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2024年河北省邯郸市中考数学模拟试卷（含详细答案解析）
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这是一份2024年河北省邯郸市中考数学模拟试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−(+2)=( )
A. −2B. 2C. −3D. 1
2.下列算式中，结果等于2a3的是( )
A. 2+a3B. 2(a+a+a)C. 2⋅a⋅a⋅aD. 2a⋅2a⋅2a
3.若a>b，则下列式子正确的是( )
A. −2a<−2bB. a−b<0C. a34.如图所示，该几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，A，B两处桂花树的位置关于小路对称.在如图所示的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(−8,2)，则点B的坐标为( )
A. (2,8)
B. (2,−8)
C. (−8,−2)
D. (8,2)
6.化简x2x−1−xx−1的结果是( )
A. x+1B. x−1C. xD. −x
7.宋⋅苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟.”比喻非常渺小.据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为( )
A. 2×102克B. 2×10−2克C. 5×10−2克D. 5×10−3克
8.若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=−10，则ab的值是( )
A. −2B. 2C. −50D. 50
9.如图所示，两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，每个果冻的重量相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别是( )
A. 10 g，40 gB. 15 g，35 gC. 20 g，30 gD. 30 g，20 g
10.若一元二次方程x2−x−2=0的两根为x1，x2，则(1+x1)+x2(1−x1)的值是( )
A. 4B. 2C. 1D. −2
11.如图，在直角坐标系中，一次函数y1=x−2与反比例函数y2=3x的图象交于A，B两点，下列结论正确的是( )
A. 当x>3时，y1C. 当0y2D. 当−112.对于题目：“小丽同学带11元钱去买钢笔和笔记本(两种文具都买)，钢笔每支3元，笔记本每本1元，那么钢笔能买多少支？”，甲同学的答案是1支，乙同学的答案是2支，丙同学的答案是3支，则正确的是( )
A. 只有甲的答案对B. 甲、乙答案合在一起才完整
C. 甲、乙、丙答案合在一起才完整D. 甲、乙、丙答案合在一起也不完整
13.如图，小明家的客厅有一张高0.8米的圆桌，直径BC为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为(2,0)，则点E的坐标是( )
A. (113,0)B. (3,0)C. (3.6,0)D. (4,0)
14.在平面直角坐标系中，若直线y=−2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2=0的实根的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
15.如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，连接BP，PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
16.现要在抛物线y=(m+3)x2+(m+2)x−2(m为常数，m≠−3)上找点P(k,2k−1)，所能找到点P的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个
二、填空题：本题共3小题，共12分。
17.二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是__________.
18.如图，已知A(−3,3)，B(−1,1.5)，将线段AB向右平移d个单位长度后，点A，B恰好同时落在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，且对应点分别为点A′，B′，则d等于______.
19.如图①，数轴上点A对应的数为−1，线段AB垂直于数轴，线段AB的长为32.
(1)将线段AB绕点A顺时针旋转90∘，点B的对应点为B′，则点B′在数轴上表示的数为______；
(2)在(1)的条件下，连接BB′，则线段BB′的长度可能落在图②中的第______段(填序号)；
(3)若要使线段AB绕点A顺时针旋转90∘，点B的对应点B′与原点重合，则数轴的单位长度需扩大为原来的______倍.
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
两个数m，n，若满足m+n=1，则称m和n互为美好数.例如：0和1互为美好数.请你回答：
(1)4的美好数是多少？
(2)若2x的美好数是−5，求x与−5的平均数.
21.(本小题8分)
龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到李白带你云游长安、大熊猫花花上春晚教学八段锦…AR与AI的技术融合让人耳目一新，淇淇同学深受智能技术触动，发明了一个智能关联盒.当输入数或式时，盒子会直接加4后输出.
(1)第一次淇淇输入为n+2，则关联盒输出为______；若关联盒第二次输出为n+8，则淇淇输入的是______(n>0)；
(2)在(1)的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作S1，把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作S2.
①请用含n的代数式分别表示S1和S2(结果化成多项式的形式)；
②淇淇发现S2+4可以化为一个完全平方式，请解释说明.
22.(本小题8分)
蹴鞠是起源于中国古代的一种足球运动，有着悠久的历史和丰富的文化内涵.在战国时期就开始流行，为发扬传统文化，唤醒中国礼仪，某学校开展足球射门比赛.随机从报名的学生中抽取了40人，每人射门30次，射中一次得1分，满分30分，得到这40名学生的得分(没有满分学生)，将他们的成绩分成六组：A：0∼5分；B：5∼10分；C：10∼15分；D：15∼20分；E：20∼25分；F：25∼30分，绘制成如图所示的频数分布直方图(每组数据含最小值，不含最大值).
(1)若D组数据为：15，15，15，16，17，17，18，18，19，19，19，19，则这组数据的众数是______，中位数是______；
(2)若将此直方图绘制成扇形统计图，B：5∼10分所在扇形的圆心角的度数为______ ∘；
(3)若用每组数据的组中值(如5≤x<10的组中值是7.5)来代表该组同学的平均成绩；
①请求出这40名同学的总成绩；
②若此时再加上5名同学，要使总平均成绩不低于17分，求这5名同学的平均成绩至少为多少分？
23.(本小题10分)
中国女排五次蝉联世界冠军为国争光.团结协作，顽强拼搏的女排精神激发了中国人的自豪、自尊和自信，为了储备青少年人才，某中学开展排球训练.嘉嘉站在原点O处发球，发现排球从出手到落地的过程中，排球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化.嘉嘉利用先进的鹰眼系统记录了排球在空中运动时的水平距离x(单位：米)与竖直高度(单位：米)的数据如表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，嘉嘉发现其图象是二次函数的一部分(MN为球网).
(1)在嘉嘉发球过程中，出手时排球的竖直高度是______米，排球在空中的最大高度是______米；
(2)求此抛物线的解析式；
(3)若球场的边界为点K，通过计算判断发出后的排球是否会出界？
24.(本小题10分)
一透明的敞口正方体容器ABCD−A′B′C′D′内装有一些有色液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α.(注：图①中∠CBE=α，图②中BQ=3dm)
探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的三视图及尺寸如图②所示，那么图①中，液体形状为______(填几何体的名称)；
利用图②中数据，计算出图①中液体的体积为多少？(提示：V=底面积×高)
拓展：在图①的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出.若从正面看，液面与棱CC′或CB交于点P，点Q始终在棱BB′上，设PC=xdm，则BQ的长度为______(用含x的代数式表示).
