2024届陕西省铜川市高考数学三模试卷（文科）

这是一份2024届陕西省铜川市高考数学三模试卷（文科），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合，，若，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.设复数z满足其中i为虚数单位，则z等于( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则C的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
4.设函数在区间单调递减，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆C：经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
7.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中9环的概率为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，则下列说法中不正确的是( )
A. 的最小正周期为B. 的最大值为
C. 在区间上单调递增D.
9.设的内角满足，，则“是锐角三角形”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10.已知原点为O，椭圆C：与直线l：交于A，B两点，线段AB的中点为M，若直线OM的斜率为，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
11.在正方体中，E，F，G分别为BC，CD，的中点，若，则平面EFG截正方体所得截面的面积为( )
A. B. C. D.
12.若函数有两个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某校高一年级甲，乙两名同学8次历史测试分制成绩如茎叶图所示，则甲，乙两名同学成绩的中位数之和为______.
14.已知点O为外接圆的圆心，且，则______.
15.已知函数是定义域为R的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为______.
16.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且，均为正三角形，，，则该木楔子的外接球的表面积为______.
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题12分
已知数列满足：…，
求数列的通项公式；
若，求正整数m的最大值.
18.本小题12分
学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为，
求甲教师总得分为0分的概率；
判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别若，则认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别
19.本小题12分
如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E是PA的中点，F是线段PB上靠近P的三等分点，
求证：平面BDE；
求点F到平面BDE的距离.
20.本小题12分
已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
若求实数a的取值范围.
21.本小题12分
过抛物线C：焦点F的直线l交C于M，N两点，若直线l垂直于x轴，则的面积为2，其中O为原点.
求抛物线C的方程；
抛物线C的准线上是否存在点P，使得当时，的面积为若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
22.本小题10分
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
求曲线C的极坐标方程；
设M，N是曲线C上的两点，且，求面积的最大值.
23.本小题12分
已知函数
求不等式的解集；
记函数的最小值为M，若正数a，b，c满足，证明：
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合，，
若，则，
即m的取值范围为
故选：
由已知结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：，
，
，
故选：
利用复数的运算法则即可得出．
本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意得，令，
解得，则，即，
所以双曲线的方程为，
所以，
所以C的焦点坐标为
故选：
由题意判断，由双曲线方程写出其渐近线方程，比较即得，代入方程即可求得其焦点坐标．
本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线渐近线方程的求解，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解；设，其对称轴方程为，
是减函数，要使在区间单调递减，
则在区间单调递增且恒大于0成立，
则，即，
实数a的取值范围是
故选：
由复合函数的单调性把问题转化为在区间单调递增且恒大于0成立，由此可得实数a的取值范围．
本题考查复合函数的单调性及应用，考查化归与转化思想，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：，
则，
故选：
由已知结合和差角公式，辅助角公式进行化简，再由二倍角公式即可求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：圆C：经过点，
则，即，
故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
又，
圆心到原点的距离的最大值为
故选：
先求出圆心的轨迹方程，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
本题主要考查点与圆的距离的求解，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，设中心10环圆的半径为r，则射击靶所在大圆的半径为4r，则射击靶所在大圆的面积为；
同时9环所在圆环的面积为，
故某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中9环的概率为
故选：
根据题意，设中心10环圆的半径为r，求出射击靶所在大圆的面积和9环所在圆环的面积，由几何概型计算公式计算可得答案．
本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：依题意，则函数的最大值为，最小值正周期为，从而可排除A，B选项．
，，根据三角函数的性质可知，
当，即时函数单调递减，
当，即时函数单调递增，
故在区间上不可能单调递增，应选C项．
为偶函数，
从而，从而可排除D选项．
故选：
首先化解函数的解析式，再根据函数的性质判断ABC，求，判断函数是否是偶函数，即可判断
本题主要考查了三角函数性质的综合应用，属于中档题．
9.【答案】A
【解析】解：是锐角三角形，
则，
故，能推得，即充分性得证；
当时，满足，但不是锐角三角形，必要性不成立．
故选：
根据正弦函数的单调性，依次判断充分性、必要性，即可求解．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】解：设，，，即，
直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，
