上海市上海中学2023-2024学年高一下学期期终数学考试(无答案)

这是一份上海市上海中学2023-2024学年高一下学期期终数学考试(无答案)，共4页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一______班 学号______ 姓名______ 成绩______
一、填空题（每小题3分）
1．如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是______．
2．已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第_____象限．
3．设平面向量，若不能组成平面向量的一个基，则______．
4．已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成______．部分．
5．若复数满足：，则______．
6．在正方体中，为的中点，则直线与所成角大小为______．
7．如图，四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线的中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为：______．
8．已知向量，满足：，，，则在上的数量投影为______．
9．已知复数和复数满足：，则______．
10．已知非零向量，，满足：，则的最大值为______．
11．已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为______．
12．已知平面向量，满足：．若对区间内的三个任意实数，都有，则向量与夹角的最大值的余弦值为______．
二、选择题（每小题4分）
13．已知向量，则“”是“的夹角为锐角”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
14．已知，则下列命题中正确的个数为（ ）
①若，则
②若为虚数，则中至少有一个为虚数．
③在复平面上所对应的点一定在虚轴上．
A．0B．1C．2D．3
15．如图，已知正方体，分别是的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
16．正方体中，为正方形内一点（不含边界），记O为正方形ABCD的中心，直线与平面所成角分别为．若，则点在（ ）
A．线段上B．线段上C．线段上D．线段上
三、解答题
17．（本题共8分）如图，正方体中，分别为的中点．
（1）证明：平面ABCD．
（2）求异面直线与所成角的大小．
18．（本题共10分）如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且．
（1）若，求实数的值．
（2）计算的值．
19．（本题共10分）设复数满足：
（1）若，求与．
（2）若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值．
20．（本题共10分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，点分别为的中点．
（1）证明：直线平面．
（2）求点到平面的距离．
21．（本题共10分）已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和．
（1）若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示）
（2）证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①；②且