数学第1章二次函数1.3 二次函数的性质优秀复习练习题

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这是一份数学第1章二次函数1.3 二次函数的性质优秀复习练习题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知点A(3,y1)，B(4,y2)，C(−3,y3)均在抛物线y=2x2−4x+m上，下列说法中正确的是( )
A. y32.若A(m+1,y1)，B(m,y2)，C(m−2,y3)为抛物线y=ax2−4ax+2(a<0)上的三点，且总有y2>y3>y1，则m的取值范围是( )
A. m>2B. 23
3.已知点M(x1,y1)，N(x2,y2)在抛物线y=mx2−2m2x+n(m≠0)上，当x1+x2>4且x1A. 02D. m<−2
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，给出下列结论： ①ac<0; ②3a+c=0; ③4ac−b2<0; ④当x>−1时，y随x的增大而减小.其中正确的有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
5.小飞研究二次函数y=−(x−m)2−m+1(m为常数)性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y=−x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x12m，则y1④当−1其中错误结论的序号是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
6.如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，对称轴为直线x=1.则下列结论： ①abc>0; ②2a+b=0; ③函数y=ax2+bx+c的最大值为−4a; ④若关于x的方程ax2+bx+c=a+1无实数根，则−15A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.已知在二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下表．
当x的取值范围是−2≤x≤2时，y的最大值是( )
A. 4B. 6C. 18D. 28
8.在平面坐标系中，抛物线y=−3(x−h)2+5与x轴交于(m,0)，(n,0)两点，其中mA. m+nq−p
C. m+n=p+q，n−mq−p
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).当yA. 0B. 1C. 2D. 无数个
10.已知二次函数y=ax2+2x+1(a为实数，且a<0)，对于满足0≤x≤x0的任意一个x的值，都有−3≤y≤3，则x0的最大值为( )
A. 2 3−2B. 2 3+2C. 2 5+2D. 2 5−2
11.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在抛物线y=−x2+4x+12上.当−26时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是( )
A. y112.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当yA. −3B. −1C. 2D. 4
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.二次函数y=−2x2−4x+5的最大值是__________．
14.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为(4,0)，则点Q的坐标为．
15.二次函数y=ax2中，当x=−1时，y=8，则a=________．
16.已知二次函数y=x2−2ax+2x+a−2在0≤x≤4有最大值7，则所有满足条件的实数a的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,−2)，(−2,13)．
(1)求a，b的值；
(2)若(5,y1)，(m,y2)是抛物线上不同的两点，且y2=12−y1，求m的值．
18.(本小题8分)
如图，直线y=x+n与抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)相交于A(1,2)和B(4,m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由．
19.(本小题8分)
如图，已知经过原点的抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0)．
(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标；
(2)求直线AM的解析式．
20.(本小题8分)
已知抛物线的解析式是y=x2−(k+2)x+2k−2．
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点;
(2)若抛物线与直线y=x+k2−1的一个交点在y轴上，求该二次函数的顶点坐标．
21.(本小题8分)
在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛．
(1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知AB=AD，CB=CD，AC与BD交于点O．
求证：BO=DO．
(2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架AC和BD(如图2)，当AC垂直平分BD时即可固定风筝．
现在有总长度为120cm的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当AC为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少?
