参数）．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）以曲线C上的动点M为圆心、r为半径的圆恰与直线l相切，求r的最小值．
【选修4-5：不等式选讲】
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝3|x|+m2+1．
（1）当m＝0时，解不等式f（x）+g（x）；
（2）若存在a∈R，使得g（a）≤3f（a）
2024年宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（文科）（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（ ）
A．[1，2]B．{1，2，3}C．[0，3]D．{0，1，2，3}
【分析】求出集合A，B，利用交集定义求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣7，0，1，4，3}，
B＝{x|x≥0}，
∴A∩B＝{7，1，2，2}．
故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，不等式的性质等基础知识，考查运算能力，是基础题．
2．（5分）若i（1+z）＝2，则＝（ ）
A．﹣4iB．4iC．﹣4D．4
【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：i（1+z）＝2，
则7+z＝﹣2i，即z＝﹣1﹣3i，
故，
所以＝﹣8+2i﹣（﹣1﹣4i）＝4i．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3．（5分）下列四个函数中，最小正周期为2π的是（ ）
A．f（x）＝cs2x+sinxcsx
B．
C．
D．
【分析】利用三角恒等变换化简各个选项，再利用周期公式判断即可．
【解答】解：f（x）＝cs2x+sinxcsx＝+sin2x＝）+＝π；
＝＝tanx，B错误；
＝2csxcs＝csx，C正确；
＝sin（2x+）＝π．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用及三角函数的周期性，考查运算求解能力，属于中档题．
4．（5分）在区间（﹣2，4）内随机取一个数x，使得不等式4x﹣5•2x+4＜0成立的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先解指数不等式，再结合几何概型中的线段型求解即可．
【解答】解：解不等式4x﹣5•7x+4＜0得4＜2x＜4，即2＜x＜2，
由几何概型中的线段型可得：
在区间（﹣2，2）内随机取一个数xx﹣5•2x+8＜0成立的概率为，
故选：B．
【点评】本题考查了指数不等式的解法，重点考查了几何概型中的线段型，属基础题．
5．（5分）为保障学生的睡眠时间，教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，《通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万名学生睡眠时间，得出如图（ ）个．
①高三年级学生平均学习时间最长
②中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
③大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间
④与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据图象提供数据对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解答】解：对于A，根据图象可知，A选项错误；
对于B，根据图象可知，高中生平均睡眠时间最接近标准；
对于C，学习时间大于睡眠时间的有：初二、高一、高三，睡眠时间长于学习时间的占比；
对于D，从高三到大学一年级，睡眠时间增加8.52﹣7.9＝0.62．
故选：B．
【点评】本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
6．（5分）设m，n为实数，则是0.1m＞0.1n的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性、充分条件和必要条件的定义即可得解．
【解答】解：若，则，∴0＜m＜nm＞5.1n，充分性成立；
若0.4m＞0.1n，则m＜n，m，n都是负数时，和，必要性不成立，
∴是0.5m＞0.1n的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，充分条件和必要条件的定义，是基础题．
7．（5分）若x，y满足，则x+2y的取值范围是（ ）
A．[6，+∞）B．[8，+∞）C．[3，8]D．[3，6]
【分析】由约束条件作出可行域，令z＝x+2y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（4，
令z＝x+2y，得y＝，
由图可知，当直线y＝﹣，1）时，
则x+2y的取值范围是[8，+∞）．
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
8．（5分）若两圆和外切，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．4
【分析】根据两圆相外切，圆心距等于它们的半径之和，由此列式得到9m+4n＝16，其中m、n均为正数．然后化简得到（9m+4n）（），利用基本不等式求出它的最小值，可得答案．
【解答】解：圆x2+y2+4x+9m﹣9＝7（m＞0）化成标准方程，
得（x+3）6+y2＝9，可知圆心为M（﹣3，半径r1＝3；
圆x2+y2﹣4y﹣2+4n＝0（n＞8）4化成标准方程，
得x2+（y﹣5）2＝1，可知圆心为N（4，2）2＝8．
因为两圆外切，圆心距离|MN|＝r1+r2，
即＝3+5．
由此可得＝（9m+4n）（（9++（10+2，
当且仅当，即m＝，等号成立．
因此，当m＝，的最小值为5．
