苏科版七年级数学暑假第04讲有理数乘法与除法练习(学生版+解析)

这是一份苏科版七年级数学暑假第04讲有理数乘法与除法练习(学生版+解析)，共29页。
1．理解有理数的乘法与除法法则；
2．能利用有理数的乘法与除法法则进行简单的有理数乘法运算；(重点)
3．会利用有理数的乘法与除法解决实际问题．(难点)
【基础知识】
一．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
注意：0没有倒数．
二．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
三．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
【考点剖析】
一．倒数（共2小题）
1．（2021•阳新县校级模拟）﹣ǀ﹣5ǀ的倒数是（ ）
A．5B．﹣5C．D．
2．（2022•镇江模拟）的倒数等于 ．
二．有理数的乘法（共7小题）
3．（真题•佛山月考）计算：（﹣36）×（）．
4．（真题•仪征市期中）规定：水位上升为正，水位下降为负：几天后为正，几天前为负．若水位每天下降3cm，今天的水位记为0cm，那么2天前的水位用算式表示正确的是（ ）
A．（+3）×（+2）B．（+3）×（﹣2）C．（﹣3）×（+2）D．（﹣3）×（﹣2）
5．（2017秋•亭湖区校级月考）﹣9936．
6．（2019秋•天宁区校级月考）学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：
计算：17（﹣9）
下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．
解：原式＝﹣179＝﹣1725．
7．（真题•无锡期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．a＞﹣3B．ab＞0C．a+b＞0D．|a|＞|b|
8．（真题•朝阳区校级期末）在数﹣5，1，3，﹣3，4中，任取两个数相乘，所得积的最大是 ．
9．（2022春•阜宁县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）．
（1）计算：M（5）+M（6）；
（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；
（3）试说明：2×M（n）与M（n+1）互为相反数．
三．有理数的除法（共11小题）
10．（2022•永嘉县模拟）计算﹣6÷2的结果是（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣12
11．（﹣81）÷（）（﹣16）．
12．计算：（﹣32）÷4×（﹣8）．
13．（真题•宜兴市月考）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（ ）
A．一定是负数B．一定是正数C．等于0D．以上都不是
14．（真题•东台市期中）有两个整数a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．若整数m在[5，15]内，整数n在[﹣30，﹣20]内，那么的一切值中属于整数的个数为（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
15．（真题•大丰区期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．|a|＜|b|B．a＞bC．a+b＞0D．
16．（真题•相城区月考）下列各式中计算正确的有（ ）
①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3；②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20；
③； ④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．（2022•顺义区一模）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为 升．
18．（真题•东莞市期中）若|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，且x，y异号，求x÷y的值．
19．（2019秋•交城县期中）阅读下题解答：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．
所以原式．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．
20．（真题•淮南期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于 类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 （填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
【过关检测】
一、单选题
1．（2021·江苏）下列各组的两个数中，互为倒数的是（ ）
A．3和﹣3B．﹣3和C．﹣3和D．和
2．（2019·江苏七年级月考）两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数（ ）
A．一定相等B．一定互为倒数C．一定互为相反数D．相等或互为相反数
3．（2021·江苏七年级期末）某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（ ）
A．80元B．120元C．160元D．200元
4．（2020·兴化市乐吾实验学校）在1，，，4这四个数中，任取两个数相乘，所得积最大的是（ ）
A．B．C．4D．6
5．（2020·江苏）已知，试求的值不可能为（ ）
A．3B．-3C．0D．-1
6．（2020·兴化市板桥初级中学七年级月考）一个大于1的正整数a，与其倒数，相反数-a比较，大小关系正确的是（ ）
A．-a＜≤aB．-a＜＜aC．＞a＞-aD．-a≤a≤
7．（2020·江苏七年级期中）有两个正数，，且，把大于等于且小于等于的所有数记作．例如，大于等于且小于等于的所有数记作．若整数在内，整数在内，那么的一切值中属于整数的个数为（ ）
A．5个B．个C．个D．个
二、填空题
8．（2020·南通市东方中学七年级月考）计算：=______．
9．（2021·江苏南京一中七年级月考）直接写出计算结果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________．
10．（2020·江苏）绝对值小于2020的所有整数的和为_____，积为_____．
11．（2020·常州市丽华中学七年级月考）________×（﹣）＝﹣1．
三、解答题
12．（2020·江苏汇文实验初中）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，且=6，求的值．
13．（2020·常州市丽华中学七年级月考）学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：计算：17×（﹣9），下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．
解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．
14．（2020·南通西藏民族中学七年级期中）计算
（1） （2）
15．（2020·兴化市陈堡初级中学）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
（提出问题）三个有理数a、b、c满足，求的值．
（解决问题）
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即，，时，
则：；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，
则：
所以：的值为3或-1．
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足，求的值；
（2）已知，，且，求的值．