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中点A，B的坐标分别为(4,2)，(4,6)，从点C(−1,0)发射光线，其图象对应的函数解析式为y=mx+n(m≠0,x≥−1).
(1)点D为平面镜的中点，若光线恰好经过点D，求CD所在直线的解析式(不要求写出x的取值范围)：
(2)若入射光线y=mx+n(m≠0,x≥−1)与平面镜AB有公共点，求n的取值范围.
(3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线y=mx+n(m≠0,x≥−1)经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于点E，直接写出点E是整点的个数.
26.(本小题12分)
【建立模型】(1)如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE.求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】(2)如图2，一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90∘得到BC，直线AC交x轴于点D.
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y=x2−3x−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，已知点Q(0,−1)，连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ=13，若存在，求出点M的横坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−(+2)=−2，
故选：A.
根据题意可知同号得正，异号得负，即可得到答案．
本题考查相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、2+a3≠2a3，不符合题意；
B、2(a+a+a)=2×3a=6a≠2a3，不符合题意；
C、2⋅a⋅a⋅a=2a3，符合题意；
D、2a⋅2a⋅2a=8a3≠2a3，不符合题意；
故选：C.
根据相关法则逐一计算，即可得到答案．
本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵a>b，
∴−2a<−2b，
∴选项A符合题意；
∵a>b，
∴a−b>0，
∴选项B不符合题意；
∵a>b，
∴a3>b3，
∴选项C不符合题意；
∵a>b，
∴a−1>b−1，
∴选项D不符合题意．
故选：A.
根据a>b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】C
【解析】解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形．
故选：C.
根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可．
本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵A，B关于y轴对称，点A的坐标为(−8,2)，
∴点B的坐标为(8,2)，
故选：D.
根据题意可知A，B关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，继而得到本题答案．
本题考查关于y轴对称点坐标特点，正确记忆相关知识点是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：原式=x(x−1)x−1=x，
故选：C.
原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：1÷200=0.0005=5×10−3，
故选：D.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键，也是难点．
先提取公因式ab，整理后再把a+b的值代入计算即可．
【解答】
解：a+b=5时，
原式=ab(a+b)=5ab=−10，
解得：ab=−2.
故选：A.
9.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，及解二元一次方程组，关键是弄懂题意，找出题目中的相等关系，列出方程组．
根据图可得：3块巧克力的重量=2个果冻的重量；1块巧克力的重量+1个果冻的重量=50克，由此可设出未知数，列出方程组，再解方程组即可．
【解答】
解：设每块巧克力重x克，每个果冻重y克，由题意得：
3x=2yx+y=50，
解得：x=20y=30.
故选：C.
10.【答案】A
【解析】解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=−2，
所以(1+x1)+x2(1−x1)=1+x1+x2−x1x2=1+1−(−2)=4.
故选：A.
根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=−2，然后利用整体代入的方法计算(1+x1)+x2(1−x1)的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.
11.【答案】B
【解析】解：由题意得：
当x>3时，y1>y2，故选项A结论错误，不符合题意；
当x<−1时，y1当0当−1y2，故选项D结论错误，不符合题意．
故选：B.
结合函数图象以及A、B的坐标解答即可．
本题综合考查一次函数与反比例函数的交点问题，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：设买钢笔x支，笔记本y本，依题意，3x+y=11，
∵x，y是正整数，
当x=1时，y=8，
当x=2时，y=5，
当x=3时，y=2，
故选：C.
设买钢笔x支，笔记本y本，依题意，3x+y=11，根据x，y是正整数，即可求解．
本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
13.【答案】A
【解析】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F，由题意得，BF=0.75米，BC=1米，
∵BC//DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ABAD=OA−BFOA，
即：1DE=2−0.82，
解得DE=53
∴OE=2+53=113，
∴点E的坐标是(113,0).
故选：A.
根据相似三角形的相似比等于等于高的比，列方程求出DE，进而求出OE，确定点E的坐标．
本题考查的是中心投影，熟知将中心投影的问题转化为相似三角形的问题进行解答是解题的关键．
14.【答案】D
【解析】解：∵直线y=−2x+a不经过第一象限，
∴a≤0，
∵ax2+x+2=0，
当a=0，方程ax2+x+2=0为一元一次方程，即x+2=0，
解得x=−2；
方程有一个实数根，
当a<0时，方程ax2+x+2=0为一元二次方程，
∵Δ=1−8a>0，
∴方程有2个实数根．
故选：D.
根据一次函数不过第一象限，得到a≤0，再求出判别式的符号，进而得出结果即可．
本题考查根的判别式及解一元二次方程，掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．
15.【答案】D
【解析】解：如图，当0由题得，PE=BQ=tcm，
∵正方向ABCD是边长为2cm，
∴P到BC的距离为(2−t)cm，
∴S=12t⋅(2−t)=−12t2+t，
如图，当1由题得，PF=CQ=(2−t)cm，
∴四边形CFPQ为矩形，
∴PQ=CF=1cm，
∴S=12t⋅1=12t，
故选：D.
当0本题考查了动点问题的函数图象应用，三角形面积的计算是解题关键．
16.【答案】B
【解析】解：∵P(k,2k−1)恒在直线y=2x−1上，
∴y=2x−1y=(m+3)x2+(m+2)x−2，
整理得：(m+3)x2+mx−1=0，
∴Δ=m2+4(m+3)=m2+4m+12=m2+4m+4+8=(m+2)2+8>0，
∴抛物线上点P的个数是：2个，
故选：B.
根据题意可知P(k,2k−1)恒在直线y=2x−1上，将y=2x−1和y=(m+3)x2+(m+2)x−2联立方程组，利用根的判别式即可得到本题答案．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，利用根的判别式是解题关键．
17.【答案】x≥3
【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题的关键.
