七年级数学下册专题05平行线中的拐点模型之蛇形模型(5字模型)(原卷版+解析)

这是一份七年级数学下册专题05平行线中的拐点模型之蛇形模型(5字模型)(原卷版+解析)，共44页。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：蛇形模型（“5”字模型）
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.

图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB.

∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
例1．（2023下·安徽黄山·七年级统考期末）如图，已知，，，则的度数是（ ）

A．B．C．7D．
例2．（2023下·黑龙江鸡西·七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求的度数（ ）

A．B．C．D．
例3．（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，如果，那么角α，β，γ之间的关系式为（ ）

A．B． C．D．
例4．（2023下·四川广安·七年级统考期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母表示，得到如图2的几何示意图，已知．试说明．

例5．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（ ）

A． B． C． D．
例6．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
例7．（2023下·陕西汉中·七年级校考期中）如图，已知直线，P是平面内一点，连接．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，若，求的度数；
(3)如图③，试判断和之间的数量关系，并说明理由．

例8．（2023下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：
第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，．
第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状．
第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．
请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若，求；(2)如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示）
课后专项训练
1．（2023下·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知直线，，，且比大，那么的大小是（ ）

A．B．C．D．
2．（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）如图，是一段赛车跑道的示意图，其中，测得，．那么（ ）

A．B．C．D．
3．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．（2023·河南驻马店·三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023下·江西景德镇·七年级统考期末）如图所示，一艘轮船从地出发，沿北偏东方向航行至地，再从地出发沿南偏东，方向航行至地，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．（2023·河南·统考三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·上海·七年级期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）如图，，，，则（ ）

A．B．C．D．
9．（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，已知，，，则，，三者之间的关系是（ ）

A． B． C． D．
10．（2023上·贵州六盘水·八年级校考阶段练习）如图，，，，则的度数为 ．
11．（2023下·七年级课时练习）如图，，，若，则的度数为 ．

12．（2023下·上海闵行·七年级统考期末）我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是、和，且，则、和之间的数量关系是 ．

13．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，直线，、、、之间的数量关系是 ．

14．（2023下·辽宁丹东·七年级统考期末）如图，若，，，则 ．

15．（2023下·重庆綦江·七年级校考阶段练习）如图某工程队从A点出发，沿北偏西方向修一条公路，在路段出现塌陷区，就改变方向，在B点沿北偏东的方向继续修建段，到达点又改变方向，使所修路段，则 度．

16．（2023上·广东广州·八年级校考开学考试）如图，若，则、、的关系是 ．

17．（2023下·北京石景山·七年级统考期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．

18．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）如图所示，已知，，求，的度数．

19．（2023下·福建龙岩·七年级校考阶段练习）完成下面的证明．
(1)如图，，．求证：．
证明：∵，
∴__________________（__________________），
∵，
∴（__________________），
∴；
(2)如图，和相交于点O，，．

求证．
证明：∵，
又（__________________）
∴__________________
∴（__________________）．
20．（2023下·青海西宁·七年级统考期末）阅读下面材料：
小亮同学遇到这样一个问题：如图1，，为，之间一点，连接，，得到．

求证：．
(1)小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整：
证明：过点作
___________（___________）
______________________（___________）
___________
；
(2)请你参考小亮的方法，解决下列问题：
①如图2，，为，之间一点，连接，，得到．

求证：；
②如图3，，则，，之间的数量关系是___________．
21．（2023下·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，，点在直线，之间，连接，．

(1)写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数；
22．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）阅读材料：
如图1，点是直线上一点，上方的四边形中，，延长，，探究与的数量关系，并证明.
小白的想法是：“作（如图2），通过推理可以得到，从而得出结论”.
请按照小白的想法完成解答：
拓展延伸：保留原题条件不变，平分，反向延长，交的平分线于点（如图3），设，请直接写出的度数（用含的式子表示）.
23．（2023下·山东枣庄·七年级统考期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现请把下面的说理过程补充完整：解：过点作，因为已知，，所以，______ 所以 ______ ______ 因为，所以 ______ ，所以即．
（2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，则、、的关系为______ 直接写出结论，不用说明理由
（3）解决问题：如图③，，，则 ______ 直接写出结果，不用写计算过程

24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践
【课题学习】：平行线的“等角转化”功能．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数．
【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．

如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．

解：过点A作，
∴______，，
又∵．
∴______．
专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：蛇形模型（“5”字模型）
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.

