2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 反比例函数与一次函数综合题 教学课件

这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 反比例函数与一次函数综合题 教学课件，共39页。PPT课件主要包含了考情及趋势分析，第1题图①，第1题图②，第1题图③，∴n－m的值为2，第1题图④，第1题解图③，第1题图⑤，第1题解图④，第2题图①等内容，欢迎下载使用。
类型一　线段问题(2022.18)
1. (2022成都18题改编)如图①，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－2x＋6的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A(a，4)，B两点．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
解：(1)将点A(a，4)代入一次函数y＝－2x＋6中，得4＝－2a＋6，解得a＝1，即点A坐标为(1，4)，∴k＝1×4＝4，∴反比例函数的表达式为y＝ ，
联立 解得 (舍)∴点B的坐标为(2，2)；
(2)如图②，在y轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，请求出此时点P的坐标；
(2)如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，此时△PAB的周长最小．
由(1)可得，点A(1，4)，∴点A′(－1，4).设直线A′B的表达式为y＝k1x＋b，将A′(－1，4)，B(2，2)代入y＝k1x＋b，
得 解得k1＝－ ，b＝
则y＝－ x＋ ，当x＝0时，y＝ ，∴△PAB的周长最小时，点P的坐标为(0， )；
(3)如图③，直线y＝4x与反比例函数y＝ 的图象交于A，C两点，连接BC交x轴于点D，设直线AB交x轴于点E，且AB＝mBE，BC＝nBD，求n－m的值；
【思维教练】根据点到坐标轴的距离及平行线分线段成比例分别求出m，n的值，即可求解．
(3)如图，过点B作y轴的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，CQ交x轴于点P，过点A作AG⊥x轴于点G交BQ于点H.
∵直线y＝4x与反比例y＝ 的图象交于A，C两点，由(1)知A(1，4)，∴由对称性得C(－1，－4)，∵BH∥EG，
∴ ＝1＝m，同理可得， ＝3＝n，
(4)过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1∶2的两部分时，求BC的长；
【思维教练】设AC交y轴于点D，线段AC被y轴分成两部分，需分AD∶CD＝1∶2和CD∶AD＝1∶2两种情况，再结合相似三角形和勾股定理求解．
(4)如解图③，由题可知，点C只能在第三象限，∴在第三象限上取一点C，连接AC，BC，设AC交y轴于点D，过点A作平行于y轴的直线AE，过点D作AE的垂线，交AE于点F，过点C作AE的垂线，交AE于点E，则△ADF∽△ACE，
∴ .∵点A的坐标为(1，4)，∴DF＝1.分两种情况讨论：①AD∶CD＝1∶2，则 ，解得CE＝3.∵点E的横坐标为1，∴点C的横坐标为－2，
将x＝－2代入y＝ ，解得y＝－2，∴点C的坐标为(－2，－2)，∴BC＝ ＝4 ；②CD∶AD＝1∶2，则 ，解得CE＝ .∵点E横坐标为1，∴点C的横坐标为－ ，将x＝－ 代入y＝ ，解得y＝－8，∴点C的坐标为(－ ，－8)，∴BC＝ ，综上所述，BC的长为4或 ；
【思维教练】根据“完美筝形”的定义及待定系数法分别求出直线BP，AP，BQ的表达式，即可求解．
(5)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．
(5)如解图④，设AP与BQ交于点H，由题可知AP⊥BQ，∴只有∠PQA＝∠PBA＝90°符合题意，∴PB⊥AB.∵直线AB的表达式为y＝－2x＋6，∴可设直线BP的表达式为y＝ x＋b，将点B(2，2)代入，得2＝ ×2＋b，解得b＝1，∴直线BP的表达式为y＝ x＋1.
∴P(－4，－1).∵点A(1，4)，P(－4，－1)，∴可求得AP的表达式为y＝x＋3.∵QB⊥AP，∴设直线QB的表达式为y＝－x＋t，将点B(2，2)代入，得2＝－2＋t，解得t＝4，∴直线QB的表达式为y＝－x＋4.
联立 解得 或 (舍)，
∴H( ， ).∵H为点Q，B的中点，∴ ， ，解得xQ＝－1，yQ＝5，∴Q(－1，5).综上所述，点P的坐标为(－4，－1)，点Q的坐标为(－1，5).
联立 解得
类型二　面积问题(8年5考：2023.18，2020.19，2019.19，2017.19，2016.19)
2. (2023成都18题改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋5与y轴交于点A，与反比例函数y＝ 的图象的其中一个交点为B(a，4)，过点B作AB的垂线l.(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
解：(1)令x＝0，则y＝5，∴点A的坐标为(0，5)，将点B(a，4)代入y＝－x＋5，得4＝－a＋5，
解得a＝1.∴B(1，4)，将点B(1，4)代入y＝ ，得4＝ ，解得k＝4.∴反比例函数的表达式为y＝ ；
(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
(2)如解图①，设直线l与y轴交于点M，直线y＝－x＋5与x轴交于点N，
令y＝－x＋5＝0，解得x＝5，∴N(5，0)，∴OA＝ON＝5.又∵∠AON＝90°，∴∠OAN＝45°.