根据二次根式的被开方数x−3≥0.即可得出答案.
【解答】
解：根据题意，得x−3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3.
18.【答案】5
【解析】解：∵A(−3,3)，B(−1,1.5)，
∴右平移d个单位长度后，得到A′(−3+d,3)，B′(−1+d,1.5)，
∵平移后的点刚好落在y=6x上，
∴3=6−3+d，
解得：d=5，
故答案为：5.
先根据平移得到点的坐标，然后根据平移后的点在反比例函数图象上可得到结果，
本题考查了平移，准确理解平移的计算方法“上加下减，左加右减”是解题的关键．.
19.【答案】12 ③ 32
【解析】解：(1)设B′代表的数为x，
∵AB′=32，
∴x−(−1)=32，
∴x=12，
故答案为：12.
(2)∵BB′是RT△ABB′的斜边，
∴AB故答案为：③．
(3)∵B′与原点重合，
∴B′代表的数为0，AB′=32，
∴A代表的数为−32，
所以应将数轴单位长度扩大为原来的32倍，
故答案为：32.
(1)由AB′=32，即可求出B′在数轴上代表的数．
(2)由直角三角形的三边关系可得取值范围；
(3)根据线段AB′=32和B′此时代表的数值，可推出扩大的倍数．
本题主要考查了数轴的有关知识、三角形的三边关系、旋转．本题的关键是通过线段的长度求点代表的数值．
20.【答案】解：(1)由题可知，1−4=−3，
故4的美好数是−3.
(2)2x+(−5)=1，
解得x=3，
[3+(−5)]÷2=−1.
【解析】(1)根据互为美好数，进行列式计算即可；
(2)先根据互为美好数的定义解出x的值，再计算x与−5的平均数即可．
本题考查列代数式，有理数的加法，算术平均数，能够理解题意是解题的关键．
21.【答案】n+6n+4
【解析】解：(1)由题意得：
第一次淇淇输入为n+2，则关联盒输出为：n+2+4=n+6，
关联盒第二次输出为n+8，则淇淇输入的是：n+8−4=n+4，
故答案为：n+6，n+4；
(2)①S1=(n+6)(n+2)=n2+8n+12，S2=(n+8)(n+4)=n2+12n+32；
②S2+4=n2+12n+32+4=n2+12n+36，
∵n2+12n+36=n2+12n+62=(n+6)2，
∴S2+4可以化为一个完全平方式．
(1)根据题意利用整式计算即可；
(2)①根据题意分别表示出S1和S2代数式再化简即可；②利用完全平方公式定义即可．
本题考查整式计算，多项式乘多项式，合并同类项，完全平方公式．
22.【答案】1917.545
【解析】解：(1)∵15，15，15，16，17，17，18，18，19，19，19，19，
∴众数为：19，中位数为：17+182=17.5，
故答案为：19，17.5；
(2)∵B：5∼10分有5人，共40人，
∴540×360∘=45∘，
故答案为：45；
(3)①根据条形统计图可得：2.5×4+7.5×5+12.5×7+17.5×12+22.5×5+27.5×7=10+37.5+150+112.5+192.5=502.5(分)；
②设这5名同学的平均成绩至少为x分，
∴2.5×4+7.5×5+12.5×7+17.5×12+22.5×5+27.5×7+5x40+5=10+37.5+150+112.5+192.5+5x40+5≥17，
解得：x≥52.5，
答：这5名同学的平均成绩至少为52.5分．
(1)根据众数定义及中位数定义即可得到答案；
(2)先求出B组占比，再乘以360∘即可；
(3)①用每组的组中值乘以对应组的人数即可得到40位学生总成绩；②设这5名同学的平均成绩至少为x分，列出关于x的一元一次不等式即可．
本题考查众数定义，中位数定义，条形统计图数据分析，扇形统计图求圆心角度数，平均数定义，一元一次不等式实际应用，解题的关键是根据频数分布表得出解题所需数据，并掌握平均数的计算方法．
23.【答案】23.6
【解析】解：(1)通过观察图表可知：
当水平距离为0时，出手的竖直高度为2米，
排球最大值为3.6，
故答案为：2，3.6；
(2)解：设抛物线的解析式y=a(x−h)2+k，
∵通过图表知顶点坐标为(4,3.6)，
∴函数解析式为y=a(x−4)2+3.6，
把(0,2)代入y=a(x−4)2+3.6中，得：a=−0.1，
∴y=−0.1(x−4)2+3.6；
(3)解：∵y=−0.1(x−4)2+3.6，
∴令y=0，得：0=−0.1(x−4)2+3.6，解得：x1=−2，x2=10，
∵K=18，10<18，
∴发出后的排球不会出界．
(1)通过观察图表可知本题答案；
(2)设函数解析式为y=a(x−h)2+k，通过图表知顶点坐标为(4,3.6)，则函数解析式为y=a(x−4)2+3.6，把(0,2)代入y=a(x−4)2+3.6中即可求出；
(3)通过(2)中求出的解析式令y=0求出x，再与K值比较即可．
本题考查二次函数实际应用，待定系数法求二次函数解析式，利用函数值求自变量值．
24.【答案】三棱柱 124−xdm或(−x+3)dm.
【解析】解：探究：通过观察图形可知，几何体为三棱柱，
∵BQ=3dm，CQ=5dm，正方体容器ABCD−A′B′C′D′，
∴CB=4dm，
∴S△CBQ=12×4×3=6dm2，
∴图①中液体的体积：6×4=24dm3；
拓展：若容器向左旋转，主视图如图①，
∵液体体积不变，
∴12(x+BQ)×4×4=24，
∴BQ=(−x+3)dm，
若容器向右旋转，主视图如图②，
同理可知12×(4−x)⋅BQ×4=24，
∴BQ=124−xdm.
