2023年四川省凉山州中考数学试卷 (含答案解析)
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一、选择题(共12小题,每小题4分,共48分)在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.
1.(4分)下列各数中,为有理数的是( )
A. B.3.232232223…
C. D.
2.(4分)如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数,则这个几何体的主视图是( )
A. B.
C. D.
3.(4分)若一组数据x1,x2,x3,…,xn的方差为2,则数据x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3的方差是( )
A.2 B.5 C.6 D.11
4.(4分)下列计算正确的是( )
A.a2•a4=a8 B.a2+2a2=3a4
C.(2a2b)3=8a6b3 D.(a﹣b)2=a2﹣b2
5.(4分)2022年12月26日,成昆铁路复线全线贯通运营.据统计12月26日至1月25日,累计发送旅客144.6万人次.将数据144.6万用科学记数法表示的是( )
A.1.446×105 B.1.446×106 C.0.1446×107 D.1.446×107
6.(4分)点P(2,﹣3)关于原点对称的点P′的坐标是( )
A.(2,3) B.(﹣2,﹣3) C.(﹣3,2) D.(﹣2,3)
7.(4分)光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从水中射向空气时,要发生折射.由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图,∠1=45°,∠2=120°,则∠3+∠4=( )
A.165° B.155° C.105° D.90°
8.(4分)分式的值为0,则x的值是( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.0或1
9.(4分)如图,点E、点F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE的是( )
A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C.AB=DC D.AF=DE
10.(4分)如图,在等腰△ABC中,∠A=40°,分别以点A、点B为圆心,大于AB为半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数是( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
11.(4分)如图,在⊙O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC=( )
A.1 B.2 C.2 D.4
12.(4分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.abc<0 B.4a﹣2b+c<0
C.3a+c=0 D.am2+bm+a≤0(m为实数)
二、填空题(共5个小题,每小题4分,共20分)
13.(4分)计算(π﹣3.14)0+= .
14.(4分)已知y2﹣my+1是完全平方式,则m的值是 .
15.(4分)如图,▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2).则顶点B的坐标是 .
16.(4分)不等式组的所有整数解的和是 .
17.(4分)如图,在Rt△ABC纸片中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,将△ACD沿CD折叠,当点A落在点A′处时,恰好CA′⊥AB,若BC=2,则CA′= .
三、解答题(共5小题,共32分)解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.
18.(5分)先化简,再求值:(2x+y)2﹣(2x+y)(2x﹣y)﹣2y(x+y),其中x=()2023,y=22022.
19.(5分)解方程:=.
20.(7分)2023年“五一”期间,凉山旅游景点,人头攒动,热闹非凡,州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海泸山风景区(以下分别用A、B、C、D表示)的游客人数进行了抽样调查,并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图.
请根据以上信息回答:
(1)本次参加抽样调查的游客有多少人?
(2)将两幅不完整的统计图补充完整;
(3)若某游客随机选择A、B、C、D四个景区中的两个,用列表或画树状图的方法,求他第一个景区恰好选择A的概率.
21.(7分)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪,该段隧道的截面示意图如图所示,图中所有点都在同一平面内,且A、D、B、F在同一直线上.点C、点E到AB的距离分别为CD、EF,且CD=EF=7m,CE=895m,在C处测得A点的俯角为30°,在E处测得B点的俯角为45°,小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s.
(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1m);
(2)若该隧道限速80千米/小时,判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速?并通过计算说明理由.(参考数据:≈1.4,≈1.7)
22.(8分)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若AB=10,AC=16,求OE的长.
四、填空题(共2小题,每小题5分,共10分)
23.(5分)已知x2﹣2x﹣1=0,则3x3﹣10x2+5x+2027的值等于 .
24.(5分)如图,边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动,若OM⊥ON,则OC的最大值是 .
五、解答题(共4小题,共40分)
25.(8分)凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区.经过近20年的发展,雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖,雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”,某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况,购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销.在试销中,水果商将两种水果搭配销售,若购买雷波脐橙3千克,资中血橙2千克,共需78元人民币;若购买雷波脐橙2千克,资中血橙3千克,共需72元人民币.