则两式相减可得，
，即，即，故
故选：
设，，，利用平方差法转化求解离心率即可．
本题主要考查椭圆的性质，点差法的应用，考查计算能力，属于中档题．
11.【答案】D
【解析】解：如图，过点G作EF的平行线交于点J，过点J作FG的平行线交于点I，
过点I作EF的平行线交于点H，易知点J，I，H都在截面EFG内，
且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形，
所求面积
故选：
借助正方体截面的性质可得该截面是边长为的正六边形，计算其面积即可得．
本题考查正方体截面问题，属于中档题．
12.【答案】B
【解析】解：因为，
所以，
令，得
令，则
令，则，即，即
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
，
又当时，；当时，，
当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点．
故选：
先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系即可求解．
本题主要考查了函数极值存在条件的应用，属于中档题．
13.【答案】167
【解析】解：由茎叶图知：甲数据为78，80，81，82，84，88，93，95，乙数据为75，80，80，83，85，90，92，95，
所以甲，乙两组数据的中位数分别为，
故中位数之和为
故答案为：
根据中位数的定义求解．
本题主要考查了中位数的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，得，
由O为外接圆的圆心，得，
结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且，
故，
故
故答案为：
根据向量的运算可得，进而根据外心的性质以及向量加法的运算法则可得四边形OACB为的菱形，即可求解．
本题主要考查了向量的线性运算及向量加法的几何意义的应用，属于基础题．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：由为偶函数，知的图象关于y轴对称；
由为奇函数，知的图象关于点中心对称，
据此构造函数，则是偶函数；为奇函数，符合题意．
故答案为：答案不唯一
由已知结合函数的奇偶性及对称性即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及对称性在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，
则，故
取AD的中点，连接，
又，，则
由对称性易知，过正方形ABCD的中心且垂直于平面ABCD的直线必过线段EF的中点，且所求外接球的球心O在这条直线上，
设球O的半径为R，则，且，
从而，即，
当点O在线段内包括端点时，有，可得，
从而，即球心O在线段EF的中点，其半径
当点O在线段外时，，解得舍
故所求外接球的表面积为
故答案为：
根据题意，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，分析球心的位置，进而求出球的半径，进而计算可得答案．
本题考查球的表面积计算，涉及组合体的结构特征，属于中档题．
17.【答案】解：当时，，
当时，
，①
，②
由①-②得：，
，
又满足上式，
数列的通项公式为
由知，
，
由题意可得：，
解得，
又，
正整数m的最大值为
【解析】已知①，则②，由①-②得：，然后求解即可；
由知，然后累加求和解不等式即可．
本题考查了利用数列递推式求数列得通项公式，重点考查了裂项求和法，属中档题．
18.【答案】解：由题知甲教师在三个项目比赛中赢一项输两项，
故所求概率为；
不妨设甲在三个项目中获胜的事件依次为A，B，C，
则甲获得冠军的概率
，
则乙获得冠军的概率，
则，，
所以，
即甲、乙获得冠军的实力没有明显差别．
【解析】由题知甲教师在三个项目比赛中赢一项输两项，再由相互独立事件的概率的乘法公式即可解；
不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A，B，C，则教师甲获得冠军的概率，教师乙获得冠军的概率，然后结合题意求出，并代入所给公式即可判断．
本题考查了相互独立事件的概率的计算，属于中档题．
19.【答案】解：证明：如图，连接AC交BD于点O，连接EO，
因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点，
因为E是PA中点，所以，
因为平面BDE，平面BDE，
所以平面
因为平面ABCD，所以，
又四边形ABCD是正方形，所以
又，所以平面PAD，
又平面PAD，所以，
因为点E是PA的中点，，所以，
又，所以平面PAB，
又平面PAB，所以，
又易知，所以，
所以，
因为，
又，F是线段PB上靠近P的三等分点，
所以，
所以，
设点F到平面BDE的距离为d，
则，解得，
所以点F到平面BDE的距离为
【解析】先证，再用线面平行的判定定理即可得证；
利用等体积法求解即可．
本题考查线面平行的判定以及等体积法求点到平面的距离，属于中档题．
20.【答案】解：函数，
当时，，
，
，，
所求切线方程为，即
由题意得，
令，则，
当时，易知，
单调递增，
当，即时，，
函数单调递增，即，符合题意．
当，即时，，
又当时，，
，
当时，，函数单调递减，
当时，，不符合题意．
综上，实数a的取值范围为
【解析】求导数，可得，可求出切线方程．
构造新函数，讨论和，可得结果．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和切线方程，属于中档题．
21.【答案】解：易知抛物线C的焦点，
因为直线l垂直于x轴，
不妨设，
因为M，N两点均在抛物线上，
所以，
此时，
则，
解得，
故抛物线C的方程为；
由知抛物线C的准线方程为，，
设，，，
易知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为，
联立，消去x并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
即
，
解得，
因为，
又原点O到直线l的距离，
所以，
解得，
则
故存在点，符合题目要求．
【解析】由题意，设出M，N两点的坐标，代入抛物线中，求出，根据三角形面积公式进行求解即可；
设出P，M，N三点的坐标，易知直线l的斜率存在且不为0，设出直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算得到，再利用弦长公式、点到直线的距离公式和三角形面积公式进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，
消去参数得，，即，
因为，
所以，即，
故曲线C的极坐标方程为
由知曲线C的标准方程为，
所以曲线C是以为圆心，半径为5的圆，且过原点O，
因为，
所以MN过圆心，且为直角三角形，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
故面积的最大值为
【解析】消去参数可得曲线C的直角坐标方程，再转化为极坐标方程即可；
结合中所得可知曲线C是以为圆心，半径为5的圆，且过原点O，再根据勾股定理与重要不等式，求面积的最大值即可．
本题考查极坐标与参数方程，熟练掌握极坐标、直角坐标与参数方程之间的转化关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：，
不等式等价于或或，
解得或或，
不等式的解集为
证明：由易知，即，
，
即，
当且仅当时，等号成立．
【解析】将函数化为分段函数的形式，再分类讨论求解即可；
易知，进而得到，再由柯西不等式求证即可．
本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．