2024年四川省凉山州中考数学试卷 含答案
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这是一份2024年四川省凉山州中考数学试卷 含答案,共19页。试卷主要包含了填空题,解答题解答应写出文字说明,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.下列各数中:5,﹣,﹣3,0,﹣25.8,+2,负数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图,由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是( )
A.B.C.D.
3.下列运算正确的是( )
A.2ab+3ab=5abB.(ab2)3=a3b5
C.a8÷a2=a4D.a2•a3=a6
4.一副直角三角板按如图所示的方式摆放,点E在AB的延长线上,当DF∥AB时,∠EDB的度数为( )
A.10°B.15°C.30°D.45°
5.点P(a,﹣3)关于原点对称的点是P′(2,b),则a+b的值是( )
A.1B.﹣1C.﹣5D.5
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50cm,则AC+BC=( )
A.25cmB.45cmC.50cmD.55cm
7.匀速地向如图所示的容器内注水,直到把容器注满.在注水过程中,容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是( )
A.B.
C.D.
8.在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》,每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如下.则甲、乙两团女演员身高的方差s甲2、s乙2大小关系正确的是( )
A.s甲2>s乙2B.s甲2<s乙2C.s甲2=s乙2D.无法确定
9.若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2﹣4=0的一个根是x=0,则a的值为( )
A.2B.﹣2C.2或﹣2D.
10.数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交于点C,测出AB=40cm,CD=10cm,则圆形工件的半径为( )
A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm
11.如图,一块面积为60cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时,在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1,若OB:BB1=2:3,则△A1B1C1的面积是( )
A.90cm2B.135cm2C.150cm2D.375cm2
12.抛物线y=(x﹣1)2+c经过(﹣2,y1),(0,y2),(,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系正确的是( )
A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1C.y3>y1>y2D.y1>y3>y2
二、填空题(共5小题,每小题4分,共20分)
13.已知a2﹣b2=12,且a﹣b=﹣2,则a+b= .
14.方程=的解是 .
15.如图,△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则∠AEB的度数是 .
16.如图,四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H,若对角线AC=24,BD=18,则四边形EFGH的周长是 .
17.如图,一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6)、B(0,3)两点,交x轴于点C,则△AOC的面积为 .
三、解答题(共5小题,共32分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(5分)计算:+|2﹣|+2﹣1+cs30°﹣(﹣1)0.
19.(5分)求不等式组﹣3<4x﹣7≤9的整数解.
20.(7分)为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中,都能参与自己最喜欢的球类项目,学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查(每人只能选择一项),根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图:
请根据统计图回答下列问题:
(1)本次调查的总人数是 人,估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有 人;
(2)补全条形统计图;
(3)学校体育社团为了制订训练计划,将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈,请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率.
21.(7分)为建设全城旅游西昌,加快旅游产业发展.2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园,坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点,为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼,建筑面积为1845.4平方米,塔顶金碧辉煌,为“火珠垂莲”窣(sū)堵坡造型.某校为了让学生进一步了解怀远塔,组织九年级(2)班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度.小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处,测得塔顶C的仰角为30°,眼睛B距离地面1.8m,向塔前行67m,到达点D处,测得塔顶C的仰角为60°,求塔高CF. (参考数据:≈1.414,≈1.732,结果精确到0.01m)
22.(8分)如图,正比例函数y1=x与反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(m,2).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)把直线y1=x向上平移3个单位长度与y2=(x>0)的图象交于点B,连接AB、OB,求△AOB的面积.
四、填空题(共2小题,每小题5分,共10分)
23.(5分)已知y2﹣x=0,x2﹣3y2+x﹣3=0,则x的值为 .
24.(5分)如图,⊙M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作⊙M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为 .
五、解答题(共4小题,共40分)
25.(8分)阅读下面材料,并解决相关问题:
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第n行有n个点…,容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1)探索:三角点阵中前8行的点数之和为 ,前15行的点数之和为 ,那么,前n行的点数之和为 .
(2)体验:三角点阵中前n行的点数之和 (填“能”或“不能”)为500.
(3)运用:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆,…,第n排2n盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排?
26.(10分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E是BC边上一个动点,连接AE,AE的垂直平分线MN交AE于点M,交BD于点N,连接EN、CN.
(1)求证:EN=CN;
(2)求2EN+BN的最小值.
27.(10分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,AD平分∠BAC交⊙O于点D,过点D的直线DE⊥AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)连接EO并延长,分别交⊙O于M、N两点,交AD于点G,若⊙O的半径为2,∠F=30°,求GM•GN的值.
28.(12分)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2相交于A(﹣2,0),B(3,m)两点,与x轴相交于另一点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A、B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB于点E,当PE=2ED时,求P点坐标;
(3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题(共12小题,每小题4分,共48分)在每小题给出的四个选项中只有一项的,请把正确选项的字母序号填涂在答题卡上对应的位置。
1.解:5>0,是正数;
,是负数;
﹣3<0,是负数;
0既不是正数,也不是负数;
﹣25.8<0,是负数;
+2>0,是正数;
∴负数有,﹣3,﹣25.8,共3个.