(1)求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元?
(2)一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克,要求雷波脐橙尽量多,他最多能购买雷波脐橙多少千克?
26.(10分)阅读理解题:阅读材料:
如图1,四边形ABCD是矩形,△AEF是等腰直角三角形,记∠BAE为α、∠FAD为β,若tanα=,则tanβ=.
证明:设BE=k,
∵tanα=,
∴AB=2k,
易证△AEB≌△EFC(AAS).
∴EC=2k,CF=k,
∴FD=k,AD=3k,
∴tanβ===,
若α+β=45°时,当tanα=,则tanβ=.
同理:若α+β=45°时,当tanα=,则tanβ=.
根据上述材料,完成下列问题:
如图2,直线y=3x﹣9与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A,与x轴交于点B.将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E,过点A作AM⊥x轴于点M,过点A作AN⊥y轴于点N,已知OA=5.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值;
(3)求直线AE的解析式.
27.(10分)如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点F,点P是CD延长线上一点,DE⊥AP,垂足为点E,∠EAD=∠FAD.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若PA=4,PD=2,求⊙O的半径和DE的长.
28.(12分)如图,已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B(﹣5,0)两点,与y轴交于点C.直线y=﹣3x+3过抛物线的顶点P.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若直线x=m(﹣5<m<0)与抛物线交于点E,与直线BC交于点F.
①当EF取得最大值时,求m的值和EF的最大值;
②当△EFC是等腰三角形时,求点E的坐标.
2023年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题4分,共48分)在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.
1.(4分)下列各数中,为有理数的是( )
A. B.3.232232223…
C. D.
【分析】运用有理数和无理数的概念进行逐一辨别、求解.
【解答】解:∵=2,
∴选项A符合题意;
∵3.232232223…,,是无理数,
∴选项B,C,D不符合题意,
故选:A.
【点评】此题考查了实数的分类能力,关键是能准确理解并运用实数的概念进行辨别、求解.
2.(4分)如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数,则这个几何体的主视图是( )
A. B.
C. D.
【分析】由俯视图中相应位置上摆放的小立方体的个数,可得出主视图形状,进而得出答案.
【解答】解:主视图看到的是两层,底层是两个小正方形,上层的左边是一个小正方形,
因此选项C中的图形符合题意,
故选:B.
【点评】本题考查简单组合体的三视图,理解视图的意义,掌握三视图的画法是正确判断的前提.
3.(4分)若一组数据x1,x2,x3,…,xn的方差为2,则数据x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3的方差是( )
A.2 B.5 C.6 D.11
【分析】根据当数据都加上一个数(或减去一个数)时,方差不变,即可得出答案.
【解答】解:设一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为,则方差为[...+]=2,
∴数据x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3的平均数为(+3),方差为[+...+]=[...+]=2.
故选:A.
【点评】本题考查了方差的定义.当数据都加上一个数(或减去一个数)时,平均数也加或减这个数,方差不变,即数据的波动情况不变;当数据都乘以一个数(或除以一个数)时,平均数也乘以或除以这个数,方差变为这个数的平方倍(或这个数的平方分之一).
4.(4分)下列计算正确的是( )
A.a2•a4=a8 B.a2+2a2=3a4
C.(2a2b)3=8a6b3 D.(a﹣b)2=a2﹣b2
【分析】利用完全平方公式,合并同类项的法则,同底数幂的乘法的法则,积的乘方的法则对各项进行运算即可.
【解答】解:A、a2•a4=a6,故A不符合题意;
B、a2+2a2=3a2,故B不符合题意;
C、(2a2b)3=8a6b3,故C符合题意;
D、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故D不符合题意;
故选:C.
【点评】本题主要考查完全平方公式,合并同类项,积的乘方,同底数幂的乘法,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
5.(4分)2022年12月26日,成昆铁路复线全线贯通运营.据统计12月26日至1月25日,累计发送旅客144.6万人次.将数据144.6万用科学记数法表示的是( )
A.1.446×105 B.1.446×106 C.0.1446×107 D.1.446×107
【分析】利用科学记数法的法则解答即可.