16．（2020·泰州市姜堰区励才实验学校七年级月考）学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算得又对又快两名同学给出的解法如下：
小强：原式
小莉：原式
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法最好？理由是什么？对你有何启发？
（2）此题还有其他解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来？
17．（2020·江苏七年级月考）阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：
18．（2020·徐州市树人初级中学七年级月考）小军在计算时，使用运算律解题过程如下：
解：．
他的解题过程是否正确？如果不正确，请你帮他改正．
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
第04讲 有理数乘法与除法
【学习目标】
1．理解有理数的乘法与除法法则；
2．能利用有理数的乘法与除法法则进行简单的有理数乘法运算；(重点)
3．会利用有理数的乘法与除法解决实际问题．(难点)
【基础知识】
一．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
注意：0没有倒数．
二．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
三．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
【考点剖析】
一．倒数（共2小题）
1．（2021•阳新县校级模拟）﹣ǀ﹣5ǀ的倒数是（ ）
A．5B．﹣5C．D．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：﹣ǀ﹣5ǀ＝﹣5
﹣5的倒数是：，
即﹣ǀ﹣5ǀ的倒数是．
故选：D．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题的关键．
2．（2022•镇江模拟）的倒数等于 2 ．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：的倒数是：2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
二．有理数的乘法（共7小题）
3．（真题•佛山月考）计算：（﹣36）×（）．
【分析】根据乘法分配律，可得答案．
【解答】解：原式＝﹣36×（）﹣3636
＝16﹣30+21
＝7．
【点评】本题考查了有理数的乘法，利用乘法分配律是解题关键．
4．（真题•仪征市期中）规定：水位上升为正，水位下降为负：几天后为正，几天前为负．若水位每天下降3cm，今天的水位记为0cm，那么2天前的水位用算式表示正确的是（ ）
A．（+3）×（+2）B．（+3）×（﹣2）C．（﹣3）×（+2）D．（﹣3）×（﹣2）
【分析】根据题意可以用相应的正负数表示题目中所求的问题，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
2天前的水位用算式表示是：（﹣3）×（﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查有理数的乘法的运算法则，涉及正数和负数的理解，解答本题的关键是明确题意，用相应的正负数表示出来．
5．（2017秋•亭湖区校级月考）﹣9936．
【分析】先把﹣99写成﹣100，再根据乘法分配律计算即可．
【解答】解：﹣9936＝（﹣100）×36
＝﹣100×3636
＝﹣3600
＝﹣3599．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
6．（2019秋•天宁区校级月考）学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：
计算：17（﹣9）
下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．
解：原式＝﹣179＝﹣1725．
【分析】利用乘法分配律进行计算即可．
【解答】解：小方给出的答案错误；
17（﹣9）
＝﹣[（17）×9]
＝﹣（17×99）
＝﹣161．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法，关键是正确确定积的符号，掌握乘法分配律．
7．（真题•无锡期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．a＞﹣3B．ab＞0C．a+b＞0D．|a|＞|b|
【分析】由数轴上的点得出a与b的正负及绝对值的大小，再结合运算法则进行判断即可．
【解答】解：由数轴可知，﹣4＜a＜﹣3，2＜b＜3，
∵a＜﹣3，
∴A选项错误，不符合题意；
∵ab＜0，
∴B选项错误，不符合题意；
∵|a|＞|b|，a＜0，b＞0，
∴a+b＜0，
∴C选项错误，不符合题意；
∵|a|＞|b|，
∴D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查数的大小，有理数的加法运算，乘法运算，由数轴上的点得出a与b的正负及绝对值的大小关系是解题的关键．
8．（真题•朝阳区校级期末）在数﹣5，1，3，﹣3，4中，任取两个数相乘，所得积的最大是 15 ．
【分析】在﹣5，1，3，﹣3，4这五个数中，绝对值最大的四个数是﹣5，3，﹣3，4，再根据正数大于负数，可得：任取两个数相乘，所得的积最大的是﹣5与﹣3的积．
【解答】解：在﹣5，1，3，﹣3，4这五个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是：
（﹣5）×（﹣3）＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较、有理数的乘法．解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
9．（2022春•阜宁县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）．
（1）计算：M（5）+M（6）；
（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；
（3）试说明：2×M（n）与M（n+1）互为相反数．
【分析】（1）根据新定义的法则及有理数乘法的法则进行计算即可；
（2）根据新定义的法则进行计算，即可得出结果；
（3）根据新定义的法则分别计算2×M（n）与M（n+1），即可得出结果．
【解答】解：（1）M （5）+M （6）
＝（﹣2）5+（﹣2）6
＝﹣32+64
＝32；
（2）2M（2021）+M （2022）
＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022
＝2×（﹣22021）+22022
＝﹣22022+22022
＝0；
（3）2M（ n ）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，
M （ n+1）＝（﹣2）n+1，
∵﹣（﹣2）n+1与（﹣2）n+1 互为相反数，
∴2M（ n ）与 M （ n+1）互为相反数．
【点评】本题考查了有理数的乘法及相反数，掌握新定义的含义及有理数的乘法法则是解决问题的关键．
三．有理数的除法（共11小题）
10．（2022•永嘉县模拟）计算﹣6÷2的结果是（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣12
【分析】有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，依此计算即可求解．
【解答】解：﹣6÷2＝﹣3．
故选：C．
【点评】考查了有理数除法，方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
11．（﹣81）÷（）（﹣16）．
【分析】根据有理数的乘除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣81）×（）（）
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