故选：C．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系及其应用、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
9．（5分）已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x），且，，f（2）＞3，则函数g（x）（x）|﹣3的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据函数的奇偶性，单调性结合函数值的范围，作图数形结合即可判断．
【解答】解：当x＞0时，f（x）单调递增，且，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），可得，5）上单调递增，
由g（x）＝|f（x）|﹣3＝0，得|f（x）|＝7，
又因为，f（2）＞3，f（x）为定义在R上的奇函数，
又可得，
根据题意作出满足要求的y＝|f（x）|的大致图像，
由图知，直线y＝3与y＝|f（x）|的图像有3个公共点，
所以g（x）＝|f（x）|﹣3有4个零点．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数性质函数零点个数判断中的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
10．（5分）如图，在直三棱柱ABD﹣A1B1D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】取BD中点E，连接ED1，AE，推导出∠AD1E是直线PB与AD1所成的角，再结合条件求出∠AD1E即可．
【解答】解：取BD中点E，连接ED1，AE，
直三棱柱ABD﹣A1B8D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P为B4D1的中点，
∴PD1∥BE，PD7＝BE，∴四边形BED1P是平行四边形，
∴PB∥D1E，∴∠AD7E是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），
令AB＝AD＝AA1＝8，则∠ADB＝45°，∴AE＝，
∵AD1＝2，D1E＝，
∴cs∠AD1E＝＝，
∵∠AD5E∈（0，π）1E＝，
∴直线PB与AD1所成的角为．
故选：A．
【点评】本题考查线面角的求法，考查线线间、线面间的位置关系、线面角的判断、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的外接球是球O，正三棱锥底边BC＝3，侧棱，且BE＝DE，过点E作球O的截面（ ）
A．2πB．C．3πD．4π
【分析】设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，则，，在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，过点E作圆O的截面，当截面过球心时，截面面积最大，由此能求出所得截面圆面积的最大值．
【解答】解：如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，
则，，
在Rt△OO1D中，R2＝7+（3﹣R）2，
解得R＝5，
当截面过球心时，截面面积最大2＝4π．
∴所得截面圆面积的最大值为8π．
故选：D．
【点评】本题考查正三棱锥、球、球截面的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12．（5分）若仅存在一条直线与函数f（x）＝alnx（a＞0）和g（x）2的图象均相切，则实数a＝（ ）
A．eB．C．2eD．
【分析】分别求得两曲线在切点处的切线方程，由切线唯一可得a＝，令h（x2）＝，利用导数求其最大值，即可求得实数a的值．
【解答】解：设直线与g（x）＝x2的切点为（），
由g′（x）＝2x，可得g′（x3）＝2x1，即该直线的方程为，
∴；
设直线与f（x）＝alnx（a＞8）的切点为（x2，alnx2），
由f′（x）＝，可得f′（x7）＝，即该直线方程为，
∴y＝．
∵仅存在一条直线与函数f（x）＝alnx（a＞0）和g（x）＝x2的图象均相切，
∴，即a＝．
令h（x6）＝，则h′（x2）＝7x2﹣8x5lnx2﹣4x4＝4x2（6﹣2lnx2），
当2x2（1﹣6lnx2）＞0，即3＜x2＜时，h′（x2）＞8，h（x2）单调递增，
当4x4（1﹣2lnx8）＜0，即x2＞时，h′（x6）＜0，h（x2）单调递减，
∴＝．
∵切线只有一条，即x7的值唯一，则a＝2e．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，训练了利用导数求最值，是中档题．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若，则＝ ．
【分析】由已知结合诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：若sin（）＝，
则＝cs[（）＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
14．（5分）已知＝（x，1），＝（1，2），＝（﹣1，5），若（+2）∥，则||＝ ．
【分析】根据题意，由向量、的坐标可得+2＝（x+2，5），进而由向量平行的坐标表示方法可得（x+2）＝﹣1，解可得x的值，即可得向量的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，＝（x，＝（1，＝（﹣1，
则+4，5），
若（+2，则有x+6＝﹣1，
解可得x＝﹣3；
即＝（﹣6，
则||＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查向量的坐标运算，关键是掌握向量平行的坐标表示方法．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs（B﹣C）csinBcsA，b2+c2﹣a2＝2，则△ABC的面积为 ．