【解答】解:144.6万=1.446×106.
故选:B.
【点评】本题主要考查了科学记数法,表示较大的数,熟练掌握科学记数法是解题的关键.
6.(4分)点P(2,﹣3)关于原点对称的点P′的坐标是( )
A.(2,3) B.(﹣2,﹣3) C.(﹣3,2) D.(﹣2,3)
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(﹣x,﹣y),即关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数.
【解答】解:点P(2,﹣3)关于原点对称的点P′的坐标是(﹣2,3).
故选:D.
【点评】本题主要考查了关于原点的对称点的性质,正确把握横纵坐标的关系是解题关键.
7.(4分)光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从水中射向空气时,要发生折射.由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图,∠1=45°,∠2=120°,则∠3+∠4=( )
A.165° B.155° C.105° D.90°
【分析】由平行线的性质可得∠3=∠1=45°,∠4=60°,从而可求解.
【解答】解:∵在水中平行的光线,在空气中也是平行的,∠1=45°,∠2=120°,
∴∠3=∠1=45°,
∵水面与杯底面平行,
∴∠4=180°﹣∠2=60°,
∴∠3+∠4=105°.
故选:C.
【点评】本题主要考查平行线的性质,解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用.
8.(4分)分式的值为0,则x的值是( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.0或1
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算.
【解答】解:∵分式的值为0,
∴x2﹣x=0且x﹣1≠0,
解得:x=0,
故选:A.
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件,熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键.
9.(4分)如图,点E、点F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE的是( )
A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C.AB=DC D.AF=DE
【分析】根据BE=CF求出BF=CE,再根据全等三角形的判定定理进行分析即可.
【解答】解:∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,
即BF=CE,
∴当∠A=∠D时,利用AAS可得△ABF≌△DCE,故A不符合题意;
当∠AFB=∠DEC时,利用ASA可得△ABF≌△DCE,故B不符合题意;
当AB=DC时,利用SAS可得△ABF≌△DCE,故C不符合题意;
当AF=DE时,无法证明△ABF≌△DCE,故D符合题意;
故选:D.
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理,能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键,全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL等.
10.(4分)如图,在等腰△ABC中,∠A=40°,分别以点A、点B为圆心,大于AB为半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数是( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
【分析】利用基本作图得MN垂直平分AB,则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠ABD=∠A=40°,则计算出∠ABC=∠C=70°,然后计算∠ABC﹣∠ABD即可.
【解答】解:由作法得MN垂直平分AB,
∴DA=DB,
∴∠ABD=∠A=40°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=(180°﹣∠A)=×(180°﹣40°)=70°,
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°.
故选:B.
【点评】本题考查了作图﹣基本作图:熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质.
11.(4分)如图,在⊙O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC=( )
A.1 B.2 C.2 D.4
【分析】连接OB,设OA交BC于E,由∠ADB=30°,得∠AOB=60°,根据OA⊥BC,BC=2,得BE=BC=,故sin60°=,从而OB=2=OC=2.
【解答】解:连接OB,设OA交BC于E,如图:
∵∠ADB=30°,
∴∠AOB=60°,
∵OA⊥BC,BC=2,
∴BE=BC=,
在Rt△BOE中,sin∠AOB=,
∴sin60°=,
∴OB=2,
∴OC=2;
故选:B.
【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理,解题的关键是掌握含30°角的直角三角形三边关系.
12.(4分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.abc<0 B.4a﹣2b+c<0
C.3a+c=0 D.am2+bm+a≤0(m为实数)
【分析】由抛物线开口向上知a>0,由抛物线的对称轴为直线x=1,知b=﹣2a,b<0,由抛物线与y轴交于负半轴,知c<0,可判断A错误;由(4,16a+4b+c)在第一象限,知(﹣2,4a﹣2b+c)在第二象限,判断B错误;由9a+3b+c=0,b=﹣2a,可得3a+c=0,判断C正确;由am2+bm+a=am2﹣2am+a=a(m﹣1)2,可判断D错误.
