2024年河北省邯郸市峰峰矿区实验中学中考数学模拟试卷

这是一份2024年河北省邯郸市峰峰矿区实验中学中考数学模拟试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）有理数的运算：计算7+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣10B．﹣4C．4D．10
2．（3分）方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式计算方差：S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+…+（xn﹣3）2]，其中“3”是这组数据的（ ）
A．最小值B．平均数C．众数D．中位数
3．（3分）科学记数法：据估计，2023年温州市初中学业水平考试共计有94600位考生参加．其中数据94600用科学记数法表示为（ ）
A．94.6×103B．9.46×103C．9.46×104D．0.946×105
4．（3分）幂的运算：计算：（﹣a2）4÷a4 的结果是（ ）
A．﹣a4B．﹣a2C．a4D．a2
5．（3分）某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到CD的位置，已知AO＝a，则栏杆端点A上升的垂直高度DE的长为（ ）
A．asin36°B．acs36°C．D．atan36°
6．（3分）《九章算术》有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，则多出3400钱；每人出300钱（ ）
A．33人B．32人C．30人D．29人
7．（2分）在种植树木时，负责人员要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如图，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．2mB．4mC．8mD．4m
8．（2分）小哲匀速地向一个容器装水，直至装满容器，若在接水的过程中，则这个容器的形状可能是下列图中的（ ）
A．B．
C．D．
9．（2分）如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PF⊥OC于点F，PG⊥OB于点G，则（ ）
A．1B．2C．D．
10．（2分）如图①，正方形ABCD中，AC，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，则AB的长为（ ）
A．4B．4C．3D．2
11．（2分）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，则导火线的长x（m）应满足的不等式为（ ）
A．B．C．D．
12．（2分）如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西30°方向行走至C处，则方向的调整应是（ ）
A．右转30°B．右转90°C．左转90°D．左转30°
13．（2分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点M是△ABC的内心，则∠CDE的度数为（ ）
A．52°B．64°C．76°D．78°
14．（2分）如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形．连结EI交BA于点J，作JK∥AC 交lH 于点KAFGC：SABDE＝9：16，则的值为（ ）
A．B．C．D．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A（3，），（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，）（ ）
A．（6，0）B．（7，0）C．（0，7）D．（8，0）
16．（2分）在同一直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为（ ）
A．1B．mC．m2D．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17～18小题各3分，19小题4分）
17．（3分）若关于x的方程（x﹣m）2﹣2＝n 有两个不相等的实数根，则n的取值范围是 ．
18．（3分）如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，连接DE．若AC＝3DC，△ADE的面积为12 ．
19．（4分）如图1是机械设计上的曲柄摇杆机构模型图，该机械可以抽象成如图2的数学模型，曲柄AB绕点A旋转1和DC2间反复摆动．已知AB＝4cm，AD＝8cm，BC＝12cm．在旋转过程中，则x的最小值为 ．若DE⊥C1C2于点E，C1C2∥AD，则sinC1DE＝ ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）已知关于x的方程4x+2m＝3x+1的解比方程3x+2m＝6x+1的解大5，求这两个方程的解．
21．（9分）如图是某飞机模型的示意图，其中AE为固定支架，机身CD可以绕点E旋转调节摆放角度．经测量，旋转点E到机头D的距离ED为40cm，且支架AE与底座AB的夹角∠BAE＝70°．已知当ED与底座AB的夹角为30°时，求此时机头D到底座AB的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73，底座厚度忽略不计）
22．（9分）为了解学生对足球、舞蹈、诗词鉴赏、数学史这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两幅均不完整的统计图表．