22.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+bx−2，A(−2,0)，B(6,4)．
(1)若抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
①求抛物线的解析式；
②过点B作BD⊥x轴，垂足为D.延长BD至点E，连接AE，若∠EAC=∠ABC，求点E的坐标；
(2)当b=−2a时，已知点P(x1,y1)，Q(x2,y2)在抛物线上，直线PQ与直线AB交于点M(x3,y3).若−2⩽x1⩽−1,12⩽x2⩽32时，有(y1−y3)(y2−y3)<0成立，直接写出a的取值范围．
23.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(1,0)，B(3,0)两点，M为抛物线的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD，BC的交点为P．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若C(4,3)，D(m,−34)，且m<2，求证：C，D，E三点共线；
(3)小明研究发现：无论C，D在抛物线上如何运动，只要C，D，E三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
24.(本小题8分)
如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A(−1,n)，B(2,4)两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求一次函数的解析式；
(3)根据图象直接写出使y125.(本小题8分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图(1)，有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点O，B之间平行移动，直尺两边被线段BC和抛物线截得两线段DE，FG.设点D的横坐标为t，且0(3)如图(2)，在(2)的条件下，当DE=FG时，作射线CF，Q是射线CF上一动点，当BQ+12CQ取最小值时，试求Q点坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】略
2.【答案】C
【解析】略
3.【答案】A
【解析】根据题意，得抛物线的对称轴为x=−−2m22m=m， ①当04，y14.【答案】B
【解析】∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a>0，c<0，∴ac<0，结论 ①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴−b2a=1，∴b=−2a．∵抛物线经过点(−1,0)，∴a−b+c=0，∴a+2a+c=0，即3a+c=0，结论 ②正确;∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，结论 ③正确;∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x<1时，y随x的增大而减小，结论 ④错误．
5.【答案】C
【解析】解：二次函数y=−(x−m)2−m+1(m为常数)
①∵顶点坐标为(m,−m+1)且当x=m时，y=−m+1
∴这个函数图象的顶点始终在直线y=−x+1上
故结论①正确；
②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
令y=0，得−(x−m)2−m+1=0，其中m≤1
解得：x1=m− −m+1，x2=m+ −m+1
∵顶点坐标为(m,−m+1)，且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
∴|−m+1|=|m−(m− −m+1)|
解得：m=0或1
当m=1时，二次函数y=−(x−1)2，此时顶点为(1,0)，与x轴的交点也为(1,0)，不构成三角形，舍去；
∴存在m=0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②正确；
③∵x1+x2>2m
∴x1+x22>m
∵二次函数y=−(x−m)2−m+1(m为常数)的对称轴为直线x=m
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离
∵x1∴y1>y2
故结论③错误；
④当−1∴m的取值范围为m≥2．
故结论④正确．
故选：C．
根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．
本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．
6.【答案】C
【解析】ax2+bx+c=a+1变形为：ax2+bx+c−a−1=0，由题意，得b2−4a(c−a−1)<0，将c=−3a，b=−2a，代入得：20a2+4a<0，因为a<0，则20a+4>0，则a>−15，又∵a<0，∴ ④正确．
7.【答案】B
【解析】解：将(0,4)，(3,6)，(6,14)代入y=ax2+bx+c，得：
c=49a+3b+c=636a+6b+c=14，解得：a=13b=−13c=4，
∴二次函数的表达式为y=13x2−13x+4，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=−−132×13=12，
当x=−2时，y=13x2−13x+4=6；
当x=2时，y=13x2−13x+4=143．
∴−2≤x≤2时，y的最大值是6．
故选：B．
利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，即可求得抛物线的开口方向和对称轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出当x=−2及x=2时y的值，即可找出−2≤x≤2时，y的最大值．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征结合二次函数的性质，找出−2≤x≤2时，y的最大值．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线与x轴的交点，平移的性质以及函数的图象，解题关键是利用数形结合的思想进行解答．
根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质结合函数图象解答即可．
【解答】
解：如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x=h，
∴m+n=p+q=2h，且n−m9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征的有关知识，依据题意，可得该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出s范围，进而选出符合条件的选项．
