2024成都中考数学第一轮专题复习之第六章 微专题 圆的综合题 教学课件

这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习之第六章 微专题 圆的综合题 教学课件，共44页。PPT课件主要包含了考情及趋势分析，第1题图，第2题图，第3题图，第5题图，解如图连接DC，第6题图，第7题图，第8题图，第9题图等内容，欢迎下载使用。

突破设问一　切线的判定(8年4考：2021.20，2020.20，2018.20，2017.20)
证明切线的方法：1. 当切点确定时，常用的方法有：(1)当需要证明的切线有一条垂线时，可证明过切点的半径与这条垂线平行；
(2)利用等角转化证明过切点的半径与需要证明的切线的夹角为90°；(3)常在“共点双切线模型”中利用全等三角形证明半径与需要证明的切线的夹角为90°；
2. 当切点不确定时，常用的方法有：(1)当有角平分线时，利用角平分线的性质证明所作垂线段等于半径；(2)当存在线段相等，角度相等等条件时，利用全等三角形的性质证明所作的垂线段等于半径．
1. 如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作BC的垂线，交BC于点E，交BA的延长线于点F.求证：EF是⊙O的切线．
∵AB＝BC，∴∠C＝∠BAC.∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAO，
证明：如图，连接OD.
∴∠ODA＝∠C，∴OD∥BC.∵EF⊥BC，∴EF⊥OD.∵OD为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．
类型一　切点确定，连半径，证垂直
2. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB上一点，CA＝CD，CD的延长线交⊙O于点E，F为⊙O外一点，且∠EBF＝∠BCE.求证：BF是⊙O的切线．
证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACE＝90°.∵∠ACE＝∠ABE，∠EBF＝∠BCE，∴∠EBF＋∠ABE＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线．
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°.以AB为直径的⊙O交AC于点D，点F为BC边的中点，连接AF，DF.求证：DF是⊙O的切线．
∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BD.∵AO＝BO，CF＝BF，∴O，F分别是AB，BC的中点，∴OF是△ABC的中位线，∴OF∥AC，∴OF⊥BD.
证明：如图，连接OD，BD，OF.
∵OB＝OD，∴OF是BD的垂直平分线，∴DF＝BF.在△ODF与△OBF中，∴△ODF≌△OBF(SSS)，∴∠ODF＝∠OBF＝90°，∴OD⊥DF.∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．
4. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，作OD⊥AB于点D，以O为圆心，OD长为半径作⊙O.求证：AC与⊙O相切．
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE.∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．
证明：如图，连接AO，过点O作OE⊥AC于点E，
类型二　切点不确定，作垂直，证半径
突破设问二　与线段有关的问题(8年8考：2023.17，2022.17，2016～2021.20)
5. 如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，E是BC上一点，DE＝BE，过点D作⊙O的切线，交BC的延长线于点F，若AD＝4，DE＝5，求DF的长．
【思维教练】遇到角平分线，则考虑构造全等三角形，连接CD可知CD＝AD，当图中作出辅助线后有直角三角形，利用勾股定理和三角形相似求长度．
∵DF是⊙O的切线，∴∠BDF＝∠DCB＝∠DCF＝90°，∴∠F＋∠DBF＝∠BDC＋∠DBF＝90°，∴∠F＝∠BDC，∴△DCF∽△BCD，∴ ，即 ，∴DF＝2 .
6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，弦BF交CD于点G，点P在CD的延长线上，且PF与⊙O相切．若OB＝10，BF＝16，BE＝8，求PF的长．
【思维教练】圆中有直径，连接AF构造90°的圆周角，利用△BEG∽△BFA，再根据角与角之间的关系，推出△PFG∽△OFA，即可求出线段的长．
解：如图，连接AF，OF，
∴ ，∴BG＝10，∴FG＝BF－BG＝6，∴GE＝ ＝6，在Rt△ABF中，AB＝20，BF＝16，∴AF＝ ＝12.∵PF与⊙O相切，∴∠OFP＝90°.∵∠AFO＋∠OFB＝∠OFB＋∠GFP＝90°，
∴∠AFO＝∠GFP.又∵∠PGF＝∠BGE，∴∠A＝∠AFO＝∠PFG＝∠PGF，∴△PFG∽△OFA，∴ ，即 ，∴PF＝5.
7. 如图，AB为⊙O的弦，过点O作OA的垂线，交⊙O于点C，交AB于点D，交过点B的切线于点E.求证：EB＝ED.
【思维教练】圆中有切线，连接OB，构造90°的角，再根据OA⊥CE，得到∠AOD＝90°，倒角得到三角形两个底角相等，即可证明三角形的两腰相等．
∵BE是⊙O的切线，切点为B，∴OB⊥BE，即∠DBE＋∠OBD＝90°.
证明：如图，连接OB.
∵OA⊥CE，∴∠AOD＝90°，∴∠OAD＋∠ODA＝90°.∵OA＝OB，∴∠OBD＝∠OAD.∴∠DBE＝∠ODA，又∵∠ADO＝∠BDE，∴∠BDE＝∠DBE，∴EB＝ED.
8. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，弦DE⊥AB，垂足为F，∠ADC＝90°.求证：DE∥BC.
【思维教练】根据圆内接四边形对角互补，得到∠B＝90°，再根据DE⊥AB得到∠AFD＝90°，由同位角相等可推出两直线平行．
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵∠ADC＝90°，∴∠B＝90°.
∵DE⊥AB，∴∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠B，∴DE∥BC.
证明：∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC.∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴DE⊥AC.
9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E.求证：DE⊥AC.
【思维教练】由于DE⊥OD，要证DE⊥AC，只需推出OD∥AC.
10. (2023杭州改编)如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G(不与点O，B重合)，连接OF.求证：BC2＝BG·BO.
【思维教练】要证明BC2＝BG·BO，可利用三角形相似求证，即证明△ACB∽△CEB，得到BC2＝BE·AB，再根据圆周角定理和垂径定理可证OB＝ AB，BG＝2BE，等量代换即可求证．
证明：∵直径AB垂直弦CD，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＋∠D＝90°.∵CF⊥AD，∴∠FCD＋∠D＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCD，在△BCE和△GCE中，
∴△BCE≌△GCE(ASA)，∴BE＝GE.∵∠ACB＝∠CEB＝90°，∠ABC＝∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴ ，∴BC2＝BA·BE.∵AB＝2BO，BE＝ BG，∴BC2＝BA·BE＝2BO· BG＝BG·BO.
突破设问三　与角度有关的问题(2022.17)
11. 如图，A，B，C是⊙O上任意三点，AB＝BC，过点A作AD∥BC交过点C的⊙O的切线于点D，连接OB，OC，若∠ABC＝46°，求∠ADC的度数．
【思维教练】要求∠ADC的度数，根据两直线平行，同旁内角互补，只需要求出∠BCD，再根据切线与半径OC的夹角为直角和半径相等，连接OA，可知∠OCB＝∠OBC＝∠OAB＝∠OBA，即可求解．
∴∠OCD＝90°，∴∠BCD＝∠BCO＋∠OCD＝113°.∵BC∥AD，∴∠ADC＝180°－∠BCD＝180°－113°＝67°.
12. 如图，线段AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，取的中点D，连接AD，CD.求证：∠ABC＝2∠OAD.
证明：如图，连接DO并延长交⊙O于G，连接AG，CG.
∴∠OAD＝∠ADG，∴∠OAD＝ ∠ADC.∵∠ADC＝∠ABC，∴∠OAD＝ ∠ABC，即∠ABC＝2∠OAD.
突破设问四　与三角函数有关的问题(8年5考：2023.17，2022.17，2020.20，2018.20，2016.20)
13. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD.已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5∶8，求tan ∠ADB的值．
【思维教练】由菱形的性质和垂径定理可将求∠ADB转化为求∠AFG，结合题中的比例关系，表示出AG，FG的长度，解三角形即可．
解：如图，连接OA，设OA＝OF＝5x，则AD＝8x.
∴∠AGF＝∠AED＝90°，∵∠FAG＝∠DAE，∴∠ADE＝∠AFG，∴tan ∠ADB＝tan ∠AFG＝2.
1. (2023成都17题10分)如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE.(1)求证：AC＝BC；
(2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长．
∴BD＝2，AD＝4，AB＝ .如图，过点E作DC的垂线，交DC的延长线于点F，
∵BC＝AC，∴∠ACB＝180°－2∠B.又∵CE∥AB，∴∠ECF＝∠B.∵EF⊥CF，∴tan ∠ECF＝tan B＝2，即 ＝2.∵∠B＋∠BAD＝90°，∠ADE＋∠EDF＝90°，∠B＝∠ADE，∴∠BAD＝∠EDF，
∴∠DEF＝90°－∠EDF＝90°－∠BAD＝∠B，∴ ＝2.设CF＝a，则DF＝DC＋CF＝3＋a，∴EF＝2a，可得方程 ＝2，解得a＝1，经检验，a＝1是分式方程的解，∴EF＝2，DF＝4，∴DE＝ .
由AC是直径，得∠ADC＝90°，则利用勾股定理求得AB长；过点E作DC的垂线，交DC的延长线于点F，结合已知条件得tan B＝tan∠DEF，求得CF的长．
2.(2022成都17题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在 上取一点E，使 ＝ ，连接DE，作射线CE交AB边于点F.(1)求证：∠A＝∠ACF；
(2)若AC＝8，cs ∠ACF＝ ，求BF及DE的长
(2)解：如图，连接CD.
∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB.∵S△ABC＝ AC·BC＝ AB·CD，∴CD＝ ，∴BD＝ ，∴DF＝BF－BD＝5－ ＝ .∵∠DEF＋∠DEC＝180°，∠DEC＋∠B＝180°，
∴∠DEF＝∠B＝∠FCB，∴DE∥CB，∴△DEF∽△BCF，∴ ，∴ ，∴DE＝ .