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据调查结果，请你估计该校1000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（3）小丽和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”“B”“C”三门校本课程中随机选取一门，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
23．（10分）M，N两地相距400km，甲车和乙车先后从M地出发沿相同路线驶向N地，线段OA，折线OBDA分别表示甲车出发x（h）后（km）与x之间的函数关系；如图2是甲车出发x（h）后（km）的图象．
（1）求BD的函数表达式；
（2）求图2中m，n的值．
24．（10分）在下列特殊四边形中，图1、图2、图3分别为菱形、正方形和直角梯形，请按下列要求解决问题．
（1）请在图1中作出两条直线，使它们将菱形面积四等分；
（2）请在图2中作出两条直线，其中一条要经过点M使它们将正方形的面积四等分；
（3）在图3直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，试探究在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将梯形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在；若不存在，说明理由．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣2（a≠0）交x轴负半轴于点A，交y轴负半轴于点B，交y轴于点D，且∠ABO＝∠OAD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上总能存在点E，F，使得点E为PF的中点；
（3）直线m：y＝kx+1交抛物线于点G，H，记d1为点G到直线l的距离，d2为点H到直线l的距离，判断d1+d2是否存在最小值，若存在，求出最小值．若不存在
26．（13分）已知，在半圆O中，直径AB＝10，D在半圆O上运动，弦CD＝5．
（1）如图1，当时，求证：△CAB≌△DBA；
（2）如图2，若∠DAB＝22.5°，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）；
（3）如图3，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束
①点M的运动路径的总长 ；
②点M到AB的距离的最小值是 ．
2024年河北省邯郸市峰峰矿实验中学中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1～6小题各3分，7～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）有理数的运算：计算7+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣10B．﹣4C．4D．10
【分析】根据有理数的加法法则可以计算出所求式子的值，本题得以解决．
【解答】解：7+（﹣3）
＝5﹣3
＝4，
故选：C．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．（3分）方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式计算方差：S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+…+（xn﹣3）2]，其中“3”是这组数据的（ ）
A．最小值B．平均数C．众数D．中位数
【分析】根据方差的定义可得答案．
【解答】解：方差S2＝[（x2﹣3）2+（x4﹣3）2+（x8﹣3）2+…+（xn﹣2）2]，
中“3”是这组数据的平均数，
故选：B．
【点评】本题考查方差，解题的关键是掌握方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差．
3．（3分）科学记数法：据估计，2023年温州市初中学业水平考试共计有94600位考生参加．其中数据94600用科学记数法表示为（ ）
A．94.6×103B．9.46×103C．9.46×104D．0.946×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：94600＝9.46×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）幂的运算：计算：（﹣a2）4÷a4 的结果是（ ）
A．﹣a4B．﹣a2C．a4D．a2
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（﹣a2）4÷a4
＝a8÷a4
＝a3．
故选：C．
【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（3分）某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到CD的位置，已知AO＝a，则栏杆端点A上升的垂直高度DE的长为（ ）
A．asin36°B．acs36°C．D．atan36°
【分析】过点D作DE⊥AO，垂足为E，根据题意可得：OA＝OD＝a，∠BOC＝∠AOD＝36°，然后在Rt△DOE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可解答．