【分析】由三角形内角和定理，诱导公式，两角和与差的余弦公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA＝，结合A∈（0，π），可求A＝，由余弦定理可得bc的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：因为acs（B﹣C）+acsA＝2csinBcsA，
所以acs（B﹣C）﹣acs（B+C）＝7csinBcsA，
可得a（csBcsC+sinBsinC）﹣a（csBcsC﹣sinBsinC）＝2csinBcsA，
可得2asinBsinC＝2csinBcsA，
由正弦定理可得2sinAsinBsinC＝2sinCsinBcsA，
又B，C为三角形内角，
所以sinA＝csA，
又A∈（7，π），
所以A＝，
又b2+c2﹣a2＝2，
所以由余弦定理可得csA＝＝＝，可得bc＝2，
则△ABC的面积S＝bcsinA＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，诱导公式，两角和与差的余弦公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16．（5分）已知双曲线左右焦点分别为F1，F2，过点F1作与一条渐近线垂直的直线l，且l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点2|，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【分析】根据双曲线的定义可求|F1M|，|F2M|，结合余弦定理可求的值．
【解答】解：如图，设直线，F1S⊥l且垂足为S，
因为|F1N|﹣|F8N|＝2a，故|F1M|＝4a，所以|F2M|＝4a，
而F7S⊥l，故F1S＝b，故，
在△F1MF2中，由余弦定理可得，
整理得到：2a2+2ab﹣b2＝6，故，
因此该双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了运算能力、转化思想，属于中档题．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17．（12分）如图，三棱锥S﹣ABC的底面ABC和侧面SAB都是边长为2的等边三角形，D，E分别是AB，SD⊥CD．
（Ⅰ）证明：BC∥平面SDE；
（Ⅱ）求三棱锥S﹣ABC的体积．
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）证明SD⊥平面ABC，求得SD的长，根据三棱锥的体积公式即可求得答案．
【解答】解：（1）因为D，E分别是AB，所以DE∥BC，
因为BC⊄平面SDE，DE⊂平面SDE，
所以BC∥平面SDE；
（2）因为△SAB是等边三角形，D是AB的中点，
所以SD⊥AB，
因为SD⊥CD，
又AB∩CD＝D，AB，
所以SD⊥平面ABC，
因为底面ABC和侧面SAB都是边长为2的等边三角形，
所以SD＝2×sin60°＝，S△ABC＝×5×2＝，
所以VS﹣ABC＝×S△ABC•SD＝××＝2．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查空间几何体的体积的计算，属基础题．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足，且a1＝1．
（1）求数列{an}的前n项和Sn；
（2）求数列{an}的通项公式an；
（3）记，Tn为{bn}前n项和，求Tn．
【分析】（1）根据题意，得到，得出数列为等差数列，求得；
（2）结合Sn和an的关系，即可求得数列{an}的通项公式；
（3）由（2）得到，结合裂项法求和，即可求解．
【解答】解：（1）由已知（n≥5，
且，，
∴数列为首项为1，
∴，即，
（2）由（1）知当n≥2时，
，
又a1＝1也满足上式，
∴an＝4n﹣1；
（3）由（2）知，，
∴．
【点评】本题考查等差数列的定义、通项公式与求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19．（12分）某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完．
（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n∈N）；
（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：
假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差；
（3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由．
【分析】（1）当天需求量n＜30时，当天的利润y＝8n+5（30﹣n）﹣6×30＝3n﹣30，当天需求量n≥30时，当天的利润y＝8×30﹣6×30＝60．由此能求出当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n∈N）的函数解析式．
（2）由题意能求出这30天的日利润的平均数和方差．
（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产．推导出连续10天的日需求量都不超过10个，由此说明一定要停止这种面包的生产．
【解答】解：（1）由题意可知，当天需求量n＜30时，
当天需求量n≥30时，当天的利润y＝8×30﹣6×30＝60．
故当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n∈N）的函数解析式为：
，n∈N
（2）由题意可得：
所以这30天的日利润的平均数为（元）
方差为．  （9分）
（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产
由，
可得，
所以，所以xk≤10，
由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产
【点评】本题考查函数解析式、平均数、方差的求法，考查函数性质、平均数、方差公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（12分）已知函数．