图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB.

∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
例1．（2023下·安徽黄山·七年级统考期末）如图，已知，，，则的度数是（ ）

A．B．C．7D．
【答案】C
【分析】过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：过C作，

∵，∴，∴，，
∵，∴
∴．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能正确作辅助线，注意：两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．
例2．（2023下·黑龙江鸡西·七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求的度数（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】延长、交于点D，根据，得出，根据邻补角求出，根据三角形外角的性质得出．
【详解】解：延长、交于点D，如图所示：

∵，∴，
∵，∴，
∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
例3．（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，如果，那么角α，β，γ之间的关系式为（ ）

A．B． C．D．
【答案】D
【分析】过点E作，再根据平行线的性质得出，，求解即可．
【详解】过点E作，∴，

∵，∴，∴，
∵，∴，∴，故选：D．
例4．（2023下·四川广安·七年级统考期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母表示，得到如图2的几何示意图，已知．试说明．

【答案】见解析
【分析】方法一：延长交于点，则，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可得到答案；
方法二：过点作，则，由平行线的性质可得，，，进行计算即可得到答案．
【详解】解：方法一：如图1，延长交于点，
， ，
∴，∵，∴，
∴，∴；
方法二：如图2，过点作，
∵，∴，∴，，
∴，，
∴，即．（任选一种方法说明即可）
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等，是解题的关键．
例5．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用角平分线的定义得到，，过M作，过N作，再利用平行线的判定与性质得到，，，，经过角度之间的运算得到，，即可求解．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
过M作，过N作，则，，

∵，∴，，∴，，
∴，即，
又∵，
∴，即，故选：D．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键．
例6．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解．
【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，

∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如图，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)设PD交AN于O，如图，
∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
例7．（2023下·陕西汉中·七年级校考期中）如图，已知直线，P是平面内一点，连接．

(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，若，求的度数；
(3)如图③，试判断和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)，见解析
【分析】（1）过点作，根据两直线平行同旁内角互补可得答案；（2）过点作，根据两直线平行内错角相等可得出，根据平行线公理及性质可得出，最后根据角的和与差即可得出答案；（3）过点作，则，据平行线的性质及角的和与差即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，过点作，

，，，，
，，，，
，，
，；
（2）解：如图1，过点作，，．
，，．
，，
（3）解：．
理由：如图2，过点作，则，
，，
，．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
例8．（2023下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：
第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，．
第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状．
第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．
请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若，求；(2)如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示）
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据解题得出，进而根据，即可求解；（2）过点分别作的平行线，根据平行线的性质得出设，进而根据平行线的性质得出，，即可得出结论；（3）根据（2）的结论可得，，根据已知，，可得，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵， ∴，
∵，∴解得：，∵．∴；
（2）解：如图所示，过点分别作的平行线，
∴，∴，设，
又∵，∴，，
∴，，∴，；
（3）∵，，，
即，∴，
由（2）可得，∵，，
∴，即，
∴，∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023下·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知直线，，，且比大，那么的大小是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算出，结合比大，即可得解．
【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，
即，，∴，，
∵，，，∴，
∴，∴，∴，
∵比大，即，∴，∴，故选：D．

【点睛】本题考查平行公理的推论，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．掌握平行线的性质并作辅助线是解题的关键．
2．（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）如图，是一段赛车跑道的示意图，其中，测得，．那么（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过“拐点”作，利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：过点作，如图所示：

∵，∴，∴，
∴；故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质．正确作出辅助线是解题关键．
3．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点C作，根据平行线的性质和判定即可判断．
【详解】过点C作

∵，，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴．故选：C
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
4．（2023·河南驻马店·三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，则，根据平行线的性质可得到，，即可求得．
【详解】如图，过点作，
∵，，∴．
∴，．
∵，∴．
∴．故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．
5．（2023下·江西景德镇·七年级统考期末）如图所示，一艘轮船从地出发，沿北偏东方向航行至地，再从地出发沿南偏东，方向航行至地，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵，∴，
∴，故选：A．
【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．（2023·河南·统考三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，则，根据平行线的性质可得到，，即可求得．
【详解】如图，过点作，
∵，，∴．∴，．
∵，∴．
∴．故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．
7．（2023下·上海·七年级期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过C作，过M作，推出，根据平行线的性质得出，，，求出，，即可得出答案．
【详解】解：过C作，过M作，
∵，∴，
∴，，，
∴，，
∴，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
8．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）如图，，，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先过点作，由，即可得，然后由平行线的性质，即可证得与的度数，继而求得答案．
【详解】解：过点作，，，
，，
，．．故选：A．