【解答】解：如图：过点D作DE⊥AO，垂足为E，
由题意得：OA＝OD＝a，∠BOC＝∠AOD＝36°，
在Rt△DOE中，DE＝OD•sin36°＝asin36°，
∴栏杆端点A上升的垂直高度DE的长为asin36°，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（3分）《九章算术》有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，则多出3400钱；每人出300钱（ ）
A．33人B．32人C．30人D．29人
【分析】根据题意可知：人数×400﹣3400＝人数×300﹣100，然后列出相应的方程，求解即可．
【解答】解：设合伙买金人数共有x人，
由题意可得：400x﹣3400＝300x﹣100，
解得x＝33，
答：合伙买金人数共有33人，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
7．（2分）在种植树木时，负责人员要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如图，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．2mB．4mC．8mD．4m
【分析】过点C作CB⊥DA，交DA的延长线于点B，根据已知可得＝，从而可得BC＝2m，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点C作CB⊥DA，交DA的延长线于点B，
∵斜坡AC的坡比为1：2，
∴＝，
∵AB＝4m，
∴BC＝AB＝2（m），
在Rt△ABC中，AC＝＝（m），
∴相邻两树间的坡面距离为2m，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2分）小哲匀速地向一个容器装水，直至装满容器，若在接水的过程中，则这个容器的形状可能是下列图中的（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据每一段函数的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【解答】解：从图中可以看出，OE段水面上升速度最快，FG段水面上升速度较快，
由速度变化与所给容器的粗细有关，
则相应的排列顺序为下端较细，中间最粗．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的图象，用到的知识点是函数图象的应用，掌握匀速地向一个容器内注水，容器粗细与水面高度变化的关联情况是解题关键．
9．（2分）如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PF⊥OC于点F，PG⊥OB于点G，则（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】过点G作GM⊥OC于点M，过点P作PN⊥MG于点N，证明四边形OEPG为矩形，得出OE＝PG，证明四边形FMNP为矩形，得出PN＝MF，由等腰直角三角形的性质得出OG＝OM，PG＝PN，则可得出答案．
【解答】解：过点G作GM⊥OC于点M，过点P作PN⊥MG于点N，
∵∠AOB＝90°，PE⊥OA，
∴四边形OEPG为矩形，
∴OE＝PG，
∵PN⊥MG，PF⊥OC，
∴∠PNM＝∠PFM＝∠NMF＝90°，
∴四边形FMNP为矩形，
∴PN＝MF，
∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠MOG＝45°，
∴OG＝OM，
同理PG＝PN，
∴OE＝MF，
∴＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
10．（2分）如图①，正方形ABCD中，AC，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，则AB的长为（ ）
A．4B．4C．3D．2
【分析】连接AE，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，AE＝2，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，
由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，
∵AE＝2，
∴x3+（2x）2＝（3）2，
解得x＝3或﹣2（不合题意舍弃），
∴OA＝OD＝4，
∴AB＝AD＝8，
故选：A．
【点评】本题考查动点问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型．
11．（2分）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，则导火线的长x（m）应满足的不等式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，从而可以列出相应的方程．
【解答】解：∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域，
∴＞，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
12．（2分）如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西30°方向行走至C处，则方向的调整应是（ ）
A．右转30°B．右转90°C．左转90°D．左转30°