本题考查利用几何体三视图识别原图形，三棱柱体积公式，一元一次方程，代数式表示线段，勾股定理等．根据题意观察几何体可知图形为三棱柱，再利用三棱柱体积公式可求出体积，后列出关于BQ的一元一次方程即可得到．
本题考查了四边形的体积计算以及三视图的认识，正确理解棱柱的体积的计算是关键．
25.【答案】解：(1)∵点A，B的坐标分别为(4,2)，(4,6)，点D为平面镜的中点，
∴D(4,4)，
∵C(−1,0)，
∴设CD所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将C，D坐标分别代入y=kx+b(k≠0)中，得：
4k+b=4−k+b=0，
解得：k=45b=45，
∴CD所在直线的解析式为：y=45x+45；
(2)当入射光线y=mx+n(m≠0,x≥−1)经过C(−1,0)，A(4,2)时，
−m+n=04m+n=2，
解得：m=25n=25，
当入射光线y=mx+n(m≠0,x≥−1)经过C(−1,0)，B(4,6)时，
−m+n=04m+n=6，
解得：m=65n=65，
∵入射光线y=mx+n(m≠0,x≥−1)与平面镜AB有公共点，
∴n的取值范围：25≤n≤65；
(3)作出点C关于AB对称点C′，则C′(9,0)，作直线AC′，BC′分别交y轴于E1，E2，
，
设直线BC′的直线解析式为y=ax+c(a≠0)，
4a+c=69a+c=0，
解得：a=−65c=545，
设直线AC′的直线解析式为y=a1x+c1(a1≠0)，
4a1+c1=29a1+c1=0，
解得：a1=−25c1=185，
∵反射光线与y轴相交于点E，
∴点E纵坐标的取值范围为：185≤y≤545，
∴点E整点有：4，5.6，7，8，9，10，共7个．
【解析】(1)先求出线段AB中点D的坐标，再设CD所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，将C，D坐标分别代入y=kx+b(k≠0)即可得到；
(2)先求出直线CA解析式，再求出直线CB解析式，即可求出本题答案；
(3)作出点C关于AB对称点C′，可知C′的坐标，作直线AC′，BC′，分别求出这两条直线与y轴交点，则点E坐标即在范围内，即可得到整数点的个数．
本题考查待定系数法求函数解析式，线段中点坐标，一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，
∴∠ACB=∠BDE=∠ABE=90∘，
∴∠A+∠ABC=90∘，∠ABC+∠EBD=90∘，
∴∠A=∠EBD，
在△ACB和△BDE中，
∠ACB=∠BDE∠A=∠EBDAB=BE，
∴△ACB≌△BDE(AAS)；
(2)解：①∵一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，
∴A(0,3)，B(−1,0)，
∴OA=3，OB=1，
过点C作CG⊥x轴于点G，如图，
则∠BGC=90∘=∠AOB，
∴∠CBG+∠BCG=90∘，
∵线段AB绕点B逆时针旋转90∘得到BC，
∴BC=AB，∠ABC=90∘，
∴∠ABO+∠CBG=90∘，
∴∠BCG=∠ABO，
∴△BCG≌△ABO(AAS)，
∴BG=OA=3，CG=OB=1，
∴OG=OB+BG=1+3=4，
∴C(−4,1)；
②设直线AC的解析式为y=kx+b，则−4k+b=1b=3，
解得：k=12b=3，
∴直线AC的解析式为y=12x+3；
(3)解：抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ=13.
∵抛物线y=x2−3x−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，
当y=0时，x2−3x−4=0，
解得：x1=−1，x2=4，
∴A(−1,0)，B(4,0)，
当x=0时，y=−4，
∴C(0,−4)，
当点M在x轴上方时，如图，设BM交y轴于点K，过点K作KH⊥BQ于点H，
则∠KHQ=∠KHB=90∘，
设K(0,t)，
∵Q(0,−1)，B(4,0)，
∴OB=4，OQ=1，KQ=t+1，
在Rt△BQO中，BQ= OB2+OQ2= 42+12= 17，
∵∠BOQ=90∘，
∴∠KHQ=∠BOQ，
∵∠KQH=∠BQO，
∴△KQH∽△BQO，
∴QHOQ=KHOB=KQBQ，即QH1=KH4=t+1 17，
∴QH= 1717(t+1)，KH=4 1717(t+1)，
∴BH=BQ−QH= 17− 1717(t+1)= 1717(16−t)，
∵tan∠MBQ=13，
∴KHBH=13，
∴BH=3KH，
∴ 1717(16−t)=3×4 1717(t+1)，
解得：t=413，
∴K(0,413)，
设直线BK的解析式为y=mx+n，则4m+n=0n=413，
解得：m=−113n=413，
∴直线BK的解析式为y=−113x+413，
联立得y=−113x+413y=x2−3x−4，
解得：x1=−1413y1=66169，x2=4y2=0(舍去)，
∴M(−1413,66169)；
当点M在x轴下方时，如图，过点Q作QE⊥BQ，交BM于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，
则∠QFE=∠BOQ=∠BQE=90∘，
∵tan∠MBQ=13，
∴EQBQ=tan∠MBQ=13，
∴EQ=13BQ= 173，
∵∠OBQ+∠BQO=90∘，∠BQO+∠EQF=90∘，
∴∠OBQ=∠EQF，
∴△QEF∽△BQO，
∴EFOQ=QFOB=EQBQ，即EF1=QF4=13，
∴EF=13，QF=43，
∴OF=OQ+QF=1+43=73，
∴E(13,−73)；
设直线BM的解析式为y=m′x+n′，则4m′+n′=013m′+n′=−73，
解得：m′=711n′=−2811，
∴直线BM的解析式为y=711x−2811，
联立，得y=711x−2811y=x2−3x−4，
解得：x1=4y1=0(舍去)，x2=−411y2=−336121，
∴E(−411,−336121)；
综上所述，抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ=13，点M的横坐标为−1413或−411.