∵A(0，5)，B(1，4)，∴AB＝ ＝ .又∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∴∠AMB＝∠OAN＝45°，∴AB＝BM＝ ，∴AM＝ ＝2，∴M(0，3).设直线l的表达式是y＝k1x＋b1，将点M(0，3)，点B(1，4)代入y＝k1x＋b1中，
得 解得
∴直线l的表达式是y＝x＋3.设点C的坐标是(t，t＋3)，连接AC，∵S△ABC＝ AM·|xB－xC|＝ ×2×|1－t|＝5，解得t＝－4或6，当t＝－4时，t＋3＝－1；当t＝6时，t＋3＝9，∴点C的坐标为(6，9)或(－4，－1)；
(3)[2019成都19(2)题改编]如图③，设直线AB与反比例函数y＝ 的图象交于另外一点C，交x轴于点D，连接OB，OC，求△OBC的面积；
(3)如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足记为E，F.
联立得 解得 或
∴点B的坐标为(1，4)，BE＝4，点C的坐标为(4，1)，CF＝1，令y＝－x＋5＝0，解得x＝5，∴点D的坐标为(5，0).∴DO＝5，∴S△BOC＝S△BOD－S△COD＝ OD·BE－ OD·CF＝ ×5×4－ ×5×1＝ ；
(4)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数y＝ 的图象上，求点P的坐标及m的值．
【思维教练】根据位似图形的性质确定D，E的位置，再根据平行线的性质及待定系数法分别求出直线DE，AD的表达式，联立方程组求出点P，再求出相似比m即可．
(4)∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，且D，E在反比例函数图象上，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与反比例函数y＝ 图象的另一个交点．如解图③，将直线l与反比例函数的表达式联立得 解得 (舍)或∴E(－4，－1).又∵△PAB∽△PDE，∴∠PAB＝∠PDE.∴AB∥DE.∴直线AB与直线DE的表达式中的一次项系数相等，设直线DE的表达式是y＝－x＋b2，
将点E(－4，－1)代入y＝－x＋b2中，得－1＝－(－4)＋b2，解得b2＝－5，∴直线DE的表达式是y＝－x－5.∵点D在反比例函数y＝ 的图象上，∴点D是直线DE与反比例函数y＝ 图象的另一个交点，
∴D(－1，－4).设直线AD的表达式为y＝k3x＋b3，将点A(0，5)，D(－1，－4)代入，得 解得
联立得 解得 或 (舍)
∴直线AD的表达式是y＝9x＋5.将直线AD的表达式与直线l的表达式联立得 解得
∴点P的坐标为(－ ， ).∴BP＝ ，EP＝ .∴m＝ ＝3.
反比例函数与一次函数综合题中的面积问题常见图形有：图形1
面积计算：方法1：S△AOB＝ OD·|xB－xA|＝ OC·|yA－yB|；方法2：S△AOB＝S△AOC＋S△COD＋S△BOD；方法3：作AE⊥y轴于点E，BF⊥x轴于点F，延长AE与BF相交于点N，则S△AOB＝S△ANB－S△AOE－S△BOF－S矩形OENF.
面积计算：方法1：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD；方法2：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，则S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S四边形AEFB.
3. (2021成都19题改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝ x的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A(a，－2)，B两点．(1)求反比例函数的表达式和B点的坐标；
解：(1)∵点A(a，－2)在正比例函数y＝ x的图象上，∴－2＝ a，解得a＝－4，∴点A(－4，－2)，将点A(－4，－2)代入反比例函数y＝ 中，得k＝－4×(－2)＝8，∴反比例函数的表达式为y＝ ，
联立 解得 (舍)
∴点B的坐标为(4，2)；
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
【思维教练】由一次函数、反比例函数表达式设出P，C点坐标，结合两点间距离公式和三角形面积公式即可求解．
(2)设点P的坐标为(m， )，∴点C的坐标为(m， m)，∴PC＝| － m|，∴S△POC＝ PC·xP，
即3＝ ×| － m|·m，整理为|8－ m2|＝6，解得m＝±2或±2 ，∵点P在第一象限，∴m＞0，∴点P(2，4)或(2 ， ).
类型三　特殊图形问题(8年2考：2021.19，2018.19)
4. (2021成都19题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ x＋ 的图象与反比例函数y＝ (x>0)的图象相交于点A(a，3)，与x轴相交于点B.(1)求反比例函数的表达式；
解：(1)∵点A(a，3)在一次函数y＝ x＋ 的图象上，∴ a＋ ＝3，解得a＝2，∴A(2，3).
∵点A在反比例函数y＝ (x>0)的图象上，∴k＝2×3＝6，∴反比例函数的表达式为y＝ ；
【思维教练】结合等腰三角形的性质和对称性求出点D的坐标，根据待定系数法和联立方程组即可求解．
(2)过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标；
(2)在y＝ x＋ 中，令y＝0，得 x＋ ＝0，解得x＝－2，∴B(－2，0).
设D(t，0)，∵△ABD是以BD为底的等腰三角形，∴由对称性得 ＝xA，即 ＝2，解得t＝6，∴D(6，0).设直线AD的函数表达式为y＝mx＋n(m≠0)，
∴直线AD的函数表达式为y＝－ x＋ .
将点A，D的坐标代入，得 解得
联立 解得 或 (舍)
∴点C的坐标为(4， )；
【思维教练】根据函数表达式设出点M，N，结合两点间距离公式和平行四边形的性质列出方程，即可求解．
(3)变图形——平行四边形[2018成都19(2)题改编]设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝ (x＞0)的图象于点N，若B，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
(3)设M( m－2，m)，N( ，m)，当MN∥OB且MN＝OB时，四边形BOMN是平行四边形，∵B(－2，0)，∴OB＝2，
∴| － m＋2|＝2，且m＞0，解得m＝ (负值已舍去)或m＝ (负值已舍去)，∴点M的坐标为(2 －2， )或(2 ， ).