【分析】根据平行线的性质得出∠A+∠ABH＝180°，∠ECB＝∠ABC，求出∠ABH＝120°，∠ABC＝90°，即可求出∠ECB＝90°，得出答案即可．
【解答】解：如图，
∵根据题意可知：AF∥BH，AB∥CE，
∴∠A+∠ABH＝180°，∠ECB＝∠ABC，
∵∠FAB＝60°，∠HBC＝30°，
∴∠ABH＝180°﹣60°＝120°，∠ABC＝120°﹣30°＝90°，
∴∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣90°＝90°，
即方向的调整应是右转90°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，方向角等知识点，能灵活运用平行线的性质是解此题的关键．
13．（2分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点M是△ABC的内心，则∠CDE的度数为（ ）
A．52°B．64°C．76°D．78°
【分析】由点M是△ABC的内心，得∠OAC＝∠BAC，∠OCA＝∠BCA，则∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA），而∠OAC+∠OCA＝180°﹣∠AMC＝52°，所以（∠BAC+∠BCA）＝52°，求得∠BAC+∠BCA＝104°，则∠B＝76°，由∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，得∠CDE＝∠B＝76°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵点M是△ABC的内心，∠AMC＝128°，
∴AM平分∠BAC，CM平分∠BCA，
∴∠OAC＝∠BAC∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA），
∵∠OAC+∠OCA＝180°﹣∠AMC＝180°﹣128°＝52°，
∴（∠BAC+∠BCA）＝52°，
∴∠BAC+∠BCA＝104°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣104°＝76°，
∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠CDE＝∠B＝76°，
故选：C．
【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义与性质、圆内接四边形的对角互补、同角的补角相等、三角形内角和定理等知识，求得∠BAC+∠BCA＝104°是解题的关键．
14．（2分）如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形．连结EI交BA于点J，作JK∥AC 交lH 于点KAFGC：SABDE＝9：16，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】延长AC，与IH的延长线交于点M，利用正方形的性质得到＝，设AC＝3k，则AB＝4k，则利用勾股定理求得BC＝5k，利用相似三角形的判定与性质求得线段CM，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用比例的性质解答即可得出结论．
【解答】解：延长AC，与IH的延长线交于点M，
∵若SAFGC：SABDE＝9：16，四边形AFGC与四边形ABDE为正方形，
∴＝，
∴设AC＝3k，则AB＝4k，
∴BC＝＝5k．
∵四边形BCHI为正方形，
∴CH＝BC＝4k．
∵∠BCH＝90°，
∴∠ACB+∠HCM＝90°，
∵∠HCM+∠M＝90°，
∴∠ACB＝∠M．
∵BAC＝∠CHM＝90°，
∴△ABC∽△HCM，
∴，
∴，
∴HM＝k，CM＝k．
∴EC＝AE+AC＝4k+3k＝3k，
∵JK∥AC
∴△ILJ∽△ICE，△ILK∽△ICM，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质勾股定理，平行线的性质，通过构造恰当的辅助线得到A型图，从而利用相似三角形的判定与性质解答是解题的关键．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A（3，），（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，）（ ）
A．（6，0）B．（7，0）C．（0，7）D．（8，0）
【分析】利用平移的性质结合图象求得平移距离，解决问题即可．
【解答】解：∵A，D，
∴△OAB向右平移3个单位得到△CDE，
∵B（8，0），
∴E（7，8）．
故选：B．
【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
16．（2分）在同一直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为（ ）
A．1B．mC．m2D．
【分析】二次函数y＝x2的图象上纵坐标相同的点关于y轴对称．点C（x3，m）使得y＝的左右两边相等．
【解答】解：设点A，B在二次函数y＝x2图象上，点C在反比例函数y＝．因为A，
∴x7+x2＝0，
∵C（x2，m），在反比例函数图象上3＝，
∴ω＝x4+x2+x3＝x5＝．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17～18小题各3分，19小题4分）
17．（3分）若关于x的方程（x﹣m）2﹣2＝n 有两个不相等的实数根，则n的取值范围是 n＞﹣2 ．
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程，有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，解出n的取值范围即可．