【解析】(1)根据垂直定义可得∠ACB=∠BDE=∠ABE=90∘，利用同角的余角相等可得∠A=∠EBD，再利用AAS即可证明△ACB≌△BDE；
(2)①先求得A(0,3)，B(−1,0)，过点C作CG⊥x轴于点G，则∠BGC=90∘=∠AOB，进而证得△BCG≌△ABO(AAS)，得出BG=OA=3，CG=OB=1，OG=OB+BG=4，即可求得点C的坐标；
②运用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
(3)先求得A(−1,0)，B(4,0)，C(0,−4)，分两种情况：当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别构造直角三角形，利用相似三角形的判定和性质即可求得直线BM上特殊点的坐标，运用待定系数法求得直线BM的解析式，联立方程组求解即可得出点M的坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，直角三角形的三角函数值，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．水平距离x/m
0
2
4
5
6
8
竖直高度y/m
2
3.2
3.6
3.5
3.2
2
1.−(+2)=( )
A. −2B. 2C. −3D. 1
2.下列算式中，结果等于2a3的是( )
A. 2+a3B. 2(a+a+a)C. 2⋅a⋅a⋅aD. 2a⋅2a⋅2a
3.若a>b，则下列式子正确的是( )
A. −2a<−2bB. a−b<0C. a3
A.
B.
C.
D.
5.某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，A，B两处桂花树的位置关于小路对称.在如图所示的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(−8,2)，则点B的坐标为( )
A. (2,8)
B. (2,−8)
C. (−8,−2)
D. (8,2)
6.化简x2x−1−xx−1的结果是( )
A. x+1B. x−1C. xD. −x
7.宋⋅苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟.”比喻非常渺小.据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为( )
A. 2×102克B. 2×10−2克C. 5×10−2克D. 5×10−3克
8.若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=−10，则ab的值是( )
A. −2B. 2C. −50D. 50
9.如图所示，两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，每个果冻的重量相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别是( )
A. 10 g，40 gB. 15 g，35 gC. 20 g，30 gD. 30 g，20 g
10.若一元二次方程x2−x−2=0的两根为x1，x2，则(1+x1)+x2(1−x1)的值是( )
A. 4B. 2C. 1D. −2
11.如图，在直角坐标系中，一次函数y1=x−2与反比例函数y2=3x的图象交于A，B两点，下列结论正确的是( )
A. 当x>3时，y1
A. 只有甲的答案对B. 甲、乙答案合在一起才完整
C. 甲、乙、丙答案合在一起才完整D. 甲、乙、丙答案合在一起也不完整
13.如图，小明家的客厅有一张高0.8米的圆桌，直径BC为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为(2,0)，则点E的坐标是( )
A. (113,0)B. (3,0)C. (3.6,0)D. (4,0)
14.在平面直角坐标系中，若直线y=−2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2=0的实根的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
15.如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，连接BP，PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
16.现要在抛物线y=(m+3)x2+(m+2)x−2(m为常数，m≠−3)上找点P(k,2k−1)，所能找到点P的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个
二、填空题：本题共3小题，共12分。
17.二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是__________.
18.如图，已知A(−3,3)，B(−1,1.5)，将线段AB向右平移d个单位长度后，点A，B恰好同时落在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，且对应点分别为点A′，B′，则d等于______.
19.如图①，数轴上点A对应的数为−1，线段AB垂直于数轴，线段AB的长为32.
(1)将线段AB绕点A顺时针旋转90∘，点B的对应点为B′，则点B′在数轴上表示的数为______；
(2)在(1)的条件下，连接BB′，则线段BB′的长度可能落在图②中的第______段(填序号)；
(3)若要使线段AB绕点A顺时针旋转90∘，点B的对应点B′与原点重合，则数轴的单位长度需扩大为原来的______倍.
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
两个数m，n，若满足m+n=1，则称m和n互为美好数.例如：0和1互为美好数.请你回答：
(1)4的美好数是多少？
(2)若2x的美好数是−5，求x与−5的平均数.
21.(本小题8分)
龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到李白带你云游长安、大熊猫花花上春晚教学八段锦…AR与AI的技术融合让人耳目一新，淇淇同学深受智能技术触动，发明了一个智能关联盒.当输入数或式时，盒子会直接加4后输出.
(1)第一次淇淇输入为n+2，则关联盒输出为______；若关联盒第二次输出为n+8，则淇淇输入的是______(n>0)；
(2)在(1)的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作S1，把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作S2.
①请用含n的代数式分别表示S1和S2(结果化成多项式的形式)；
②淇淇发现S2+4可以化为一个完全平方式，请解释说明.
22.(本小题8分)
蹴鞠是起源于中国古代的一种足球运动，有着悠久的历史和丰富的文化内涵.在战国时期就开始流行，为发扬传统文化，唤醒中国礼仪，某学校开展足球射门比赛.随机从报名的学生中抽取了40人，每人射门30次，射中一次得1分，满分30分，得到这40名学生的得分(没有满分学生)，将他们的成绩分成六组：A：0∼5分；B：5∼10分；C：10∼15分；D：15∼20分；E：20∼25分；F：25∼30分，绘制成如图所示的频数分布直方图(每组数据含最小值，不含最大值).
(1)若D组数据为：15，15，15，16，17，17，18，18，19，19，19，19，则这组数据的众数是______，中位数是______；
(2)若将此直方图绘制成扇形统计图，B：5∼10分所在扇形的圆心角的度数为______ ∘；
(3)若用每组数据的组中值(如5≤x<10的组中值是7.5)来代表该组同学的平均成绩；
①请求出这40名同学的总成绩；
②若此时再加上5名同学，要使总平均成绩不低于17分，求这5名同学的平均成绩至少为多少分？
23.(本小题10分)
中国女排五次蝉联世界冠军为国争光.团结协作，顽强拼搏的女排精神激发了中国人的自豪、自尊和自信，为了储备青少年人才，某中学开展排球训练.嘉嘉站在原点O处发球，发现排球从出手到落地的过程中，排球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化.嘉嘉利用先进的鹰眼系统记录了排球在空中运动时的水平距离x(单位：米)与竖直高度(单位：米)的数据如表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，嘉嘉发现其图象是二次函数的一部分(MN为球网).
(1)在嘉嘉发球过程中，出手时排球的竖直高度是______米，排球在空中的最大高度是______米；
(2)求此抛物线的解析式；
(3)若球场的边界为点K，通过计算判断发出后的排球是否会出界？
24.(本小题10分)
一透明的敞口正方体容器ABCD−A′B′C′D′内装有一些有色液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α.(注：图①中∠CBE=α，图②中BQ=3dm)
探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的三视图及尺寸如图②所示，那么图①中，液体形状为______(填几何体的名称)；
利用图②中数据，计算出图①中液体的体积为多少？(提示：V=底面积×高)
拓展：在图①的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出.若从正面看，液面与棱CC′或CB交于点P，点Q始终在棱BB′上，设PC=xdm，则BQ的长度为______(用含x的代数式表示).