12．计算：（﹣32）÷4×（﹣8）．
【分析】根据有理数乘除法的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝328
＝64．
【点评】本题考查了有理数的乘除法，掌握运算法则是解题的关键．
13．（真题•宜兴市月考）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（ ）
A．一定是负数B．一定是正数C．等于0D．以上都不是
【分析】根据数轴的性质即可求出答案．
【解答】解：由于两个有理数分布在原点两侧，故必为一正一负，
所以两个数相除所得的商是负数，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算，本题属于基础题型．
14．（真题•东台市期中）有两个整数a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．若整数m在[5，15]内，整数n在[﹣30，﹣20]内，那么的一切值中属于整数的个数为（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】根据已知条件得出5≤m≤15，﹣30≤n≤﹣20，再得出的范围，即可得出整数的个数．
【解答】解：∵m在[5，15]内，n在[﹣30，﹣20]内，
∴5≤m≤15，﹣30≤n≤﹣20，
∴，即﹣6，
∴的一切值中属于整数的有﹣2，﹣3，﹣4，﹣5，﹣6，共5个；
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的除法，求出5≤m≤15和﹣30≤n≤﹣20是解题的关键．
15．（真题•大丰区期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．|a|＜|b|B．a＞bC．a+b＞0D．
【分析】根据绝对值的定义判断A选项；根据数轴上右边的数总比左边的数大比较大小判断B选项；根据有理数的加法法则判断C选项；根据有理数的除法法则判断D选项．
【解答】解：A选项，∵|a|＞1，|b|＜1，
∴|a|＞|b|，故该选项不符合题意；
B选项，a＜b，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜0，b＞0，
∴0，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值，数轴，有理数的加法，有理数的除法，掌握两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．
16．（真题•相城区月考）下列各式中计算正确的有（ ）
①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3；
②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20；
③；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据有理数的乘法和除法法则分别计算即可得出答案．
【解答】解：①原式＝3，故①计算不正确；
②原式＝20，故②计算不正确；
③原式＝1，故③计算正确；
④原式3，故④计算不正确；
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘法和除法法则，注意先确定符号．
17．（2022•顺义区一模）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为 18 升．
【分析】根据题意列出算式，再按照法则计算即可．
【解答】解：根据题意得：
3×10÷（50÷30）
＝30
＝30
＝18（升），
答：可以换得的粝米为18升．
故答案为：18．
【点评】本题考查有理数的乘除法的实际应用，根据题意列出算式是解题关键．
18．（真题•东莞市期中）若|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，且x，y异号，求x÷y的值．
【分析】根据绝对值的意义求得x和y的值，然后再根据x，y异号确定x和y的取值，最后代入计算即可．
【解答】解：∵|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，
∴x﹣1＝±2，y+1＝±3，
解得：x＝3或﹣1，y＝2或﹣4，
又∵x，y异号，
∴x＝3，y＝﹣4或x＝﹣1，y＝2，
当x＝3，y＝﹣4时，x÷y，
当x＝﹣1，y＝2时，x÷y，
综上，x÷y的值为或．
【点评】本题考查绝对值的意义，有理数的除法运算，理解绝对值的定义，掌握有理数除法运算法则是解题关键．
19．（2019秋•交城县期中）阅读下题解答：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．
所以原式．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．
【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：[（）2×（﹣6）]÷（）
＝[（﹣6）]×（﹣42）
＝﹣21+14﹣30+112
＝75，
则原式．
【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（真题•淮南期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于 A 类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 B 类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 B 类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 ①④ （填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；
（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；
（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．
【解答】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；
故答案为：A；
（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得
（15×1+16×2+17×0）＝47，
47÷3＝15…2，
∴余数为2，属于B类；
故答案为：①B；②B；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，
∵最后的结果属于C类，
∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；
②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；
③若m＝1，n＝1，③错误；
④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；
综上，①④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．
【过关检测】
一、单选题
1．（2021·江苏）下列各组的两个数中，互为倒数的是（ ）
A．3和﹣3B．﹣3和C．﹣3和D．和
【答案】B
【分析】根据倒数的意义，两个数的积等于1，这两个数互为倒数，分别把每组的两个数相乘，看其积是否等于1；据此解答．
【详解】解：A、3×=-9，不是互为倒数；
B、，是互为倒数；
C、，不是互为倒数；
D、，不是互为倒数；
故选：B．
【点睛】本题是考查倒数的意义及特征，判断两个数是否是互为倒数，可以根据倒数的意义，也可看两个数的分子、分母的位置是否相反（整数看作分母为1的分数）．
2．（2019·江苏七年级月考）两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数（ ）
A．一定相等B．一定互为倒数C．一定互为相反数D．相等或互为相反数
【答案】D
【分析】设这两个数分别为a，b，根据题意可得，从而可得，从而判断出a和b的关系.