【解答】解：原方程可化为x2﹣2mx+（m5﹣2﹣n）＝0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞3，即4m2﹣2（m2﹣2﹣n）＞8，
解得n＞﹣2．
故答案为：n＞﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ＝b2﹣4ac＞0．
18．（3分）如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，连接DE．若AC＝3DC，△ADE的面积为12 9 ．
【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，可得AD∥OE，进而可得S△ACE＝S△AOC；设点A（m，），由已知条件AC＝3DC，DH∥AF，可得3DH＝AF，则点D（3m，），证明△DHC∽△AGD，得到S△HDC＝S△ADG，所以S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC，即可求解．
【解答】解：连接OE，CE，过点D作DH⊥x轴，
∵过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，
∴AD∥OE，
∴S△ACE＝S△AOC，
∵AC＝3DC，△ADE的面积为12，
∴S△ACE＝S△AOC＝18，
点A（m，），
∵AC＝3DC，DH∥AF，
∴3DH＝AF，
∴D（3m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC＝S△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝k+△HDC＝k+××××2m＝18，
∴k＝9，
故答案为7．
【点评】本题考查反比例函数k的意义，借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．
19．（4分）如图1是机械设计上的曲柄摇杆机构模型图，该机械可以抽象成如图2的数学模型，曲柄AB绕点A旋转1和DC2间反复摆动．已知AB＝4cm，AD＝8cm，BC＝12cm．在旋转过程中，则x的最小值为 8 ．若DE⊥C1C2于点E，C1C2∥AD，则sinC1DE＝ ．
【分析】连接AC，根据三角形三边之间的关系得出BC﹣AB＜AC＜AB+BC，当点A、B、C在同一条直线上时，取最小值即可；过点C1作C1F⊥AD于点F，过点C2作C2G⊥AD于点G，易证四边形C1FGC2为矩形，设DF＝DG＝EC1＝EC2＝x，则AF＝8﹣x，AG＝8+x，根据，，得出82﹣（8﹣x）2＝162﹣（8+x）2，求出x的值，则AF＝AD﹣DF＝2，根据勾股定理求出，，最后根据，即可求解．
【解答】解：连接AC，在△ABC中，
如图：点A，B2，C1在同一条直线上，
此时AC取最小值，AC＝12﹣2＝8；
过点C1作C7F⊥AD于点F，过点C2作C2G⊥AD于点G，
∵C6F⊥AD，C2G⊥AD，C1C2∥AD，
∴四边形C1FGC2为矩形，
∵DE⊥C2C2，
∴DF＝DG＝EC1＝EC8，
设DF＝DG＝EC1＝EC2＝x，则AF＝AD﹣DF＝6﹣x，
在Rt△AC1F中，，即，
在Rt△AC2G中，，即，
∴42﹣（8﹣x）5＝162﹣（8+x）7，
解得：x＝6，
则AF＝AD﹣DF＝8﹣7＝2，
∴，
在Rt△C1DF中，根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
故答案为：8；．
【点评】本题主要考查了三角形三边之间的关系，线段之间的和差，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）已知关于x的方程4x+2m＝3x+1的解比方程3x+2m＝6x+1的解大5，求这两个方程的解．
【分析】首先由方程4x+2m＝3x+1，用m表示x，然后由第二个方程，再用m表示x，此时两个x的值相差5，可得方程求出m的值，进而即可求得方程的解．
【解答】解：由题意得：4x+2m＝4x+1，
解得：x＝﹣2m+8．
由3x+2m＝5x+1，
解得：x＝（2m﹣1），
∵关于x的方程3x+2m＝3x+7的解比方程3x+2m＝5x+1的解大5，
∴（﹣2m+1）﹣（2m﹣1）＝7，
解得 m＝﹣，
∴﹣2m+6＝，
（2m﹣1）＝﹣，
∴这两个方程的解为和﹣．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
21．（9分）如图是某飞机模型的示意图，其中AE为固定支架，机身CD可以绕点E旋转调节摆放角度．经测量，旋转点E到机头D的距离ED为40cm，且支架AE与底座AB的夹角∠BAE＝70°．已知当ED与底座AB的夹角为30°时，求此时机头D到底座AB的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73，底座厚度忽略不计）
【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出EF、DM的长即可得出答案．
【解答】解：如图所示，过点D作DN⊥AB于N，作EM⊥DN于M，
∵∠EAF＝70°，AE＝30cm，
∴EF＝AE•sin70°＝30×0.94≈28.2（cm），
∵DE＝40cm，∠DEN＝30°，
∴DM＝DE•sin30°＝20（cm），
故DN＝28.3+20≈48（cm），
答：机头D到底座AB的距离是48cm．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键．