故选:C.
2.解:从上面可看,是一行两个相邻的正方形.
故选:B.
3.解:2ab+3ab=5ab,则A符合题意;
(ab2)3=a3b6,则B不符合题意;
a8÷a2=a6,则C不符合题意;
a2•a3=a5,则D不符合题意;
故选:A.
4.解:由题意得,∠ABC=45°,∠EDF=30°,
∵DF∥AB,
∴∠FDB=∠ABC=45°,
∴∠EDB=∠FDB﹣∠EDF=45°﹣30°=15°,
故选:B.
5.解:∵点P(a,﹣3)关于原点对称的点是P′(2,b),
∴a=﹣2,b=3,
∴a+b=1,
故选:A.
6.解:∵DE垂直平分AB交BC于点D,
∴AD=DB,
∵△ACD的周长为50cm,
即AC+AD+CD=AC+CD+DB=AC+BC=50cm,
故选:C.
7.解:因为根据图象可知,物体的形状为首先小然后变大最后又变小,
所以注水过程的水的高度是先快后慢再快,且第三段的上升速度比第一段慢,故选项C正确.
故选:C.
8.解:∵观察甲、乙两团女演员身高的折线统计图,发现甲的波动小于乙的波动,
∴S甲2<S乙2,
故选:B.
9.解:∵关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2﹣4=0的一个根是x=0,
∴a2﹣4=0且a+2≠0,
解得:a=2,
故选:A.
10.解:设圆心为O,连接OB,如图所示,
∵CD垂直平分AB,AB=40cm,
∴BD=20cm,
∵CD=10cm,OC=OB,
∴OD=OB﹣10,
∵∠ODB=90°,
∴OD2+BD2=OB2,
∴(OB﹣10)2+202=OB2,
解得OB=25,
即圆形工件的半径为25cm,
故选:C.
11.解:由题意可知,△A1B1C1与△ABC是位似图形,且位似比为:,
∴△A1B1C1的面积是60÷=375(cm2),
故选:D.
12.解:∵y=(x﹣1)2+c,
∴抛物线开口向上,对称轴是直线x=1,
∴当x<1时,y随x的增大而减小,
∵(,y3)关于直线x=1的对称点是(﹣,y3),
∵﹣2<﹣<0<1,
∴y1>y3>y2,
故选:D.
二、填空题(共5小题,每小题4分,共20分)
13.解:∵a2﹣b2=12,
∴(a+b)(a﹣b)=12,
∵a﹣b=﹣2,
∴a+b=﹣6,
故答案为:﹣6.
14.解:去分母得:2x=3x﹣9,
解得:x=9,
经检验x=9是分式方程的解,
故答案为:x=9
15.解:∵CD是边AB上的高,
∴∠CDB=∠CDA=90°,
∵∠BCD=30°,∠ACB=80°,
∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=50°,∠CBD=90°﹣∠BCD=60°,
∴∠CAB=90°﹣∠ACD=40°,
∵AE是∠CAB的平分线,
∴∠EAB=∠CAB=20°,
∴∠AEB=180°﹣∠EAB﹣∠EBA=100°,
故答案为:100°.
16.解:∵四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H,
∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线,
∴EF=AC=×24=12,GH=AC=12,FG=BD=×18=9,HE=BD=9,
∴四边形EFGH的周长为:12+9+12+9=42,
故答案为:42.
17.解:∵一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6)、B(0,3)两点,
∴,解得,
∴一次函数解析式为y=x+3,
当y=0时,x=﹣3,
∴C(﹣3,0),
∴S△AOC==9.
故答案为:9.
三、解答题(共5小题,共32分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.解:原式=+2﹣++﹣1
=+2﹣++﹣1
=2.
19.解:﹣3<4x﹣7≤9,
即,
解不等式①,得x>1,
解不等式②,得x≤4,
所以不等式组的解集是1<x≤4,
所以不等式组﹣3<4x﹣7≤9的整数解是2,3,4.
20.解:(1)本次调查的总人数是为:18×36%=50(人),
估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有1500×=120(人),
故答案为:50,120;
(2)喜欢篮球的人数为:50×24%=12(人),
喜欢乒乓球的人数为:50﹣18﹣12﹣10﹣4=6(人),
补全条形统计图如下:
(3)解:画树状图如下:
共有12种等可能的结果数,其中抽取两人恰好是甲乙的结果数为2,
∴甲乙两位同学同时被抽中的概率为:=.
21.解:由题意,知∠CBG=30°,∠CEG=60°,∠CGB=∠CGE=90°,GF=ED=BA=1.8m,BE=67m,
在Rt△CBG中,
BG==CG,
在Rt△CEG中,
EG==CG,
∵BG﹣EG=BE,
∴CG﹣CG=67,
解得CG≈58.03(m),
∴CF=CG+GF=58.03+1.8=59.83(m),
答:塔高CF为59.83m.
22.解:(1)∵点A(m,2)在正比例函数图象上,
∴2=,解得x=4,
∴A(4,2),
∵A(4,2)在反比例函数图象上,
∴k=8,
∴反比例函数解析式为y2=.