【解答】解:由抛物线开口向上知a>0,
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴﹣=1,
∴b=﹣2a,
∴b<0,
∵抛物线与y轴交于负半轴,
∴c<0,
∴abc>0,故A错误,不符合题意;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,且4﹣1=1﹣(﹣2),
∴抛物线上的点(4,16a+4b+c)与(﹣2,4a﹣2b+c)关于对称轴对称,
由图可知,(4,16a+4b+c)在第一象限,
∴(﹣2,4a﹣2b+c)在第二象限,
∴4a﹣2b+c>0,故B错误,不符合题意;
∵x=3时y=0,
∴9a+3b+c=0,
∵b=﹣2a,
∴9a+3×(﹣2a)+c=0,
∴3a+c=0,故C正确,符合题意;
∵b=﹣2a,
∴am2+bm+a=am2﹣2am+a=a(m﹣1)2,
∵a>0,(m﹣1)2≥0,
∴a(m﹣1)2≥0,
∴am2+bm+a≥0,故D错误,不符合题意;
故选:C.
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系,解题的关键是掌握二次函数的相关性质.
二、填空题(共5个小题,每小题4分,共20分)
13.(4分)计算(π﹣3.14)0+= .
【分析】利用零指数幂的意义和二次根式的性质化简运算即可.
【解答】解:原式=1+﹣1
=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了实数的运算,零指数幂的意义和二次根式的性质,熟练掌握上述法则与性质是解题的关键.
14.(4分)已知y2﹣my+1是完全平方式,则m的值是 ±2 .
【分析】利用完全平方式的意义解答即可.
【解答】解:∵y2﹣my+1是完全平方式,y2﹣2y+1=(y﹣1)2,y2﹣(﹣2)y+1=(y+1)2,
∴﹣m=﹣2或﹣m=2,
∴m=±2.
故答案为:±2.
【点评】本题主要考查了完全平方式,熟练掌握完全平方式是解题的关键.
15.(4分)如图,▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2).则顶点B的坐标是 (4,2) .
【分析】延长BC交y轴于点D,由平行四边形的性质得BC=OA,BC∥OA,再证BC⊥y轴,然后求出BC=OA=3,CD=1,OD=2,则BD=CD+BC=4,即可得出结论.
【解答】解:如图,延长BC交y轴于点D,
∵四边形ABCO是平行四边形,
∴BC=OA,BC∥OA,
∵OA⊥y轴,
∴BC⊥y轴,
∵A(3,0),C(1,2),
∴BC=OA=3,CD=1,OD=2,
∴BD=CD+BC=1+3=4,
∴B(4,2),
故答案为:(4,2).
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及坐标与图形性质,熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
16.(4分)不等式组的所有整数解的和是 7 .
【分析】求出不等式组的解集,确定出整数解,求出之和即可.
【解答】解:,
解不等式①得:x>,
解不等式②得x≤4,
∴不等式组的解集为﹣<x≤4,
由x为整数,可取﹣2,﹣1,0,1,2,3,4,
则所有整数解的和为7,
故答案为:7.
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解,以及解一元一次不等式组,熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键.
17.(4分)如图,在Rt△ABC纸片中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,将△ACD沿CD折叠,当点A落在点A′处时,恰好CA′⊥AB,若BC=2,则CA′= 2 .
【分析】由∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,可得∠A=∠ACD,由翻折的性质可知∠ACD=∠A'CD,AC=CA',故∠A=∠ACD=∠A'CD,而A'C⊥AB,即得∠A=∠ACD=∠A'CD=30°,在Rt△ABC中,tan30°=,可解得AC,从而可得答案.
【解答】解:设CA'交AB于O,如图:
∵∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,
∴CD=AD=DB,
∴∠A=∠ACD,
由翻折的性质可知∠ACD=∠A'CD,AC=CA',
∴∠A=∠ACD=∠A'CD,
∵A'C⊥AB,
∴∠AOC=90°,
∴∠A'CD+∠ACD+∠A=90°,
∴∠A=∠ACD=∠A'CD=30°,
在Rt△ABC中,tanA=,
∴tan30°=,
∴AC=2,
∴CA'=2,
故答案为:2.