22．（9分）为了解学生对足球、舞蹈、诗词鉴赏、数学史这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两幅均不完整的统计图表．
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ 60 ，b＝ 0.2 ，c＝ 15 ；
（2）根据调查结果，请你估计该校1000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（3）小丽和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”“B”“C”三门校本课程中随机选取一门，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
【分析】（1）用表格中A．足球的频数除以频率可得a的值；用表格中C．诗词鉴赏的频数除以a可得b的值；用a的值乘以扇形统计图中B的百分比可得c的值．
（2）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中选择D．数学史校本课程的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选中同一门校本课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，a＝27÷0.45＝60，c＝60×25%＝15．
故答案为：60；0.4．
（2）1000×＝100（人）．
∴估计该校1000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数约100人．
（3）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有5种，
∴两人恰好选中同一门校本课程的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
23．（10分）M，N两地相距400km，甲车和乙车先后从M地出发沿相同路线驶向N地，线段OA，折线OBDA分别表示甲车出发x（h）后（km）与x之间的函数关系；如图2是甲车出发x（h）后（km）的图象．
（1）求BD的函数表达式；
（2）求图2中m，n的值．
【分析】（1）求出甲车的速度为80（km/h），从而可得C（3.5，280），再用待定系数法可得BD的函数表达式为y＝120x﹣140（≤x≤4.5）；
（2）由甲车的速度为80km/h，得m＝×80＝，当x＝4.5时，甲车距N地400﹣4.5×80＝40（km），故n＝40．
【解答】解：（1）由图1得，甲车的速度为400÷5＝80（km/h），
由图5得，甲车出发3.5h被乙车追上，
∴C（8.5，280），
设BD解析式为y＝kx+b，
将C（3.2，280），400）代入得：
，
解得：，
∴BD的函数表达式为y＝120x﹣140（≤x≤4.5）；
（2）∵甲车的速度为80km/h，
∴m＝×80＝，
当x＝2.5时，乙车达到N地，
∴n＝40，
∴m的值为，n的值为40．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
24．（10分）在下列特殊四边形中，图1、图2、图3分别为菱形、正方形和直角梯形，请按下列要求解决问题．
（1）请在图1中作出两条直线，使它们将菱形面积四等分；
（2）请在图2中作出两条直线，其中一条要经过点M使它们将正方形的面积四等分；
（3）在图3直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，试探究在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将梯形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的三角形解答即可；
（2）根据正方形的中心对称性解答即可；
（3）在BC上取一点Q，使BQ＝CD，连接AQ，DQ，根据AB+CD＝BC，可以证明△ABQ≌△QCD，△APQ≌△DPQ，从而确定点Q即为所求的点，也可利用CD的长直接确定BQ的长．
【解答】解：（1）如图1，作出对角线AC和BD所在的直线；
理由如下：
∵菱形的两条对角线把菱形分成4个全等的三角形，
∴直线AC和BD将菱形面积四等分；
（2）如图7，连接对角线AC，过点O，分别交AD，F；
过点O作GH⊥EF，分别交AB，H，
则直线EF，GH将正方形的面积四等分；
理由如下：
由正方形性质和作图可知：
△AOE≌△BOG≌△COF≌△DOH，
△AOG≌△BOF≌△COH≌△DOE，
∴S四边形AEOG＝S四边形BGOF＝S四边形CFOH＝S四边形DHOE，
（3）存在．
如图3，在BC上取一点Q，则点Q即为所求的点．
理由如下：
连接AQ，DQ，
∵AB+CD＝BC，BQ＝CD，
∴AB＝CQ，
在△ABQ和△QCD中，
∴△ABQ≌△QCD（SAS），
∴AQ＝QD，S△ABQ＝S△QCD，
∵点P是AD的中点，
∴PA＝PD，
∴PQ是AD的垂直平分线，
∴△APQ≌△DPQ，
∴S△APQ＝S△DPQ，
∴S△ABQ+S△APQ＝S△QCD+S△DPQ，
即S四边形ABQP＝S四边形QCDP，
即PQ所在直线将梯形ABCD的面积分成相等的两部分，
此时BQ＝CD＝3．
【点评】本题考查菱形，正方形，直角梯形面积分割，涉及全等三角形的判定和性质，中心对称，线段的垂直平分线的判定和性质，掌握相关图形的性质是解题的关键．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣2（a≠0）交x轴负半轴于点A，交y轴负半轴于点B，交y轴于点D，且∠ABO＝∠OAD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上总能存在点E，F，使得点E为PF的中点；