(2)把直线y1=x向上平移3个单位得到解析式为y=,
直线与y轴交点坐标为D(0,3),连接AD,
联立方程组,
解得,(舍去),
∴B(2,4),
∴S△AOB=S△ADO==6.
四、填空题(共2小题,每小题5分,共10分)
23.解:∵y2﹣x=0,
∴y2=x≥0,
∵x2﹣3y2+x﹣3=0,
∴x2﹣3x+x﹣3=0,
即x2﹣2x﹣3=0,
解得:x1=3,x2=﹣1(舍去),
即x的值为3,
故答案为:3.
24.解:如图,连接MP、MQ,
∵PQ是⊙M的切线,
∴MQ⊥PQ,
∴PQ==,
当PM最小时,PQ最小,
当MP⊥AB时,MP最小,
直线y=x+4与x轴的交点A的坐标为(﹣4,0),与y轴的交点B的坐标为(0,4),
∴OA=OB=4,
∴∠BAO=45°,AM=8,
当MP⊥AB时,MP=AM•sin∠BAO=8×=4,
∴PQ的最小值为:==2,
故答案为:2.
五、解答题(共4小题,共40分)
25.解:(1)由题知,
三角点阵中前1行的点数之和为:1;
三角点阵中前2行的点数之和为:1+2;
三角点阵中前3行的点数之和为:1+2+3;
三角点阵中前4行的点数之和为:1+2+3+4;
…,
所以三角点阵中前n行的点数之和为:1+2+3+…+n=.
当n=8时,
,
即三角点阵中前8行的点数之和为36.
当n=15时,
,
即三角点阵中前15行的点数之和为120.
故答案为:36,120,.
(2)不能.
令得,
解得n=,
因为n为正整数,
所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500.
故答案为:不能.
(3)由题知,
前n排盆景的总数可表示为n(n+1),
令n(n+1)=420得,
解得n1=﹣21,n2=20.
因为n为正整数,
所以n=20,
即一共能摆20排.
26.解:(1)连接AN,如图,
∵四边形ABCD是菱形,
∴点A,点C关于直线BD轴对称,
∴AN=CN,
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M,交BD于点N,
∴AN=EN,
∴EN=CN;
(2)过点N作NG⊥BC于点G,连接AN,AG,过点A作AH⊥BC于点H,
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴∠DBC=30°,
∴BN=2NG,
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M,交BD于点N,
∴EN=AN,
∴2EN+BN=2AN+2NG=2(AN+NG)≥2AG≥2AH,
∴2EN+BN的最小值为2AH,
∵∠ABC=60°,AB=2,
∴AH=AB•sin60°=,
∴2EN+BN的最小值为2.
27..(1)证明:连接OD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠OAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠DAE=∠ODA,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∵OD是⊙O的半径,
∴EF是⊙O的切线;
(2)解:连接MD,AN,
在Rt△ODF中,OB=OD=2,∠F=30°,
∴OD=OF,∠BOD=60°,
∴OF=4,
∴DF==2,
∴AF=2+4=6,
在Rt△AEF中,∠F=30°,
∴AE=AF=3,
∵∠F=30°,OD⊥EF,
∴∠DOF=60°=∠2+∠3,
∵OA=OD,
∵∠2=∠3,
∴∠2=30°,
∴∠2=∠F,
∴AD=DF=2,
∵OD∥AE,
∴△DGO∽△AGE,
∴==,
∴DG=AD,AG=AD,
∵∠ANM=∠MDG,∠MGD=∠AGN,
∴△MGD∽△AGN,
∴=,
∴GM•GN=GD•GA=AD•AD=AD2=×(2)2=.
28.解:(1)把B(3,m)代入y=x+2得:m=3+2=5,
∴B(3,5),
把A(﹣2,0),B(3,5)代入y=﹣x2+bx+c得:
,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+8;
(2)设P(t,﹣t2+2t+8),则E(t,t+2),D(t,0),
∵PE=2DE,
∴﹣t2+2t+8﹣(t+2)=2(t+2),
解得t=1或t=﹣2(此时P不在直线AB上方,舍去);
∴P的坐标为(1,9);
(3)抛物线上存在点M,使△ABM的面积等于△ABC面积的一半,理由如下:
过M作MK∥y轴交直线AB于K,如图:
在y=﹣x2+2x+8中,令y=0得0=﹣x2+2x+8,
解得x=﹣2或x=4,
∴A(﹣2,0),C(4,0),
∴AC=6,
∵B(3,5),
∴S△ABC=×6×5=15,
设M(m,﹣m2+2m+8),则K(m,m+2),
∴MK=|﹣m2+2m+8﹣(m+2)|=|﹣m2+m+6|,
∴S△ABM=MK•|xB﹣xA|=|﹣m2+m+6|×5=|﹣m2+m+6|,
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半,
∴|﹣m2+m+6|=×15,
∴|﹣m2+m+6|=3,
∴﹣m2+m+6=3或﹣m2+m+6=﹣3,
解得m=或m=,
∴M的坐标为(,)或(,)或(,)或(,).
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