上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题(无答案)

上海中学2022学年第二学期高一年级数学期末

2023.6

一、填空题（每题3分，共36分）

1．已知复数，为虚数单位，则_________．

2．已知点，，若点满足，则点的坐标为_________．

3．已知复数满足，为虚数单位，则_________．

4．已知非零向量、满足且，则与的夹角为_________．

5．在正方体中，与交于点，则直线与直线所成角的大小为_________．

6．已知复平面上平行四边形的顶点，、、按逆时针方向排列，则向量所对应的复数为_________．

7．设，则集合的子集个数为_________．

8．已知向量，，的夹角为，，则在方向上的投影向量的坐标为_________．

9．如图，为平面外一点，底面，，，，，若为棱上一点，满足，则_________．

10．已知复数，，为虚数单位，若，复数，对应的向量分别为，，存在使得等式成立，则实数的取值范围为_________．

11．在中，，，分别为边，，上的点，且，，．设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为_________．

12．已知的外接圆圆心为，，，，若有最小值，则参数的取值范围为_________．

二、选择题（每题4分，共16分）

13．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（    ）

A．若，，，则   B．若，则

C．若，，，则   D．若，，则

14．已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ）

A．内心     B．垂心     C．重心     D．边的中点

15．如图，在矩形中，，分别为边、上的点，且，，设、分别为线段、的中点，将四边形沿着直线进行翻折，使得点不在平面上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（    ）

A．直线直线   B．直线直线

C．直线直线   D．直线平面

16．已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（    ）

A．3     B．4     C．5     D．6

三、解答题（本大题共有5题，共48分，解答时必须写出必要的步骤）

17．（本题9分）已知，，．

（1）求与的夹角；

（2）求的值．

18．（本题9分）如图，为平面外一点，底面，四边形是矩形，，点是的中点，点在边上移动．

（1）当点为中点时，求证：平面；

（2）求证：无论点在边的何处，都有．

19．（本题9分）已知关于的实系数一元二次方程．

（1）若复数是该方程的一个虚根，且，为虚数单位，求实数的值；

（2）记方程的两根为，，若，求实数的值．

20．（本题10分）利用平面向理的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．

（1）设，，为虚数单位，求复向量、的模；

（2）设、是两个复向量，

①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立；

②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数．

21．（本题11分）如图，已知是边长为1的正的外心，为边上的等分点，为边上的等分点，为边上的等分点．

（1）当时，求的值；

（2）当时．

①求的值（用含，的式子表示）；

②若，分别求集合中最大元素与最小元素的值．