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中点A，B的坐标分别为(4,2)，(4,6)，从点C(−1,0)发射光线，其图象对应的函数解析式为y=mx+n(m≠0,x≥−1).
(1)点D为平面镜的中点，若光线恰好经过点D，求CD所在直线的解析式(不要求写出x的取值范围)：
(2)若入射光线y=mx+n(m≠0,x≥−1)与平面镜AB有公共点，求n的取值范围.
(3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线y=mx+n(m≠0,x≥−1)经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于点E，直接写出点E是整点的个数.
26.(本小题12分)
【建立模型】(1)如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE.求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】(2)如图2，一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90∘得到BC，直线AC交x轴于点D.
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y=x2−3x−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，已知点Q(0,−1)，连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ=13，若存在，求出点M的横坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−(+2)=−2，
故选：A.
根据题意可知同号得正，异号得负，即可得到答案．
本题考查相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、2+a3≠2a3，不符合题意；
B、2(a+a+a)=2×3a=6a≠2a3，不符合题意；
C、2⋅a⋅a⋅a=2a3，符合题意；
D、2a⋅2a⋅2a=8a3≠2a3，不符合题意；
故选：C.
根据相关法则逐一计算，即可得到答案．
本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵a>b，
∴−2a<−2b，
∴选项A符合题意；
∵a>b，
∴a−b>0，
∴选项B不符合题意；
∵a>b，
∴a3>b3，
∴选项C不符合题意；
∵a>b，
∴a−1>b−1，
∴选项D不符合题意．
故选：A.
根据a>b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】C
【解析】解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形．
故选：C.
根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可．
本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵A，B关于y轴对称，点A的坐标为(−8,2)，
∴点B的坐标为(8,2)，
故选：D.
根据题意可知A，B关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，继而得到本题答案．
本题考查关于y轴对称点坐标特点，正确记忆相关知识点是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：原式=x(x−1)x−1=x，
故选：C.
原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：1÷200=0.0005=5×10−3，
故选：D.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键，也是难点．
先提取公因式ab，整理后再把a+b的值代入计算即可．
【解答】
解：a+b=5时，
原式=ab(a+b)=5ab=−10，
解得：ab=−2.
故选：A.
9.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，及解二元一次方程组，关键是弄懂题意，找出题目中的相等关系，列出方程组．
根据图可得：3块巧克力的重量=2个果冻的重量；1块巧克力的重量+1个果冻的重量=50克，由此可设出未知数，列出方程组，再解方程组即可．
【解答】
解：设每块巧克力重x克，每个果冻重y克，由题意得：
3x=2yx+y=50，
解得：x=20y=30.
故选：C.
10.【答案】A
【解析】解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=−2，
所以(1+x1)+x2(1−x1)=1+x1+x2−x1x2=1+1−(−2)=4.
故选：A.
根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=−2，然后利用整体代入的方法计算(1+x1)+x2(1−x1)的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.
11.【答案】B
【解析】解：由题意得：
当x>3时，y1>y2，故选项A结论错误，不符合题意；
当x<−1时，y1
故选：B.
结合函数图象以及A、B的坐标解答即可．
本题综合考查一次函数与反比例函数的交点问题，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：设买钢笔x支，笔记本y本，依题意，3x+y=11，
∵x，y是正整数，
当x=1时，y=8，
当x=2时，y=5，
当x=3时，y=2，
故选：C.
设买钢笔x支，笔记本y本，依题意，3x+y=11，根据x，y是正整数，即可求解．
本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
13.【答案】A
【解析】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F，由题意得，BF=0.75米，BC=1米，
∵BC//DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ABAD=OA−BFOA，
即：1DE=2−0.82，
解得DE=53
∴OE=2+53=113，
∴点E的坐标是(113,0).
故选：A.
根据相似三角形的相似比等于等于高的比，列方程求出DE，进而求出OE，确定点E的坐标．
本题考查的是中心投影，熟知将中心投影的问题转化为相似三角形的问题进行解答是解题的关键．
14.【答案】D
【解析】解：∵直线y=−2x+a不经过第一象限，
∴a≤0，
∵ax2+x+2=0，
当a=0，方程ax2+x+2=0为一元一次方程，即x+2=0，
解得x=−2；
方程有一个实数根，
当a<0时，方程ax2+x+2=0为一元二次方程，
∵Δ=1−8a>0，
∴方程有2个实数根．
故选：D.
根据一次函数不过第一象限，得到a≤0，再求出判别式的符号，进而得出结果即可．
本题考查根的判别式及解一元二次方程，掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．
15.【答案】D
【解析】解：如图，当0
∵正方向ABCD是边长为2cm，
∴P到BC的距离为(2−t)cm，
∴S=12t⋅(2−t)=−12t2+t，
如图，当1
∴四边形CFPQ为矩形，
∴PQ=CF=1cm，
∴S=12t⋅1=12t，
故选：D.
当0
16.【答案】B
【解析】解：∵P(k,2k−1)恒在直线y=2x−1上，
∴y=2x−1y=(m+3)x2+(m+2)x−2，
整理得：(m+3)x2+mx−1=0，
∴Δ=m2+4(m+3)=m2+4m+12=m2+4m+4+8=(m+2)2+8>0，
∴抛物线上点P的个数是：2个，
故选：B.
根据题意可知P(k,2k−1)恒在直线y=2x−1上，将y=2x−1和y=(m+3)x2+(m+2)x−2联立方程组，利用根的判别式即可得到本题答案．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，利用根的判别式是解题关键．
17.【答案】x≥3
【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题的关键.
根据二次根式的被开方数x−3≥0.即可得出答案.
【解答】
解：根据题意，得x−3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3.
18.【答案】5
【解析】解：∵A(−3,3)，B(−1,1.5)，
∴右平移d个单位长度后，得到A′(−3+d,3)，B′(−1+d,1.5)，
∵平移后的点刚好落在y=6x上，
∴3=6−3+d，
解得：d=5，
故答案为：5.