【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
9．（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，已知，，，则，，三者之间的关系是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长，分别交的延长线于点，根据平行线的性质可得，根据三角形的外角的性质可得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，延长，分别交的延长线于点，

∵，，，
∴，
∵∴，即故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（2023上·贵州六盘水·八年级校考阶段练习）如图，，，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】过C作，结合可得，，结合，即可得到答案；
【详解】解：过C作，
∵，，∴，∴，，
∵，，∴，，
∴，故答案为：；
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，根据平行线性质得到角度关系．
11．（2023下·七年级课时练习）如图，，，若，则的度数为 ．

【答案】/120度
【分析】延长交直线b于B，依据，可得，当时，可得，依据平行线的性质，即可得到∠4的度数．
【详解】解：如图，延长交直线b于B，

∵，∴，∴，
当时，，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
12．（2023下·上海闵行·七年级统考期末）我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是、和，且，则、和之间的数量关系是 ．

【答案】
【分析】根据转弯角的定义及平行线的性质即可得出α、β和θ三角的关系式．
【详解】根据题干中的“规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角”可知，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，如下图所示．

过点C作，则（两直线平行，则同位角相等）．
∵，∴，∴（两直线平行，则内错角相等），
又∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质和对转弯角名称定义的理解，解题的关键是利用平行线的性质把相关的角联系在一起．
13．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）如图，直线，、、、之间的数量关系是 ．

【答案】
【分析】过点作，，根据平行线的性质，可得，，，继而可得．
【详解】解：如图，过点作，过作

，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．
14．（2023下·辽宁丹东·七年级统考期末）如图，若，，，则 ．

【答案】30
【分析】首先据平行线的性质可得，再有可算出的度数，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得到，代入、的度数即可得到的度数．
【详解】解：延长交于点，如图：

，，，，
，，．故答案为：30．
【点睛】本题主要利用平行线的性质及三角形外角的性质求解．熟练掌握平行线的性质及添加辅助线的方法是解题的关键．
15．（2023下·重庆綦江·七年级校考阶段练习）如图某工程队从A点出发，沿北偏西方向修一条公路，在路段出现塌陷区，就改变方向，在B点沿北偏东的方向继续修建段，到达点又改变方向，使所修路段，则 度．

【答案】90
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由平角的定义求出的度数，根据即可得出结论．
【详解】解：如图所示，

∵，∴．∵，∴．
∵，∴． 故答案为：90．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
16．（2023上·广东广州·八年级校考开学考试）如图，若，则、、的关系是 ．

【答案】
【分析】过点E作，则，根据平行线的性质计算求解即可．
【详解】解：如图，过点E作，

∵，∴，∴，，
∵，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
17．（2023下·北京石景山·七年级统考期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．

【答案】
【分析】过点C作，由平行线的性质求得，由，得到，进一步得到，即可得到的度数．
【详解】解：过点C作，如图，∴，

∵，∴，∵，∴，
∵于点B，∴，∴，
∴．故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的性质、垂直定义等知识，作是解题的关键．
18．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）如图所示，已知，，求，的度数．

【答案】，
【分析】由比例式可设，，，由平行得，，于是，进一步求解．
【详解】解：设，，，
∵∴，
∴，∴
∴解得∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查平行线的性质，比例的应用，一元一次方程求解，由平行推出角之间的数量关系是解题的关键．
19．（2023下·福建龙岩·七年级校考阶段练习）完成下面的证明．
(1)如图，，．求证：．
证明：∵，
∴__________________（__________________），
∵，
∴（__________________），
∴；
(2)如图，和相交于点O，，．

求证．
证明：∵，
又（__________________）
∴__________________
∴（__________________）．
【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
(2)对顶角相等；；内错角相等，两直线平行
【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等推出，再根据两直线平行，同旁内角互补推出，等量代换即可结论成立；（2）利用对顶角相等推出，等量代换得到，再利用平行线的判定即可证明．
【详解】（1）证明：∵，∴（两直线平行，内错角相等），
∵，∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴；故答案为：；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；
（2）证明：∵，
又（对顶角相等）∴
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握运用平行线的性质定理是解题关键．
20．（2023下·青海西宁·七年级统考期末）阅读下面材料：
小亮同学遇到这样一个问题：如图1，，为，之间一点，连接，，得到．