【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题,解题的关键是掌握翻折的性质,熟练掌握含30°角的直角三角形三边的关系.
三、解答题(共5小题,共32分)解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.
18.(5分)先化简,再求值:(2x+y)2﹣(2x+y)(2x﹣y)﹣2y(x+y),其中x=()2023,y=22022.
【分析】利用整式的相应的法则对式子进行化简,再代入相应的值运算即可.
【解答】解:(2x+y)2﹣(2x+y)(2x﹣y)﹣2y(x+y)
=4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣2xy﹣2y2
=2xy,
当x=()2023,y=22022时,
原式=2×()2023×22022
=2××()2022×22022
=2××(×2)2022
=2××12022
=2×
=1.
【点评】本题主要考查整式的混合运算,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
19.(5分)解方程:=.
【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可.
【解答】解:去分母得:x(x﹣1)=2,
去括号得:x2﹣x=2,
移项得:x2﹣x﹣2=0,
∴(x﹣2)(x+1)=0,
∴x=2或x=﹣1,
将x=2代入原方程,原方程左右相等,
∴x=2是原方程的解.
将x=﹣1代入,使分母为0,
∴x=﹣1是原方程的增根,
∴原方程的解为:x=2.
【点评】本题主要考查了分式方程的解法,验根是常常遗漏的步骤,熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键.
20.(7分)2023年“五一”期间,凉山旅游景点,人头攒动,热闹非凡,州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海泸山风景区(以下分别用A、B、C、D表示)的游客人数进行了抽样调查,并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图.
请根据以上信息回答:
(1)本次参加抽样调查的游客有多少人?
(2)将两幅不完整的统计图补充完整;
(3)若某游客随机选择A、B、C、D四个景区中的两个,用列表或画树状图的方法,求他第一个景区恰好选择A的概率.
【分析】(1)用B景点的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数;
(2)先计算出C景点的人数,则可补全条形统计图,然后分别计算出A景点和C景点所占的百分比,从而补全扇形统计图;
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果,再找出他第一个景区恰好选择A的结果数,然后根据概率公式计算.
【解答】解:(1)60÷10%=600(人),
所以本次参加抽样调查的游客有600人;
(2)C景点的人数为600﹣180﹣60﹣240=120(人),
C景点的人数所占的百分比为×100%=20%,
A景点的人数所占的百分比为×100%=30%,
两幅不完整的统计图补充为:
(3)画树状图为:
共有12种等可能的结果,他第一个景区恰好选择A的结果数为3,
所以他第一个景区恰好选择A的概率==.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图.
21.(7分)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪,该段隧道的截面示意图如图所示,图中所有点都在同一平面内,且A、D、B、F在同一直线上.点C、点E到AB的距离分别为CD、EF,且CD=EF=7m,CE=895m,在C处测得A点的俯角为30°,在E处测得B点的俯角为45°,小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s.
(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1m);
(2)若该隧道限速80千米/小时,判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速?并通过计算说明理由.(参考数据:≈1.4,≈1.7)
【分析】(1)根据题意,DF=CE=895m,在Rt△EBF中,刻度BF==7(m),故DB=DF﹣BF=888(m),在Rt△ACD中,AD==7≈12.12(m),即可得AB=AD+BD≈900(m),从而知A,B两点之间的距离约为900m;
(2)由900÷45=20(m/s),再换算单位可知小型汽车从点A行驶到点B没有超速.
【解答】解:(1)根据题意,四边形CDFE是矩形,∠CAD=30°,∠EBF=45°,
∴DF=CE=895m,
在Rt△EBF中,
BF===7(m),
∴DB=DF﹣BF=895﹣7=888(m),
在Rt△ACD中,
AD===7≈12.12(m),
∴AB=AD+BD=12.12+888≈900(m),
∴A,B两点之间的距离约为900m;
(2)∵900÷45=20(m/s),
∴小型汽车每小时行驶20×3600=72000(m),
∵72000m=72km,72<80,
∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速.
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系.