先根据平移得到点的坐标，然后根据平移后的点在反比例函数图象上可得到结果，
本题考查了平移，准确理解平移的计算方法“上加下减，左加右减”是解题的关键．.
19.【答案】12 ③ 32
【解析】解：(1)设B′代表的数为x，
∵AB′=32，
∴x−(−1)=32，
∴x=12，
故答案为：12.
(2)∵BB′是RT△ABB′的斜边，
∴AB
(3)∵B′与原点重合，
∴B′代表的数为0，AB′=32，
∴A代表的数为−32，
所以应将数轴单位长度扩大为原来的32倍，
故答案为：32.
(1)由AB′=32，即可求出B′在数轴上代表的数．
(2)由直角三角形的三边关系可得取值范围；
(3)根据线段AB′=32和B′此时代表的数值，可推出扩大的倍数．
本题主要考查了数轴的有关知识、三角形的三边关系、旋转．本题的关键是通过线段的长度求点代表的数值．
20.【答案】解：(1)由题可知，1−4=−3，
故4的美好数是−3.
(2)2x+(−5)=1，
解得x=3，
[3+(−5)]÷2=−1.
【解析】(1)根据互为美好数，进行列式计算即可；
(2)先根据互为美好数的定义解出x的值，再计算x与−5的平均数即可．
本题考查列代数式，有理数的加法，算术平均数，能够理解题意是解题的关键．
21.【答案】n+6n+4
【解析】解：(1)由题意得：
第一次淇淇输入为n+2，则关联盒输出为：n+2+4=n+6，
关联盒第二次输出为n+8，则淇淇输入的是：n+8−4=n+4，
故答案为：n+6，n+4；
(2)①S1=(n+6)(n+2)=n2+8n+12，S2=(n+8)(n+4)=n2+12n+32；
②S2+4=n2+12n+32+4=n2+12n+36，
∵n2+12n+36=n2+12n+62=(n+6)2，
∴S2+4可以化为一个完全平方式．
(1)根据题意利用整式计算即可；
(2)①根据题意分别表示出S1和S2代数式再化简即可；②利用完全平方公式定义即可．
本题考查整式计算，多项式乘多项式，合并同类项，完全平方公式．
22.【答案】1917.545
【解析】解：(1)∵15，15，15，16，17，17，18，18，19，19，19，19，
∴众数为：19，中位数为：17+182=17.5，
故答案为：19，17.5；
(2)∵B：5∼10分有5人，共40人，
∴540×360∘=45∘，
故答案为：45；
(3)①根据条形统计图可得：2.5×4+7.5×5+12.5×7+17.5×12+22.5×5+27.5×7=10+37.5+150+112.5+192.5=502.5(分)；
②设这5名同学的平均成绩至少为x分，
∴2.5×4+7.5×5+12.5×7+17.5×12+22.5×5+27.5×7+5x40+5=10+37.5+150+112.5+192.5+5x40+5≥17，
解得：x≥52.5，
答：这5名同学的平均成绩至少为52.5分．
(1)根据众数定义及中位数定义即可得到答案；
(2)先求出B组占比，再乘以360∘即可；
(3)①用每组的组中值乘以对应组的人数即可得到40位学生总成绩；②设这5名同学的平均成绩至少为x分，列出关于x的一元一次不等式即可．
本题考查众数定义，中位数定义，条形统计图数据分析，扇形统计图求圆心角度数，平均数定义，一元一次不等式实际应用，解题的关键是根据频数分布表得出解题所需数据，并掌握平均数的计算方法．
23.【答案】23.6
【解析】解：(1)通过观察图表可知：
当水平距离为0时，出手的竖直高度为2米，
排球最大值为3.6，
故答案为：2，3.6；
(2)解：设抛物线的解析式y=a(x−h)2+k，
∵通过图表知顶点坐标为(4,3.6)，
∴函数解析式为y=a(x−4)2+3.6，
把(0,2)代入y=a(x−4)2+3.6中，得：a=−0.1，
∴y=−0.1(x−4)2+3.6；
(3)解：∵y=−0.1(x−4)2+3.6，
∴令y=0，得：0=−0.1(x−4)2+3.6，解得：x1=−2，x2=10，
∵K=18，10<18，
∴发出后的排球不会出界．
(1)通过观察图表可知本题答案；
(2)设函数解析式为y=a(x−h)2+k，通过图表知顶点坐标为(4,3.6)，则函数解析式为y=a(x−4)2+3.6，把(0,2)代入y=a(x−4)2+3.6中即可求出；
(3)通过(2)中求出的解析式令y=0求出x，再与K值比较即可．
本题考查二次函数实际应用，待定系数法求二次函数解析式，利用函数值求自变量值．
24.【答案】三棱柱 124−xdm或(−x+3)dm.
【解析】解：探究：通过观察图形可知，几何体为三棱柱，
∵BQ=3dm，CQ=5dm，正方体容器ABCD−A′B′C′D′，
∴CB=4dm，
∴S△CBQ=12×4×3=6dm2，
∴图①中液体的体积：6×4=24dm3；
拓展：若容器向左旋转，主视图如图①，
∵液体体积不变，
∴12(x+BQ)×4×4=24，
∴BQ=(−x+3)dm，
若容器向右旋转，主视图如图②，
同理可知12×(4−x)⋅BQ×4=24，
∴BQ=124−xdm.