求证：．
(1)小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整：
证明：过点作
___________（___________）
______________________（___________）
___________
；
(2)请你参考小亮的方法，解决下列问题：
①如图2，，为，之间一点，连接，，得到．

求证：；
②如图3，，则，，之间的数量关系是___________．

【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ；
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等和平行线的判定公理解答即可；
（2）①过点作，利用两直线平行，同旁内角互补解答即可；②过点作，利用两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，内错角相等解答即可．
【详解】（1）证明：过点作，（两直线平行，内错角相等），
，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
，，
故答案为：；两直线平行，内错角相等；；；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ；；
（2）①证明：过点作，

（两直线平行，同旁内角互补），
，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，；
②过点作，

（两直线平行，同旁内角互补），
，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
（两直线平行，内错角相等），
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行线的判定公理，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
21．（2023下·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，，点在直线，之间，连接，．

(1)写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数；
【答案】(1)，证明见解析(2)
【分析】（1）过点作，利用平行线的判定及性质即可得解；
（2）由（1）得，将代入即可得解．
【详解】（1）解：，
理由如下：过点作，如图，

∴，
∵，∴，∴，
∴，，
∴；
（2）解：由（）得，
∴，∴，解得．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
22．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）阅读材料：
如图1，点是直线上一点，上方的四边形中，，延长，，探究与的数量关系，并证明.
小白的想法是：“作（如图2），通过推理可以得到，从而得出结论”.
请按照小白的想法完成解答：
拓展延伸：保留原题条件不变，平分，反向延长，交的平分线于点（如图3），设，请直接写出的度数（用含的式子表示）.
【答案】阅读材料：，见解析；拓展延伸：.
【分析】（1）作，，，由平行线性质可得，结合已知，可证，进而得到，从而，，将代入可得.
（2）过H点作HP∥MN，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC，结合（1）的结论和CG平分∠ECD可得∠PHC =∠FCH =120°-，即可得.
【详解】解：【阅读材料】作，，（如图1）.

∵，∴.∴.
∵，∴.∴.∴.
∵，∴.∵，∴.
∴，.∴.
∵，∴.
【拓展延伸】结论：.理由：如图，作，过H点作HP∥MN，
∴∠PHA=∠MAH=，由（1）得FC∥MN，∴FC∥HP，∴∠PHC=∠FCH，
∵,CG平分∠ECD，∴∠ECG=20°+，
∴∠FCH==180°-()-(20°+)=120°-
∴∠CHA=∠PHA+∠PHC=+（120°-）=120°-即：.
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
23．（2023下·山东枣庄·七年级统考期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现请把下面的说理过程补充完整：解：过点作，因为已知，，所以，______ 所以 ______ ______ 因为，所以 ______ ，所以即．
（2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，则、、的关系为______ 直接写出结论，不用说明理由
（3）解决问题：如图③，，，则 ______ 直接写出结果，不用写计算过程

【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行 两直线平行，内错角相等 ；（2） ；（3） .
【分析】（1）根据平行公理，平行线的性质即可求证出答案．
（2）类比，过点作，然后根据平行公理、平行线的性质即可求证出答案．
（3）过点作，然后根据平行公理、平行线的性质即可求证出答案．
【详解】解：（1）过点作，因已知，
因为，所以（平行于同一直线的两直线平行，
所以两直线平行，内错角相等，
因为，所以，所以，即．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；
（2），理由如下：如图，过点作，

∵，，，，，
，，故答案为：；
（3）如图，过点作，
∵，，，，，
，，，
，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质、平行公理等知识点，灵活运用平行公理以及平行线的性质是解题的关键．
24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践
【课题学习】：平行线的“等角转化”功能．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数．
【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．

【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】（1）过点A作，如图1，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到；（2）过点E作，如图2，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得；
（3）过E点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，结合平行线的性质得到，利用代入求解即可．
【详解】（1）解：过点A作，∴，，
又∵，∴；故答案为：，；
（2）解：过点E作，如图，

∵，∴，∴，，
∴∴；
（3）过E点作，如图，

∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
设，，
∵，，∴，，
∵，∴，
∵，∴，，
∵．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键．
如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．

解：过点A作，
∴______，，
又∵．
∴______．