【解答】
解：根据题意可知，该二次函数开口向上，
∴对称轴为x=m−3+2−m2=−12．
∵t2−(4t−5)=(t−2)2+1>0，
∴P与点Q相比，点Q更靠近对称轴．
∴1−(−12)>|s−(−12)|，整理得|s+12|<32．
∴−32∴−2∴满足题意的整数s为−1，0，共2个．
10.【答案】B
【解析】解：∵函数y=ax2+2x+1=a(x+1a)2+1−1a，且a<0，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线x=−1a，该函数有最大值，其最大值为y=1−1a，
若要满足0≤x≤x0的任意一个x的值，都有−3≤y≤3，
则有1−1a≤3，解得a≤−12，
对于该函数图象的对称轴x=−1a，a的值越小，其对称轴越靠左，
a的值越小，满足y≥−3的x0的值越小，
∴当取a的最大值，即a=−12时，令y=−12x2+2x+1=−3，
解得x1=2+2 3，x2=2−2 3，
∴满足y≥−3的x0的最大值为x0=2+2 3，
即x0的最大值为2+2 3．
故选：B．
由该二次函数解析式可知，该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线x=−1a，该函数的最大值为y=1−1a，由题意可解得a≤−12，根据函数图象可知a的值越小，其对称轴越靠左，满足y≥−3的x的值越小，故令a=−12即可求得x0的最大值．
本题主要考查了二次函数图象与性质，解题关键是理解题意，借助函数图象的变化分析求解．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数图象上各点的坐标特征是解答此题的关键．
抛物线y=−x2+4x+12得对称轴为x=2，由a<0得抛物线开口向下，当x<2时，y随x的增大而增大;当x>2时，y随x的增大而减小，离对称轴距离越远y越小．然后再根据点与对称轴的距离判定y1，y2，y3的大小即可得到结果．
【解答】
解：∵y=−x2+4x+12
∴对称轴为x=−b2a=−42×−1=2，
∵a<0，
∴抛物线开口向下，
当x<2时，y随x的增大而增大;当x>2时，y随x的增大而减小，离对称轴距离越远y越小，
∵−26，
∴点C到对称轴的距离最远，点B到对称轴的距离最近，
∴y3故选：C．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质有关知识，根据y【解答】
解：如图，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当y∴二次函数开口向上，对称轴为直线x=t−3+1−t2=−1，∵该二次函数的图象经过点M(3,m+1)，N(d,m)两点，
∴点M(3,m+1)关于对称轴的对称点为(−5,m+1)，
∴−5∴d不可能是4
13.【答案】7
【解析】【分析】
本题考查二次函数的最值，掌握二次函数最值的求解方法是解题关键，先将二次函数化为顶点式，然后再确定最值即可．
【解答】
解：因为y=−2x2−4x+5=−2(x2+2x+1−1)+5=−2(x+1)2+7，且a=−2<0，
所以当x=−1时，y取最大值，且最大值为7．
14.【答案】(−2,0)
【解析】略
15.【答案】8
【解析】解：将x=−1、y=8代入y=ax2，
得：8=a，
解得：a=8，
故答案为8．
将x=−1、y=8代入y=ax2，解方程即可得．
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
16.【答案】157或9
【解析】解：∵y=x2−2ax+2x+a−2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−−2a+22×1=a−1，
∵二次函数y=x2−2ax+2x+a−2在0≤x≤4有最大值7，
∴当a−1<2时，x=4时，y=16−8a+8+a−2=7，
解得a=157，
157<3，符合题意；
当a−1>2时，x=0时，y=a−2=7，
解得a=9，
9>3，符合题意；
∴满足条件的实数a的值为157或9．
故答案为：157或9．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向和对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数性质．
17.【答案】解：(1)把点(1,−2)，(−2,13)代入y=ax2+bx+1得，−2=a+b+113=4a−2b+1，
解得：a=1b=−4；
(2)由(1)得函数解析式为y=x2−4x+1，
把x=5代入y=x2−4x+1得，y1=6，
∴y2=12−y1=6，
∵y1=y2，对称轴为x=2，
∴m+52=2，
∴m=−1．
【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求解析式，解方程组，正确理解题意是解题的关键．
(1)把点(1,−2)，(−2,13)代入y=ax2+bx+1解方程组即可得到结论；
(2)把x=5代入y=x2−4x+1得到y1=6，于是得到y1=y2，再根据对称轴x=2，即可得到结论．
18.【答案】【小题1】
把A(1,2)代入y=x+n，得1+n=2，解得n=1，∴一次函数解析式为y=x+1;把B(4,m)代入y=x+1，得m=4+1=5，即B(4,5)，把A(1,2)，B(4,5)代入y=ax2+bx+5，得a+b+5=2,16a+4b+5=5,解得a=1,b=−4,∴抛物线解析式为y=x2−4x+5;
【小题2】
存在.设P(t,t+1)(1
【解析】1. 见答案
2. 见答案
19.【答案】解：(1)∵抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0)，
∴2×22+2m=0，
∴m=−4，
∴y=2x2−4x
=2(x−1)2−2，
∴顶点M的坐标为(1,−2)，
(2)设直线AM的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵图象过A(2,0)，M(1,−2)，
∴2k+b=0k+b=−2，
解得k=2b=−4，
∴直线AM的解析式为y=2x−4．
【解析】(1)将A(2,0)代入抛物线解析式即可求出m的值，然后将关系式化为顶点式即可得出顶点坐标；
(2)设直线AM的解析式为y=kx+b(k≠0)，将点A，M的坐标代入即可．
本题主要考查了待定系数法求函数的关系式，以及二次函数顶点式的转化，属于常考题型．
20.【答案】【小题1】
∵Δ=[−(k+2)]2−4×1×(2k−2)=k2−4k+12=(k−2)2+8>0，∴此抛物线与x轴必有两个不同的交点;
【小题2】
∵抛物线与直线y=x+k2−1的一个交点在y轴上，∴2k−2=k2−1，解得k=1，则抛物线解析式为y=x2−3x=(x−32)2−94，所以该二次函数的顶点坐标为(32,−94).

