2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线 知识精练(含答案)
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第1题图
2. 如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,过点D作DE∥BC交AC于点E,作DF⊥BC于点F,若DF=4,DE=5,则△CDE的面积为________.
第2题图
3. 如图,在△ABC中,∠ABC=30°,BD是∠ABC的平分线,交边AC于点D,E为BD上一点,过点E作EF⊥AB于点F,若EF=2,则线段BF的长为________.
第3题图
4. 如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,且3BD=2CD,若AC=3,则AB的长为________.
第4题图
5. 如图,在▱ABCD中,BG,AG分别平分∠ABC与∠BAD,GH⊥AB,GH=5,BC=15,则▱ABCD的面积是________.
第5题图
6. 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至点E,使DE=AD,连接CE.
求证:BC=AB+CE.
第6题图
7. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,且CE⊥BD交BD的延长线于点E.
(1)若AD=1,求DC的长;
(2)求证:BD=2CE.
第7题图
参考答案与解析
1. 5 【解析】如解图,过点D作AB的垂线,垂足为P,在Rt△ABC中,∵AC=8,BC=6,∴AB= eq \r(AC2+BC2) = eq \r(82+62) =10.∵BD是∠ABC的角平分线,∴∠CBD=∠PBD,∵∠C=∠BPD=90°,BD=BD,∴△BDC≌△BDP(AAS),∴BC=BP=6,CD=PD,设CD=PD=x,在Rt△ADP中,∵PA=AB-BP=4,AD=8-x,∴x2+42=(8-x)2,∴x=3,∴AD=5.
第1题解图
2. 10 【解析】如解图,过点D作DG⊥AC于点G,∵CD平分∠ACB,DF⊥BC,DG⊥AC,∴∠BCD=∠ACD,DG=DF=4.∵DE∥BC,∴∠CDE=∠BCD,∴∠CDE=∠ACD,∴CE=DE=5,∴S△CDE= eq \f(1,2) CE·DG= eq \f(1,2) ×5×4=10.
第2题解图
3. 4+2 eq \r(3) 【解析】如解图,过点E作EG∥BC交AB于点G,则∠GEB=∠EBC,∵BD是∠ABC的平分线,∠ABC=30°,∴∠EBC=∠FBE=15°,∴∠FBE=∠GEB=15°,∴BG=GE.∴∠FGE=30°.∵EF⊥AB,∴GE=2FE=4,GF=GE·cs 30°=2 eq \r(3) ,∴BF=BG+GF=4+2 eq \r(3) .
第3题解图
4. 2 【解析】如解图,过点B作BE∥AD交CA的延长线于点E,则∠E=∠CAD,∠ABE=∠BAD,∴△CBE∽△CDA,∴ eq \f(EC,AC) = eq \f(BC,DC) .∵3BD=2CD,∴BC= eq \f(5,3) CD,∴ eq \f(EC,AC) = eq \f(5,3) .∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠ABE=∠E,∴AB=AE.∵EC=AC+AE,∴ eq \f(AC+AB,AC) = eq \f(5,3) ,即 eq \f(3+AB,3) = eq \f(5,3) ,解得AB=2.
第4题解图
5. 150 【解析】如解图,作GE⊥AD交AD于点E,EG的延长线交BC于点F,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∵GE⊥AD,∴EF⊥BC.∵BG,AG分别平分∠ABC与∠BAD,∴GE=GH=5,GF=GH=5,∴EF=5+5=10,▱ABCD的面积为BC×EF=15×10=150.
第5题解图
6. 证明:如解图,在BC上截取BF=AB,连接DF.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠1=∠2= eq \f(1,2) ∠ABC=20°.
在△ABD与△FBD中,
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB=FB,,∠1=∠2,,BD=BD,))
∴△ABD≌△FBD(SAS),
∴DF=DA=DE,∠BAD=∠BFD.
又∵∠A=100°,∠ABC=40°,
∴∠ACB=∠ABC=40°,∠DFC=180°-∠BFD=180°-∠A=80° ,
∴∠FDC=180°-∠DFC-∠DCF=60° .
∵∠EDC=∠ADB=180°-∠1-∠A=180°-20°-100°=60°,
∴∠FDC=∠EDC.
在△DCE 与 △DCF中,
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DE=DF,,∠EDC=∠FDC,,CD=CD,))
∴△DCE ≌ △DCF(SAS),
∴CE=CF,
∴BC=BF+CF=AB+CE,
即BC=AB+CE.
第6题解图
7. (1)解:如解图①,过点D作DH⊥BC于点H,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠BCA=45°,
∴DH=CH.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴DH=AD=1,
∴在Rt△CHD中,
DC= eq \r(CH2+HD2) = eq \r(2) ;
图①
图②
第7题解图
(2)证明:如解图②,延长CE,BA相交于点F,
∵∠EBF+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°,
∴∠EBF=∠ACF.
在△ABD和△ACF中,
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ABD=∠ACF,,AB=AC,,∠BAD=∠CAF,))
∴△ABD≌△ACF(ASA),
∴BD=CF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBC=∠EBF.
在△BCE和△BFE中,
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EBC=∠EBF,,BE=BE,,∠CEB=∠FEB,))
∴△BCE≌△BFE(ASA),
∴CE=EF,
∴CF=2CE,
∵BD=CF,∴BD=2CE.
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