22.(8分)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若AB=10,AC=16,求OE的长.
【分析】(1)证AB=CB,得▱ABCD是菱形,再由菱形的性质即可得出结论;
(2)由菱形的性质得OA=OC=AC=8,AC⊥BD,再由勾股定理得OB=6,然后证△BOE∽△AOB,得=,即可得出结论.
【解答】(1)证明:∵∠CAB=∠ACB,
∴AB=CB,
∴▱ABCD是菱形,
∴AC⊥BD;
(2)解:由(1)可知,▱ABCD是菱形,
∴OA=OC=AC=8,AC⊥BD,
∴∠AOB=∠BOE=90°,
∴OB===6,
∵BE⊥AB,
∴∠EBA=90°,
∴∠BEO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BEO=∠ABO,
∴△BOE∽△AOB,
∴=,
即=,
解得:OE=,
即OE的长为.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识,熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键.
四、填空题(共2小题,每小题5分,共10分)
23.(5分)已知x2﹣2x﹣1=0,则3x3﹣10x2+5x+2027的值等于 2023 .
【分析】由x2﹣2x﹣1=0,得x2﹣2x=1,将所求式子变形为3x(x2﹣2x)﹣4(x2﹣2x)﹣3x+2027,再整体代入计算即可.
【解答】解:∵x2﹣2x﹣1=0,
∴x2﹣2x=1,
∴3x3﹣10x2+5x+2027
=3x(x2﹣2x)﹣4(x2﹣2x)﹣3x+2027
=3x×1﹣4×1﹣3x+2027
=3x﹣4﹣3x+2027
=2023,
故答案为:2023.
【点评】本题考查因式分解的应用,解题的关键是整体代入思想的应用.
24.(5分)如图,边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动,若OM⊥ON,则OC的最大值是 1+ .
【分析】取AB的中点D,连接OD及DC,根据三角形的三边关系得到OC小于等于OD+DC,只有当O、D及C共线时,OC取得最大值,最大值为OD+CD,由等边三角形的边长为2,根据D为AB中点,得到BD为1,根据三线合一得到CD垂直于AB,在直角三角形BCD中,根据勾股定理求出CD的长,在直角三角形AOB中,OD为斜边AB上的中线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半,由AB的长求出OD的长,进而求出DC+OD,即为OC的最大值.
【解答】解:取AB中点D,连OD,DC,
∴OC≤OD+DC,
当O、D、C共线时,OC有最大值,最大值是OD+CD,
∵△ABC为等边三角形,D为AB中点,
∴BD=1,BC=2,
∴CD==,
∵△AOB为直角三角形,D为斜边AB的中点,
∴OD=AB=1,
∴OD+CD=1+,即OC的最大值为1+.
故答案为:1+.
【点评】本题考查了等边三角形的性质,涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,勾股定理,其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键.
五、解答题(共4小题,共40分)
25.(8分)凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区.经过近20年的发展,雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖,雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”,某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况,购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销.在试销中,水果商将两种水果搭配销售,若购买雷波脐橙3千克,资中血橙2千克,共需78元人民币;若购买雷波脐橙2千克,资中血橙3千克,共需72元人民币.
(1)求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元?
(2)一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克,要求雷波脐橙尽量多,他最多能购买雷波脐橙多少千克?
【分析】(1)设雷波脐橙每千克x元,资中血橙每千克y元,根据“购买雷波脐橙3千克,资中血橙2千克,共需78元人民币;购买雷波脐橙2千克,资中血橙3千克,共需72元人民币”,可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购买雷波脐橙m千克,则购买资中血橙(100﹣m)千克,利用总价=单价×数量,结合总价不超过1440元,可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值,即可得出结论.
【解答】解:(1)设雷波脐橙每千克x元,资中血橙每千克y元,
根据题意得:,
解得:.
答:雷波脐橙每千克18元,资中血橙每千克12元;
(2)设购买雷波脐橙m千克,则购买资中血橙(100﹣m)千克,
根据题意得:18m+12(100﹣m)≤1440,
解得:m≤40,
∴m的最大值为40.