【详解】设这两个数分别为a，b
依题意可得：
化简得：
∴a=b或a=-b
故答案选择：D.
【点睛】本题考查的是有理数的除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.
3．（2021·江苏七年级期末）某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（ ）
A．80元B．120元C．160元D．200元
【答案】C
【分析】八折是指售价是标价的80%，把标价看成单位“1”，实际少付的钱数就是标价的（1-80%），它对应的数量是40元，根据分数除法的意义，用40除以（1-80%）即可求出标价，再减去40元，就是实际花的钱数．
【详解】解：40÷（1-80%）
=40÷20%
=200（元）
200-40=160（元）
答：他购买这件商品花了160元．
故选：C．
【点睛】解决本题关键是理解打折的含义，找出单位“1”，再根据分数除法的意义求出标价，从而解决问题．
4．（2020·兴化市乐吾实验学校）在1，，，4这四个数中，任取两个数相乘，所得积最大的是（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法以及有理数的大小比较，列出乘积最大的算式计算即可得解．
【详解】解：所得的积最大的是：．
故选D．
【点睛】本题考查有理数的乘法，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2020·江苏）已知，试求的值不可能为（ ）
A．3B．-3C．0D．-1
【答案】C
【分析】根据可分情况，然后根据绝对值的性质进行计算．
【详解】解：∵，
∴当a＞0，b＞0时，=1+1+1=3，
当a＞0，b＜0时，=1-1-1=-1，
当a＜0，b＞0时，=-1+1-1=-1，
当a＜0，b＜0时，=-1-1-1=-3，
∴的值不可能为0，
故选C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质和有理数的乘法．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
6．（2020·兴化市板桥初级中学七年级月考）一个大于1的正整数a，与其倒数，相反数-a比较，大小关系正确的是（ ）
A．-a＜≤aB．-a＜＜aC．＞a＞-aD．-a≤a≤
【答案】B
【分析】先根据倒数、相反数的定义可得，再根据有理数的大小比较法则即可得．
【详解】因为，且为正整数，
所以，
所以，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数、倒数、有理数的大小比较法则，熟练掌握倒数与相反数的定义是解题关键．
7．（2020·江苏七年级期中）有两个正数，，且，把大于等于且小于等于的所有数记作．例如，大于等于且小于等于的所有数记作．若整数在内，整数在内，那么的一切值中属于整数的个数为（ ）
A．5个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】先根据题意确定m、n的范围，然后用列举法即可解答．
【详解】解：∵整数在内，整数在内
∴5≤m≤15，-30≤n≤-20
∴，即
∴的一切值中属于整数有-2、-3、-4、-5、-6．
故答案为A．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法，根据题意确定m、n的取值范围是解答本题的关键．
二、填空题
8．（2020·南通市东方中学七年级月考）计算：=______．
【答案】-28
【分析】根据有理数的乘法法则计算．
【详解】解：
=-28，
故答案为：-28．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握运算法则．
9．（2021·江苏南京一中七年级月考）直接写出计算结果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________．
【答案】﹣2020
【分析】根据乘法的交换和结合律，进行简便计算，即可求解．
【详解】解：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）
＝（﹣8）×（﹣0.125）×（﹣2020）
＝1×（﹣2020）
＝﹣2020．
故答案为：﹣2020．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，掌握乘法交换律和结合律，是解题的关键．
10．（2020·江苏）绝对值小于2020的所有整数的和为_____，积为_____．
【答案】0 0
【分析】根据题意写出绝对值小于2020的所有整数，然后进行求解即可．
【详解】解：∵绝对值小于2020的所有整数是：0、±1、±2、…、±2019，
∴绝对值小于2020的所有整数的和为0，积为0．
故答案为：0、0．
【点睛】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法及乘法运算是解题的关键．
11．（2020·常州市丽华中学七年级月考）________×（﹣）＝﹣1．
【答案】
【分析】根据题意直接利用倒数积为1进行分析即可得答案．
【详解】解：×（﹣）＝﹣1，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．
三、解答题
12．（2020·江苏汇文实验初中）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，且=6，求的值．
【答案】4或
【分析】先根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的含义，求解的值，再整体代入即可得到答案.