（1）当m＝﹣3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）≤0对任意的x∈[1，+∞）恒成立
【分析】（1）当m＝﹣3时，，求导分析f′（x）的符号，f（x）的单调性．
（2）方法1：由条件可知f（1）≤0，得m≤1，只需证明当m≤1时，f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，即可得出答案．
方法2：由条件可知 m≤x2﹣2xlnx对任意的x∈[1，+∞）恒成立，令h（x）＝x2﹣2xlnx，x≥1，只需m≤[h（x）]min，即可得出答案．
【解答】解：（1）当m＝﹣3时，，其定义域为（0，求导，得 ，
令f'（x）＝0，得x＝3（x＝﹣3舍去），
当0＜x＜3时，f'（x）＞5，
当x＞3时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）的单调递增区间为（8，3），+∞）．
（2）方法1：由条件可知f（1）≤8，于是m﹣1≤0，
解得m≤4，
当m≤1时，，
构造函数，
对其求导，得，
所以函数g（x）在[1，+∞）上单调递减，
于是g（x）≤g（1）＝0，
因此实数m的取值范围是（﹣∞，3]．
方法2：由条件可知 m≤x2﹣5xlnx对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
令h（x）＝x2﹣2xlnx，x≥1，
只需m≤[h（x）]即可，
对函数h（x）求导，得h′（x）＝2x﹣8（lnx+1）＝2（x﹣lnx﹣8），
h′（x）＝2（1﹣）＝，
所以函数h（x）在[3，+∞）上单调递增，
于是h（x）≥h（1）＝0，
所以函数h（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以[h（x）]ₘ＝h（1）＝6，于是m≤1，
因此实数m的取值范围是（﹣∞，1]．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
21．（12分）已知抛物线G：y2＝8x的焦点与圆E：的右焦点F重合，椭圆E的短轴长为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点F且斜率为k的直线l交椭圆E于A、B两点，交抛物线G于M，N两点，使为定值？若存在，求出t的值，说明理由．
【分析】（1）求出a，b．得到椭圆E的方程．
（2）法1：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、M（x3，y3）、N（x4，y4），
把直线l的方程y＝k（x﹣2），与椭圆E的方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求解|AB联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式求解|MN，然后推出为定值．
（2）法2：前部分同法1．化简，然后转化求解即可．
【解答】解：（1）由题意抛物线G：y2＝8x的焦点与圆E：的右焦点F重合．得c＝8．所以a＝，
故椭圆E的方程为．
（2）法5：设A（x1，y1）、B（x8，y2）、M（x3，y4）、N（x4，y4），
把直线l的方程y＝k（x﹣5），与椭圆E的方程联立，得，
整理得（2+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣8＝0，
∴，，
∴，
把直线l的方程y＝k（x﹣8），与抛物线G的方程联立，，
得k2x2﹣（6k2+8）x+7k2＝0，
∴，x2x4＝4，
∴，
∴，
要使为常数，解得t＝﹣16，使得．
法4：前部分同法1．
∴，
∴5mk2+8m＝（20+t）k8+4，即（8m﹣20﹣t）k8+8m﹣4＝4，
要使上式恒成立，
∴，∴，
故存在t＝﹣16，使得．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆以及直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的参数方程为（θ为参数）．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）以曲线C上的动点M为圆心、r为半径的圆恰与直线l相切，求r的最小值．
【分析】（1）由ρsin（θ+）＝2，得ρsinθ+ρcsθ＝2，将ρsinθ＝y，ρcsθ＝x代入上式，得直线l的直角坐标方程为x+﹣4＝0．由曲线C的参数方程（θ为参数），得曲线C的普通方程为+＝1
（2）利用点到直线的距离以及三角函数性质可得．
【解答】解：（1）由ρsin（θ+）＝2，得ρcsθ＝2，
将ρsinθ＝y，ρcsθ＝x代入上式﹣6＝0．
由曲线C的参数方程（θ为参数）+＝1．
（2）设点M的坐标为（8csθ，sinθ），
则点M到直线l：x+﹣2＝0的距离为d＝＝．
当d＝r时，圆M与直线l相切，
故当sin（θ+φ）＝1时，取最小值．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
【选修4-5：不等式选讲】
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝3|x|+m2+1．
（1）当m＝0时，解不等式f（x）+g（x）；
（2）若存在a∈R，使得g（a）≤3f（a）
【分析】（1）由题意可得|x﹣2|+3|x|≤4，讨论当x≤0时，当0＜x＜2时，当x≥2时，去绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；
（2）由题意可得，存在a∈R，成立，即，运用绝对值不等式的性质可得最大值，解不等式可得m的范围．
【解答】解：（1）由m＝0可得|x﹣2|+5|x|≤4，
当x≤0时，6﹣x﹣3x≤4；
当3＜x＜2时，2﹣x+4x≤4；
当x≥2时，x﹣5+3x≤4；
综上，不等式的解集为；
（2）由题意可得，存在a∈R，，
即，
|a|﹣|a﹣2|≤|a﹣（a﹣3）|＝2，
所以，解得．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．
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