【解析】1. 见答案
2. 见答案
21.【答案】解：(1)证明：因为AB=AD，CB=CD，
所以点A在BD的中垂线上，点C在BD的中垂线上，
所以AC垂直平分BD，
所以BO=DO．
(2)设AC=x，则BD=120−x，
因为AC和BD相互垂直，
所以S四边形ABCD=12AC×BD=12x(120−x)
=−12(x−60)2+1800．
当AC=60cm时，风筝的面积最大，最大面积是1800cm2．
【解析】本题考查垂直平分线的性质和二次函数的应用，属于中档题．
(1)利用垂直平分线的判定和性质即可证得结论；
(2)求得面积的表达式，利用二次函数性质即可求解．
22.【答案】解：(1)①将点A(−2,0)，B(6,4)代入y=ax2+bx−2，
∴4a−2b−2=036a+6b−2=4
解得a=14 b=−12
∴抛物线的解析式为y=14x2−12x−2;
②∵BE⊥AD，
∴D(6,0)，
当y=0时，14x2−12x−2=0，
解得x=−2或x=4，
∴C(4,0)，
∴CD=2，
∴tan∠CBD=12，tan∠BAD=12，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠EAC=∠ABC，
∴∠BAE=∠ABE，
∴AE=BE，
设E(6,t)，
∴64+t2=(4−t)2，
解得t=−6，
∴E(6,−6)；
(2)∵b=−2a，
∴y=ax2−2ax−2，
直线AB的解析式为y=12x+1，
∵(y1−y3)(y2−y3)<0，
∴y1>y3>y2或y2>y3>y1，
①当y1>y3>y2时，a>0，点P在直线AB上方，
∴a+2a−2>12x+1，
解得a>56;
②y2>y3>y1时，a<0，点Q在直线AB上方，
∴94a−3a−2>34+1，
解得a<−5;
综上所述：a>56或a<−5．
【解析】(1)①用待定系数法求函数的解析式即可;
②由tan∠CBD=12，tan∠BAD=12，可得∠CBD=∠BAD，从而推导出∠BAE=∠ABE，则AE=BE，设E(6,t)，由64+t2=(4−t)2，可求E(6,−6);
(2)①当y1>y3>y2时，a>0，点P在直线AB上方，a+2a−2>12x+1，解得a>56;②y2>y3>y1时，a<0，点Q在直线AB上方，
94a−3a−2>34+1，解得a<−5．
本题考查二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)因为抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)，B(3,0)，
所以a+b+3=09a+3b+3=0,
解得a=1b=−4,
所以抛物线的函数表达式为y=x2−4x+3；
(2)证明：设直线CE对应的函数表达式为y=kx+n(k≠0)，
因为E为AB中点，所以E(2,0)，
又因为C(4,3)，
所以2k+n=04k+n=3，解得k=32b=−3,
所以直线CE对应的函数表达式为y=32x−3，
因为点Dm,−34在抛物线上，所以m2−4m+3=−34，
解得，m=32，或m=52，
又因为m<2，所以m=32，
所以D32,−34，
因为32×32−3=−34，即D32,−34满足直线CE对应的函数表达式，
所以点D在直线CE上，即C，D，E三点共线；
(3)△ABP的面积为定值，其面积为2．
【解析】(1)见答案；
(2)见答案；
(3)△ABP的面积为定值，其面积为2．
理由如下：
如图1，当C，D分别运动到点C′，D′的位置时，C，D′与D，C′分别关于直线EM对称，此时仍有C′，D′，E三点共线．
设AD′与BC′的交点为P′，则P，P′关于直线EM对称，即PP′//x轴，
此时，PP′与AM不平行，且AM不平分线段PP′，
故P，P′到直线AM的距离不相等，即在此情形下△AMP与△AMP′的面积不相等，
所以△AMP的面积不为定值；
如图2，当C，D分别运动到点C1，D1的位置，且保持C1，D1，E三点共线．此时AD1与BC1的交点P1到直线EM的距离小于P到直线EM的距离，
所以△MEP1的面积小于△MEP的面积，故△MEP的面积不为定值；
又因为△AMP，△MEP，△ABP中存在面积为定值的三角形，故△ABP的面积为定值；
在(2)的条件下，∵B(3,0)，C(4,3)，D(32,−34)，