【详解】解：互为相反数，

互为倒数，



当时，
原式
当时，
原式
综上：代数式的值为或
【点睛】本题考查的是相反数的定义，倒数的定义，绝对值的含义，有理数的加减运算，掌握以上知识是解题的关键.
13．（2020·常州市丽华中学七年级月考）学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：计算：17×（﹣9），下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．
解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．
【答案】小方给出的答案错误；原式=﹣161．
【分析】根据题意直接利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】解：小方给出的答案错误；
17×（﹣9）
＝﹣[（17+）×9]
＝﹣（17×9+×9）
＝﹣161．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是正确确定积的符号并熟练掌握乘法分配律．
14．（2020·南通西藏民族中学七年级期中）计算
（1） （2）
【答案】（1）-5；（2）
【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果.
【详解】解：（1）原式=-9+30-28+2=-5；
（2）原式=（-100+ ）×8=-800+ = .
【点睛】此题考查了利用有理数的乘法分配律进行简便计算，熟练掌握运算定律是解本题的关键．
15．（2020·兴化市陈堡初级中学）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
（提出问题）三个有理数a、b、c满足，求的值．
（解决问题）
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即，，时，
则：；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，
则：
所以：的值为3或-1．
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足，求的值；
（2）已知，，且，求的值．
【答案】（1）-3或1；（2）或．
【分析】（1）根据题意因为abc＜0，可分类两种情况，a、b、c三数均为负，a、b、c只有一个负数，另两个为正数，再根据题目中给出的解题过程求解即可得出答案；
（2）根据绝对值的意义，先计算出a=±3，b=±1，根据条件a＜b求解即可得出答案．
【详解】解：（1），
∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a，b，c都是负数，即，，时，
则：；
②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设，，，
则.
（2）∵，，
∴a=±3，b=±1，
∵，
∴，或，
则或.
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及有理数加减乘除运算，根据题意应用绝对值意义求解是解决本题的关键．
16．（2020·泰州市姜堰区励才实验学校七年级月考）学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算得又对又快两名同学给出的解法如下：
小强：原式
小莉：原式
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法最好？理由是什么？对你有何启发？
（2）此题还有其他解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来？
【答案】（1）小莉解法较好，小莉能巧妙的利用了分析的思想，把带分数拆成一个整数与一个真分数的和，再应用分配律，大大的简化了计算过程；（2）还有其它的解法，见解析．
【分析】根据计算判断小莉的解法好；
把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解．
【详解】解：（1）小莉解法较好，小莉能巧妙的利用了分析的思想，把带分数拆成一个整数与一个真分数的和，再应用分配律，大大的简化了计算过程．
（2）还有其它的解法，．
【点睛】本题考查的是有理数的乘法有关知识，选择的方法得当，能使运算简化，解题的关键是熟练掌握乘法的分配律．
17．（2020·江苏七年级月考）阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：
【答案】．
【分析】根据阅读材料先计算所求式子的倒数，从而得出原式的结果．
【详解】解：
，
所以，原式．
【点睛】本题是阅读材料问题，考查了有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，掌握运算顺序，正确判定符号计算是关键．
18．（2020·徐州市树人初级中学七年级月考）小军在计算时，使用运算律解题过程如下：
解：．
他的解题过程是否正确？如果不正确，请你帮他改正．
【答案】小军的计算是错误的，正确的结果是．解题过程见解析.
【分析】先对小括号里面的带分数进行变形，再把括号外面的除法变成乘法,再根据乘法分配律可以解答本题．
【详解】解：（1）小军的计算是错误的，正确的解题过程如下:
．
【点睛】本题考查有理数的除法运算及乘法分配律，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．此题的易错点是带分数的变形,与不相等.
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置