（3）直线m：y＝kx+1交抛物线于点G，H，记d1为点G到直线l的距离，d2为点H到直线l的距离，判断d1+d2是否存在最小值，若存在，求出最小值．若不存在
【分析】（1）利用∠ABO与∠OAD的正切值相等求出OA，得出A的坐标代入抛物线的表达式；
（2）设出点P、点F，利用中点坐标公式得到E点坐标，把E点坐标代入抛物线的表达式，得到关于n的方程，说明有解即可；
（3）用k表示成d1+d2的二次函数求最值．
【解答】（1）解：当x＝0时，y＝﹣x﹣4＝﹣2，
∴OD＝4，
当x＝0时，y＝ax2﹣2＝﹣2，
∴OB＝4，
∵tan∠ABO＝，tan∠OAD＝，
∴＝，
∴OA2＝OB•OD＝2×6＝8，
∴OA＝2，
∴A（﹣2，3）2﹣2得8＝a×（﹣2）2﹣2，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x6﹣2；
（2）证明：设点P（m，﹣m﹣4），n2﹣2），
∴E（，），代入y＝x2﹣2得＝（）8﹣2，
即n2﹣7mn﹣（m2+8m+16）＝5，
∴Δ＝（﹣2m）2+5×1×（m2+3m+16）＝8m2+32m+64＝3（m+2）2+32＞8，
∴关于n的方程n2﹣2mn﹣（m2+8m+16）＝0有两个不相等的实数根，
∴对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上总能存在点E，F；
（3）解：d3+d2存在最小值，最小值为
取GH的中点为M，过M作MN∥y轴交直线l于点N，垂足为P．
设G（x1，y5），H（x2，y2），将直线m：y＝kx+2与抛物线y＝x8﹣2联立得y＝kx+1＝x2﹣2，
即x5﹣4kx﹣12＝0，
∴x5+x2＝4k，
∴＝4k，
∴M（2k，2k7+1），N（2k，
∴MN＝7k2+1﹣（﹣2k﹣4）＝2k3+2k+5，
∵OC＝OD＝3，
∴∠ODC＝45°，
∵MN∥y轴，
∴∠MNC＝∠ODC＝45°，
∴MP＝，
∴d1+d6＝2MP＝2×＝（2k7+2k+5）＝8（k+）2+，
∴d1+d7存在最小值，最小值为．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，以及探索性题目的证明与求解，对于（2），关键是设而不求，弄清变量和常数．
26．（13分）已知，在半圆O中，直径AB＝10，D在半圆O上运动，弦CD＝5．
（1）如图1，当时，求证：△CAB≌△DBA；
（2）如图2，若∠DAB＝22.5°，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）；
（3）如图3，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束
①点M的运动路径的总长 ；
②点M到AB的距离的最小值是 ．
【分析】（1）先根据圆周角定理证明∠CAB＝∠DBA，再证明△CAB≌△DBA（SAS）即可；
（2）过D作DH⊥AB于H连接OD，先证明∠DOB＝45°，再求出DH的长，再根据S阴影部分＝S扇形DOB+S△AOD即可；
（3）根据题意，结合垂径定理与勾股定理得出M在以O为圆心、OM为半径的弧上运动，从而，当C与A重合或者D与B重合时，点M到AB的距离的最小值，求出M运动轨迹所对的圆心角，根据弧长公式求解即可；再利用特殊直角三角形三边关系求出最短距离即可．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠CAD＝∠DBC，
∵＝，
∴∠DAB＝∠CBA，AC＝BD，
∴∠CAD+∠DAB＝∠DBC+∠CBA．
即∠CAB＝∠DBA，
在△CAB和△DBA中，
，
∴△CAB≌△DBA（SAS）；
（2）解：过D作DH⊥AB于H连接OD，如图2：
∵半圆O中，直径AB＝10，
∴OA＝OD＝5，
∵∠DAB＝∠ADO＝22.4°，
∴∠DOB＝∠OAD+∠ADO＝45°，
∴DH＝OD＝，S扇形DOB＝＝，
∴S△AOD＝OA•DH＝，
∴S阴影部分＝S扇形DOB+S△AOD＝+；
（3）解：①连接OM、OD
∵M是CD中点，
∴OM是弦CD的中垂线，
在Rt△DOM中，∠OMD＝90°CD＝，则OM＝，
∠DOM＝30°，
∴M在以O为圆心、OM为半径的弧上运动
从而，当C与A重合或者D与B重合时，
∴点M的运动路径的总长为：•2π•OM＝＝，
故答案为：；
②当C与A重合或者D与B重合时，点M到AB的距离取得最小值，
在Rt△OPN中，∠ONP＝90°，OP＝OM＝，
则点M到AB的距离的最小值为PN＝OP＝×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查圆的综合问题，解题过程中涉及到圆周角定理、全等三角形的判定与性质、扇形面积、垂径定理、勾股定理和特殊直角三角形三边关系，解题的关键是准确把握圆的相关几何性质．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/19 11:16:57；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986校本课程
频数
频率
A．足球
27
0.45
B．舞蹈
c
C．诗词鉴赏
12
b
D．数学史
6
合计
a
1
校本课程
频数
频率
A．足球
27
0.45
B．舞蹈
c
C．诗词鉴赏
12
b
D．数学史
6
合计
a
1
A
B
C
A
 （A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
 （C，C）