答:他最多能购买雷波脐橙40千克.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
26.(10分)阅读理解题:阅读材料:
如图1,四边形ABCD是矩形,△AEF是等腰直角三角形,记∠BAE为α、∠FAD为β,若tanα=,则tanβ=.
证明:设BE=k,
∵tanα=,
∴AB=2k,
易证△AEB≌△EFC(AAS).
∴EC=2k,CF=k,
∴FD=k,AD=3k,
∴tanβ===,
若α+β=45°时,当tanα=,则tanβ=.
同理:若α+β=45°时,当tanα=,则tanβ=.
根据上述材料,完成下列问题:
如图2,直线y=3x﹣9与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A,与x轴交于点B.将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E,过点A作AM⊥x轴于点M,过点A作AN⊥y轴于点N,已知OA=5.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值;
(3)求直线AE的解析式.
【分析】(1)设A(t,3t﹣9),由OA=5,得t2+(3t﹣9)2=52,可解得A(4,3),再用待定系数法得反比例函数的解析式为y=(x>0);
(2)求出B(3,0),由A(4,3),得AM=3,BM=OM﹣OB=1,即知tan∠BAM==,而∠BAE=45°,故∠BAM+∠NAE=45°,由阅读材料得tan∠NAE=;
(3)由tan∠NAE=,A(4,3),得NE=2,从而E(0,1),再用待定系数法得直线AE解析式为y=x+1.
【解答】解:(1)设A(t,3t﹣9),
∴OM=t,AM=3t﹣9,
∵OA=5,
∴t2+(3t﹣9)2=52,
解得t=4或t=1.4,
∴A(4,3)或(1.4,﹣4.8)(此时A在第四象限,不符合题意,舍去),
把A(4,3)代入y=(x>0)得:
3=,
解得m=12,
∴反比例函数的解析式为y=(x>0);
(2)在y=3x﹣9中,令y=0得0=3x﹣9,
解得x=3,
∴B(3,0),
∴OB=3,
由(1)知A(4,3),
∴OM=4,AM=3,
∴BM=OM﹣OB=4﹣3=1,
∴tan∠BAM==,
∵∠ANO=∠NOM=∠OMA=90°,
∴∠MAN=90°,
∵∠BAE=45°,
∴∠BAM+∠NAE=45°,
由若α+β=45°时,当tanα=,则tanβ=可得:
tan∠NAE=;
(3)由(2)知tan∠NAE=,
∴=,
∵A(4,3),
∴AN=4,ON=3,
∴=,
∴NE=2,
∴OE=ON﹣NE=3﹣2=1,
∴E(0,1),
设直线AE解析式为y=kx+b,
把A(4,3),E(0,1)代入得:
,
解得,
∴直线AE解析式为y=x+1.
【点评】本题考查反比例函数的综合应用,涉及待定系数法,锐角三角函数,勾股定理等知识,解题的关键是读懂阅读材料,掌握待定系数法.
27.(10分)如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点F,点P是CD延长线上一点,DE⊥AP,垂足为点E,∠EAD=∠FAD.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若PA=4,PD=2,求⊙O的半径和DE的长.
【分析】(1)连接OA,由AB⊥CD,得∠FAD+∠ADF=90°,故∠FAD+∠OAD=90°,根据∠EAD=∠FAD,得∠EAD+∠OAD=90°,即∠OAE=90°,OA⊥AE,从而可得AE是⊙O的切线;
(2)连接AC,AO,证明△ADP∽△CAP,可得=,CP=8,故CD=CP﹣PD=6,⊙O的半径为3;再证△OAP∽△DEP,得=,从而DE=.