∴直线BC对应的函数表达式为y=3x−9；直线AD对应的函数表达式为y=−32x+32，
由y=3x−9y=−32x+32，解得x=73y=−2,
∴P73,−2，此时△ABP的面积为2．
(1)利用待定系数法，构建方程组求解；
(2)求出直线CE都是解析式，再判断出点D的坐标，可得结论；
(3)取特殊位置，判断出△AMP，△MEP的面积不为定值，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】解：(1)由图象可知B(2,4)在二次函数y2=ax2上，
∴4=a×22，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为y2=x2．
(2)∵A(−1,n)在二次函数y2=x2上，
∴n=(−1)2，
∴n=1，则A(−1,1)，
又A、B两点在一次函数y1=kx+b上，
1=−k+b4=2k+b，解得k=1b=2，
∴一次函数的解析式为y1=x+2，
(3)根据图象可知：当x<−1或x>2时，y1【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，注意数形结合思想在解题中的应用．
(1)把B坐标代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式；
(2)先求得A点坐标，再把A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求得一次函数的解析式；
(3)观察一次函数的图像在二次函数图像下方时x的取值．
25.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(3,0)代入y=x2+bx+c得：
0=1−b+c0=9+3b+c，解得：b=−2c=−3，
∴抛物线C1的解析式为y=x2−2x−3;
(2)当x=0时，y=−3，
∴C(0,−3)，
设直线BC的函数表达式为y=hx+n，
把B(3,0)，C(0,−3)代入得：
0=3h+n−3=n，解得：h=1n=−3，
∴直线BC的函数表达式为y=x−3，
∵点D的横坐标为t，
∴D(t,t2−2t−3)，E(t,t−3)，F(t+1,t2−4)，G(t+1,t−2)，
∴DE=t−3−t2+2t+3=−t2+3t，GF=t−2−t2+4=−t2+t+2，
∵DE=FG，
∴−t2+3t=−t2+t+2，
解得：t=1，
∴当t=1时DE=FG；
(3)如图，过C作射线CP，使∠FCP=30°，过Q作QM⊥CP于M，过B作BH⊥CP于H，交CF于点Q′，
则在Rt△CMQ中，MQ=12CQ，
∴BQ+12CQ=BQ+MQ≥BH，
∴当点Q与点Q′重合时，BQ+12CQ取最小值，
由(2)知：当t=1时DE=FG，
∴F(2,−3)，
∴CF//x轴，
∴直线CP的解析式为y=− 33x−3，
设直线BH的解析式为y= 3x+a，代入B(3,0)得0=3 3+a，
解得a=−3 3，
∴直线BH的解析式为y= 3x−3 3，
当y=−3时， 3x−3 3=−3，
解得：x=3− 3，
∴Q(3− 3,−3)．
【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、两点间线段最短，垂线段最短，待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质、二次函数上点的坐标特征、含30°的直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、添加适当的辅助线是解题的关键．
(1)把A(−1,0)，B(3,0)代入y=x2+bx+c，求出b和c的值即可得出函数解析式；
(2)先求出BC的函数表达式为y=x−3，则D(t,t2−2t−3)，E(t,t−3)，F(t+1,t2−4)，G(t+1,t−2)，得出DE=−t2+3t，GF=−t2+t+2，根据DE=FG列出方程求解即可；
(3)过C作射线CP，使∠FCP=30°，过Q作QM⊥CP于M，过B作BH⊥CP于H，交CF于点Q′，根据MQ=12CQ得BQ+12CQ=BQ+MQ≥BH，当点Q与点Q′重合时，BQ+12CQ取最小值，求出直线BH的解析式即可得到Q点的坐标．x
…
−8
−6
−5
0
3
6
…
y
…
28
18
14
4
6
14
…