本题考查利用几何体三视图识别原图形，三棱柱体积公式，一元一次方程，代数式表示线段，勾股定理等．根据题意观察几何体可知图形为三棱柱，再利用三棱柱体积公式可求出体积，后列出关于BQ的一元一次方程即可得到．
本题考查了四边形的体积计算以及三视图的认识，正确理解棱柱的体积的计算是关键．
25.【答案】解：(1)∵点A，B的坐标分别为(4,2)，(4,6)，点D为平面镜的中点，
∴D(4,4)，
∵C(−1,0)，
∴设CD所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将C，D坐标分别代入y=kx+b(k≠0)中，得：
4k+b=4−k+b=0，
解得：k=45b=45，
∴CD所在直线的解析式为：y=45x+45；
(2)当入射光线y=mx+n(m≠0,x≥−1)经过C(−1,0)，A(4,2)时，
−m+n=04m+n=2，
解得：m=25n=25，
当入射光线y=mx+n(m≠0,x≥−1)经过C(−1,0)，B(4,6)时，
−m+n=04m+n=6，
解得：m=65n=65，
∵入射光线y=mx+n(m≠0,x≥−1)与平面镜AB有公共点，
∴n的取值范围：25≤n≤65；
(3)作出点C关于AB对称点C′，则C′(9,0)，作直线AC′，BC′分别交y轴于E1，E2，
，
设直线BC′的直线解析式为y=ax+c(a≠0)，
4a+c=69a+c=0，
解得：a=−65c=545，
设直线AC′的直线解析式为y=a1x+c1(a1≠0)，
4a1+c1=29a1+c1=0，
解得：a1=−25c1=185，
∵反射光线与y轴相交于点E，
∴点E纵坐标的取值范围为：185≤y≤545，
∴点E整点有：4，5.6，7，8，9，10，共7个．
【解析】(1)先求出线段AB中点D的坐标，再设CD所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，将C，D坐标分别代入y=kx+b(k≠0)即可得到；
(2)先求出直线CA解析式，再求出直线CB解析式，即可求出本题答案；
(3)作出点C关于AB对称点C′，可知C′的坐标，作直线AC′，BC′，分别求出这两条直线与y轴交点，则点E坐标即在范围内，即可得到整数点的个数．
本题考查待定系数法求函数解析式，线段中点坐标，一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，
∴∠ACB=∠BDE=∠ABE=90∘，
∴∠A+∠ABC=90∘，∠ABC+∠EBD=90∘，
∴∠A=∠EBD，
在△ACB和△BDE中，
∠ACB=∠BDE∠A=∠EBDAB=BE，
∴△ACB≌△BDE(AAS)；
(2)解：①∵一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，
∴A(0,3)，B(−1,0)，
∴OA=3，OB=1，
过点C作CG⊥x轴于点G，如图，
则∠BGC=90∘=∠AOB，
∴∠CBG+∠BCG=90∘，
∵线段AB绕点B逆时针旋转90∘得到BC，
∴BC=AB，∠ABC=90∘，
∴∠ABO+∠CBG=90∘，
∴∠BCG=∠ABO，
∴△BCG≌△ABO(AAS)，
∴BG=OA=3，CG=OB=1，
∴OG=OB+BG=1+3=4，
∴C(−4,1)；
②设直线AC的解析式为y=kx+b，则−4k+b=1b=3，
解得：k=12b=3，
∴直线AC的解析式为y=12x+3；
(3)解：抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ=13.
∵抛物线y=x2−3x−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，
当y=0时，x2−3x−4=0，
解得：x1=−1，x2=4，
∴A(−1,0)，B(4,0)，
当x=0时，y=−4，
∴C(0,−4)，
当点M在x轴上方时，如图，设BM交y轴于点K，过点K作KH⊥BQ于点H，
则∠KHQ=∠KHB=90∘，
设K(0,t)，
∵Q(0,−1)，B(4,0)，
∴OB=4，OQ=1，KQ=t+1，
在Rt△BQO中，BQ= OB2+OQ2= 42+12= 17，
∵∠BOQ=90∘，
∴∠KHQ=∠BOQ，
∵∠KQH=∠BQO，
∴△KQH∽△BQO，
∴QHOQ=KHOB=KQBQ，即QH1=KH4=t+1 17，
∴QH= 1717(t+1)，KH=4 1717(t+1)，
∴BH=BQ−QH= 17− 1717(t+1)= 1717(16−t)，
∵tan∠MBQ=13，
∴KHBH=13，
∴BH=3KH，
∴ 1717(16−t)=3×4 1717(t+1)，
解得：t=413，
∴K(0,413)，
设直线BK的解析式为y=mx+n，则4m+n=0n=413，
解得：m=−113n=413，
∴直线BK的解析式为y=−113x+413，
联立得y=−113x+413y=x2−3x−4，
解得：x1=−1413y1=66169，x2=4y2=0(舍去)，
∴M(−1413,66169)；
当点M在x轴下方时，如图，过点Q作QE⊥BQ，交BM于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，
则∠QFE=∠BOQ=∠BQE=90∘，
∵tan∠MBQ=13，
∴EQBQ=tan∠MBQ=13，
∴EQ=13BQ= 173，
∵∠OBQ+∠BQO=90∘，∠BQO+∠EQF=90∘，
∴∠OBQ=∠EQF，
∴△QEF∽△BQO，
∴EFOQ=QFOB=EQBQ，即EF1=QF4=13，
∴EF=13，QF=43，
∴OF=OQ+QF=1+43=73，
∴E(13,−73)；
设直线BM的解析式为y=m′x+n′，则4m′+n′=013m′+n′=−73，
解得：m′=711n′=−2811，
∴直线BM的解析式为y=711x−2811，
联立，得y=711x−2811y=x2−3x−4，
解得：x1=4y1=0(舍去)，x2=−411y2=−336121，
∴E(−411,−336121)；
综上所述，抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ=13，点M的横坐标为−1413或−411.
【解析】(1)根据垂直定义可得∠ACB=∠BDE=∠ABE=90∘，利用同角的余角相等可得∠A=∠EBD，再利用AAS即可证明△ACB≌△BDE；
(2)①先求得A(0,3)，B(−1,0)，过点C作CG⊥x轴于点G，则∠BGC=90∘=∠AOB，进而证得△BCG≌△ABO(AAS)，得出BG=OA=3，CG=OB=1，OG=OB+BG=4，即可求得点C的坐标；
②运用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
(3)先求得A(−1,0)，B(4,0)，C(0,−4)，分两种情况：当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别构造直角三角形，利用相似三角形的判定和性质即可求得直线BM上特殊点的坐标，运用待定系数法求得直线BM的解析式，联立方程组求解即可得出点M的坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，直角三角形的三角函数值，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．水平距离x/m
0
2
4
5
6
8
竖直高度y/m
2
3.2
3.6
3.5
3.2
2
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