【解答】(1)证明:连接OA,如图:
∵AB⊥CD,
∴∠AFD=90°,
∴∠FAD+∠ADF=90°,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ADF,
∴∠FAD+∠OAD=90°,
∵∠EAD=∠FAD,
∴∠EAD+∠OAD=90°,即∠OAE=90°,
∴OA⊥AE,
∵OA是⊙O半径,
∴AE是⊙O的切线;
(2)解:连接AC,AO,如图:
∵CD为⊙O直径,
∴∠CAD=90°,
∴∠C+∠ADC=90°,
∵∠FAD+∠ADC=90°,
∴∠C=∠FAD,
∵∠EAD=∠FAD,
∴∠C=∠EAD,
∵∠P=∠P,
∴△ADP∽△CAP,
∴=,
∵PA=4,PD=2,
∴=,
解得CP=8,
∴CD=CP﹣PD=8﹣2=6,
∴⊙O的半径为3;
∴OA=3=OD,
∴OP=OD+PD=5,
∵∠OAP=90°=∠DEP,∠P=∠P,
∴△OAP∽△DEP,
∴=,即=,
∴DE=,
∴⊙O的半径为3,DE的长为.
【点评】本题考查圆的性质及应用,涉及切线的性质与判定,相似三角形的性质与判定等知识,解题的关键是掌握圆的相关性质.
28.(12分)如图,已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B(﹣5,0)两点,与y轴交于点C.直线y=﹣3x+3过抛物线的顶点P.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若直线x=m(﹣5<m<0)与抛物线交于点E,与直线BC交于点F.
①当EF取得最大值时,求m的值和EF的最大值;
②当△EFC是等腰三角形时,求点E的坐标.
【分析】(1)由抛物线与x轴交于A(1,0)和B(﹣5,0)两点,得抛物线对称轴为直线x==﹣2,即可得抛物线顶点为(﹣2,9),设抛物线函数解析式为y=a(x+2)2+9,将A(1,0)代入可得a=﹣1,故抛物线函数解析式为y=﹣(x+2)2+9=﹣x2﹣4x+5;
(2)①求出C(0,5),得直线BC解析式为y=x+5,故E(m,﹣m2﹣4m+5),F(m,m+5),得EF=﹣m2﹣4m+5﹣(m+5)=﹣(m+)2+,根据二次函数性质可得答案;
②由E(m,﹣m2﹣4m+5),F(m,m+5),C(0,5),得EF2=(m2+5m)2,EC2=m2+(m2+4m)2,FC2=2m2;分三种情况列方程可解得答案.
【解答】解:(1)∵抛物线与x轴交于A(1,0)和B(﹣5,0)两点,
∴抛物线对称轴为直线x==﹣2,
在y=﹣3x+3中,令x=﹣2得y=9,
∴抛物线顶点为(﹣2,9),
设抛物线函数解析式为y=a(x+2)2+9,
将A(1,0)代入得:
0=9a+9,
解得a=﹣1,
∴抛物线函数解析式为y=﹣(x+2)2+9=﹣x2﹣4x+5;
(2)①如图:
在y=﹣x2﹣4x+5中,令x=0得y=5,
∴C(0,5),
由B(﹣5,0),C(0,5)得直线BC解析式为y=x+5,
∴E(m,﹣m2﹣4m+5),F(m,m+5),
∴EF=﹣m2﹣4m+5﹣(m+5)=﹣m2﹣5m=﹣(m+)2+,
∵﹣1<0,
∴当m=﹣时,EF取最大值,
∴m的值为﹣,EF的最大值为;
②∵E(m,﹣m2﹣4m+5),F(m,m+5),C(0,5),
∴EF2=(m2+5m)2,EC2=m2+(m2+4m)2,FC2=2m2;
若EF=EC,则(m2+5m)2=m2+(m2+4m)2,
解得m=0(E与C重合,舍去)或m=﹣4,
∴E(﹣4,5);
若EF=FC,则(m2+5m)2=2m2,
解得m=0(舍去)或m=﹣5或m=﹣﹣5(不符合题意,舍去),
∴E(﹣5,﹣2+6);
若EC=FC,则m2+(m2+4m)2=2m2,
解得m=0(舍去)或m=﹣3或m=﹣5(不符合题意,舍去),
∴E(﹣3,8);
综上所述,E的坐标为(﹣4,5)或(﹣5,﹣2+6)或(﹣3,8).
【点评】本题考查二次函数综合应用,涉及待定系数法,等腰三角形等知识,解题的关键是分类讨论思想的应用.
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